fbpx

Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya

Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri. Dibawah ini Anda dapat menemukan rumus trigonometri beserta contoh soal dan jawabannya.

 

Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri.

 

Konsep Trigonometri

Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama. Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun. Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang dari nol derajat).

 

Rumus Trigonometri Beserta Soal Dan Jawaban

 

Kegunaan Triginometri Dalam Kehidupan Sehari-Hari

1.  Sebagai teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat.

2. Dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu dan dalam sistem navigasi satelit.

3. Dalam kriminologi, trigonometri dapat membantu menghitung lintasan proyektil, untuk memperkirakan apa yang mungkin menyebabkan tabrakan dalam kecelakaan mobil atau bagaimana benda jatuh dari suatu tempat atau di mana sudut tembakan peluru, dll.

4. Dalam konstruksi kita membutuhkan trigonometri untuk menghitung? Mengukur bidang, banyak dan area? Membuat dinding sejajar dan tegak lurus? memasang ubin keramik, kecenderungan atap, tinggi bangunan, panjang lebar dan sebagainya. Banyak hal lain lainnya yang menjadi kebutuhan untuk menggunakan trigonometri.

5 Arsitek menggunakan trigonometri untuk menghitung beban struktural, lereng atap, permukaan tanah dan banyak aspek lainnya, termasuk naungan matahari dan sudut cahaya.

6.Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

 

Hubungan Fungsi Trigonometri

TrigonometryTriangle.svg

Fungsi dasar:

sin A = \frac{a}{c}
cos A = \frac{b}{c}
tan A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{a}{b}
cot A = \frac{1}{tan A} = \frac{cos A}{sin A} = \frac{b}{a}
sec A = \frac{1}{cos A} = \frac{c}{b}
csc A = \frac{1}{sin A} = \frac{c}{a}

Identitas Trigonometri

sin^2 A + cos^2 A = 1
1 + tan^2 A = \frac{1}{cos^2 A} = sec^2 A
1 + cot^2 A = \frac{1}{sin^2 A} = csc^2 A

Rumus jumlah dan selisih sudut

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}
tan (A - B) = \frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}

Rumus perkalian trigonometri

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)
2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)
2 sin A sin B = - cos (A + B) + cos (A - B)

 

Rumus jumlah dan selisih trigonometri

sin A + sin B = 2 sin \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B)
sin A - sin B = 2 cos \frac{1}{2} (A + B) sin \frac{1}{2} (A - B)
cos A + cos B = 2 cos \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B)
cos A - cos B = - 2 sin \frac{1}{2} (A + B) sin \frac{1}{2} (A - B)

Rumus sudut rangkap dua

sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos^2 A - sin^2 A = 1 - 2 sin^2 A = 2 cos^2 A - 1
tan 2A = \frac{2 tan A}{1 - tan^2 A} = \frac{2 cot A}{cot^2 A - 1} = \frac{2}{cot A - tan A}

Rumus sudut rangkap tiga

sin 3A = 3 sin A - 4 sin^3 A
cos 3A = 4 cos^3 A - 3 cos A

Rumus setengah sudut

sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-cos A}{2}}
cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+cos A}{2}}
tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-cos A}{1+cosA}} = \frac {sin A}{1+cos A} = \frac {1-cos A}{sin A}

Kuadran Trigonometri

kuadran satu dua tiga empat

  • Kuadran 1 memiliki rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangent positif.
  • Kuadran 2 memiliki rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.
  • Kuadran 3 memiliki rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.
  • Kuadran 4 memiliki rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.

 

Sudut Istimewa Trigonometri

Sudut istimewa sendiri merupakan sudut-sudut yang mempunyai nilai derajat tertentu seperti 0°, 30°, 45°, 60°, 90° dan lain-lain; dapat di tentukan oleh tabel yang ada di bawah ini.

Kuadran I

30° 45° 60° 90°
sin 0 1/2 1/2√2 1/2√3 1
cos 1 1/2√3 1/2√2 1/2 0
tan 0 1/3√3 1 √3

 

Kuadran II

90° 120° 135° 150° 180°
sin 0 1/2√3 1/2√2 1/2 0
cos 1 –1/2 1/2√2 1/2√ -1
tan √3 -1 1/3√3 0

Kuadran III

180° 210° 225° 240° 270°
sin 0 –1/2 1/2√2 1/2√3 1
cos 1 –1/2 √3 –1/2 √2 –1/2 0
tan 0 1/3 √3 1 √3

Kuadran IV

270° 300° 315° 330° 360°
sin -1 –1/2 √3 –1/2 √2 –1/2 0
cos 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 1
tan -√3 -1 –1/3 √3 0

 

Contoh Soal dan Jawaban Trigonometri

1. Tentukan luas segitiga:

Segitiga trigonometri 30°

Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30o = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm

2. Titik P dan Q dinyatakan dengan kordinat polar. Tentukan jarak antar titik Pdan Q.

Soal trigonometri Q dan P

Jawaban:
Dari gambar di atas terlihat bentuk segitiga dan jarak antar titik P dan Q bisa dicari dengan menggunakan aturan cosinus.

Besar sudut POQ = 180o – (75o+45o) = 60o.
PQ2 = OQ2 + OP2 – 2.OQ.OP cos ∠POQ
PQ2 = 32 + 52 – 2.3.5 cos 60o c
PQ2 = 9 + 25 – 30. 0,5
PQ2 = 9 + 25 -15
PQ2 = 19
PQ = √19 = 4,36

 

3.  Berapa nilai sin 120o?

Jawaban:
120 = 90 + 30, jadi sin 120o dapat dihitung dengan
Sin 120o = Sin (90o + 30o) = Cos 30o (nilainya positif karena soalnya adalah sin 120o, di kuadran 2, maka hasilnya positif)
Cos 30o = ½ √3

Atau dengan cara lain:

Sama seperti 180o-80o.
Sin 120o = Sin (180o – 60o) = sin 60o = ½ √3

 

4. Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Jawaban:

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½

 

5. Buktikan bahwa sin4 α – sin2 α = cos4 α – cos2 α

Jawaban:

sin4 α – sin2 α = (sinα)2 – sin2 α
= (1 cos2 α) 2 – (1 cos2 α)
= 1 – 2 cos2 α + cos4 α – 1 + cos2 α
= cos4 α – cos2 α

 

6. Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai
dari sin p cos q =

Jawaban:
p – q = 30°
sin (p – q)= sin 30°
sin p cos q – cos p sin q = ½
sin p cos q – 1/6 = ½
sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6
jadi nilai sin p cos q = 4/6

 

7. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C =

Jawaban:
Karena segitiga ABC lancip , maka sudut A,B dan C juga lancip, sehingga :
cos A = 4/5, maka sin A = 3/5,  (ingat cosami, sindemi dan tandesa)
sin B = 12/13, maka cos  B = 5/13
A + B + C = 180°,  (jml sudut -sudut dalam satu segitiga = 180)
A + B = 180 – C
sin (A + B) = sin (180 – C)
sin A . cos B + cos A.sin B = sin C, (ingat sudut yang saling berelasi : sin(180-x) = sin x)
sin C = sin A.cos B + cos A.sin B
sin C = 3/5.5/13 + 4/5.12/13
sin C = 15/65 + 48/65 = 63/65

 

8. A dan B titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut lihat ACB=45˚ ,Jika garis CB =p dan CA=2p√2 , maka panjang terowongan itu adalah…

Jawaban:
Aturan Cosinus
AB²=CB²+CA²-2CA.CB cos C
AB²=p²+(2p√2)²-2(p.2p√2) cos 45˚
AB²=p²+8p²-2(2p²√2)√2/2
AB²=9p²-√2(2p²√2)
AB²=9p²-4p²
AB²=5p²
AB=√5p²
AB=p√5

 

9. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm , besar sudut A=30˚ dan sudut C=120˚,Luas segitiga ABC adalah…

Jawaban:
Panjang CB
a/sinA = c/sinC
a/sin30˚=6/sin120˚
a/sin30˚=6/sin60˚
a/1/2=6/√3/2
a√3/2=3
a=2√3/3 x 3
a=2√3
Luas Segitiga
L=1/2 a x c sin30˚
L=1/2 x 2√3 x 6 x 1/2
L=1/4 x 12√3
L=3√3 cm²

 

10. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm ,BC=8 cm AC=7 cm. Nilai cos A adalah…

Jawaban:
Cos A=(AB²+AC²-BC²)/2(AB . AC)
Cos A=6²+7²-8²/2(6 . 7)
Cos A = 36+49-64/2(42)
Cos A=21/84

 

11. Nilai dari cos 1200˚ adalah…

Jawaban:
cos 1200˚
= cos( 120˚ +3.360˚ )
=cos 120˚
= – cos60˚
= -1/2

12. Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…

Jawaban:
a+b=10
a=10-b
Aturan Sinus
a/sin A = b/sin B
10-b/ sin 30 = b/sin 45
10-b/1/2= b/√2/2
√2/2(10-b)=b/2
(10√2-b√2)/2=b/2
5√2-b√2/2=b/2
5√2=b√2/2 + b/2
5√2=(b√2+b)/2
5√2=b(√2+1)/2
b=5√2 x 2/(√2+1)
b=10√2/(√2+1) x (√2-1)/(√2-1)
b=20-10√2
b=10(2-√2)

Bacaan Lainnya

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

 

Sumber bacaan: SciencingClark UniversitySOS Math

                     

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2018-07-11T19:53:04+00:00 November 28th, 2017|Matematika|7 Comments

7 Comments

  1. Jun 17/02/2018 at 11:41 pm - Reply

    Nomor 7 itu kurang benar, karena disana tertera sudut abc adalah lancip, sehingga tidak dapat digunakan rumus phytagoras

  2. Dyan 13/04/2018 at 8:07 am - Reply

    Maaf saya ingin mencari sambungan soal bab trigonomètri baru halaman 39 udah gak ada

  3. Jadi gk ngerti 15/04/2018 at 1:59 pm - Reply

    Bikin pening

  4. kalkulator 20/04/2018 at 1:48 pm - Reply

    belajar trigonometri memang butuh perjuangan

  5. Nathan 14/05/2018 at 10:31 am - Reply

    Aku ingin jadi wibu fisikawan

  6. Na 04/06/2018 at 5:06 am - Reply

    Terimakasih ini benar benar membantu😆😆😆

Leave A Comment Batalkan balasan