Bilangan Imajiner

Bilangan Imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i ² = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner {\displaystyle i} ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:

atau secara ekuivalen

atau juga sering dituliskan sebagai

 .

Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering digunakan di bidang teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisa gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x mengikuti:

), dengan j = −i.

Bilangan yang Imajiner dapat dinotasikan sebagai aljabar i kecil. Apabila kalian menemukan bilangan negatif yang diakarkuadratkan maka bilangan tersebut dapat dinotasikan sebagai i. Sebagai contohnya  dapat dinotasikan sebagai 2i, hal ini didapat dari:

Contoh lainnya nilai untuk  adalah:

Contoh Bilangan Imajiner:
i
12,38i
−i 3i / 4
0,01i
−i / 2

Perkalian akar kuadrat

Perkalian akar kuadrat bilangan negatif perlu perhatian khusus. Misalnya, pemikiran berikut ini salah:

Kekeliruan (fallacy) yang diperbuat adalah penggunaan aturan √x√y = √xy, di mana nilai prinsip akar kuadrat dihitung setiap kali, sebenarnya hanya valid jika x dan y dibatasi dengan sepatutnya.

Tidak mungkin untuk mengembangkan definisi nilai prinsip akar kuadrat pada semua bilangan kompleks dengan cara aturan perkalian biasa. Jadi √−1 dalam konteks ini harus dianggap “tidak berarti”, atau sebagai ekspresi bernilai ganda dengan kemungkinan nilai i dan −i.

Penafsiran geometri dalam bilangan imajiner

• Dalam geometri, bilangan imajiner dilambangkan sebagai titik-titik pada sumbu vertikal pada bidang bilangan kompleks, digambarkan secara tegak lurus terhadap sumbu bilangan real.

• Satu cara untuk melihat bilangan-bilangan imajiner adalah dengan membayangkan suatu garis bilangan, bertambah secara positif ke sebelah kanan dan bertambah negatif ke sebelah kiri, kemudian pada titik nol “O” garis yang dapat dipandang sebagai sumbu-x, suatu sumbu-y dapat digambarkan sebagai suatu garis tegak lurus yang bertambah “positif” (bilangan imajiner bertambah positif) ke arah atas dan bertambah negatif (demikian pula dengan bilangan imajiner) ke arah bawah. Sumbu vertikal ini sering disebut “sumbu bilangan imajiner” dan dilambangkan dengan iℝ, , atau ℑ.

• Dalam representasi ini, perkalian dengan –1 berhubungan dengan suatu rotasi 180° mengelilingi titik nol. Perkalian dengan i berhubungan dengan rotasi 90° pada arah “positif” (yaitu, berlawanan dengan jarum jam) dan persamaan i² = −1 ditafsirkan sebagai pernyataan bahwa jika diterapkan dua rotasi 90 derajat mengelilingi titik nol, maka hasil akhirnya adalah suatu rotasi tunggal 180°.

• Perhatian bahwa rotasi 90° pada arah “negatif” (yaitu searah jarum jam) juga memenuhi penafsiran ini. Hal ini mencerminkan fakta bahwa −i juga memecahkan persamaan x² = −1. Pada umumnya, perkalian dengan suatu bilangan kompleks sama dengan rotasi mengelilingi titik nol oleh argument bilangan kompleks itu, diikuti dengan perubahan skala besarannya.

Contoh soal dan jawaban bilangan imajiner

1. Berapa akar kuadrat dari −9 ?

2. Jika z1 = z2 = z3.
z1 = c + a.
z2 = b + 2c.
z3 = a+2 – d.
Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3!

Jawaban:
Ketahuilah bahwa 2 bilangan kompleks p + q dan r+s dikatakan sama jika dan hanya jika p = r DAN q = s.

Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya.. ^^

c + a = b + 2c = a+2 – d.

c = b = a+2 … (i)
a = 2c = -d … (ii)

c= a+2
Substitusikan nilai c ke persamaan 2
a = 2(a+2)
a = 2a + 4
a = -4
Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)

Kemudian kita mendapatkan z1 = z2 = z3 = c + a = -2 -4.

3. Selesaikan x² + 1 = 0

Menggunakan Bilangan Real tidak ada solusi, tetapi sekarang kita bisa menyelesaikannya!

Kurangkan 1 dari kedua sisi:

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:

Jawaban: x = −i or +i

Periksa:

• (−i)² + 1 = (−i)(−i) + 1 = +i² + 1 = −1 + 1 = 0
• (+i)² +1 = (+i)(+i) +1 = +i² +1 = −1 + 1 = 0

4. Jika x adalah bilangan imajiner, maka yang mana dari berikut ini adalah solusi yang mungkin untuk persamaan x3 = 27i?