Pembahasan & Kuis Barisan Geometri dan Deret Geometri

Pinter Pandai

10 tahun ago

Barisan Geometri dan Deret Geometri

Barisan Geometri dan Deret Geometri – Ketika Anda belajar matematika SMA, terdapat 2 macam barisan & deret yaitu aritmatika dan geometri. Di artikel ini kami akan membahas geometri. Jika Anda ingin membaca Barisan aritmatika, mohon klik disini.

Apakah Barisan Geometri?

Barisan geometri atau sering diistilahkan “barisan ukur” adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan Anda punya sebuah deret geometri
U₁, U₂, U₃, …, U_n-1, U_n
Maka
U₂/U₁ = U₃/U₂=U₄/U₃ = … U_n/U_n-1 = r (konstan)
lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri? coba ambil contoh
U₃/U₂ = r maka U₃ = U₂. r = a.r.r = ar²
U₄/U₃ = r maka U₄ = U₃. r = a.r².r = ar³ sejalan dengan
U_n/U_n-1 = r maka U_n = U_n-1. r = ar^n-2.r = ar^n-2+1= ar^n-1

jadi dari penjelasan di atas Anda bisa menyimpulkan

Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan
Un = ar^n-1
dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geomteri

Contoh soal

Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….

Jawaban:

jika ditanya suku ke 5 atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin Anda bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-100 akan sangat merepotkan dan lebih baik Anda harus menggunakan rumus di atas. ?

r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio
a = 1/8
Un = ar^n-1 = 1/8 2^(10-1) = 1/8 . 2⁹ = 2^-3.2⁹ = 2⁶ = 64

contoh soal berikutnya

Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = (1 jam/ 6 menit) + 1 = 11 –> menit juga dimasukkan
U_n = ar^n-1
U₁₀ = 2.2^11-1 = 2¹⁰ = 1024 buah amoeba.

Apakah Deret Geometri?

Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan

S_n = a + ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1
r S_n = ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1 + arⁿ (keduanya kita kurangkan)
———————————————————————————
S_n – rS_n = a – arⁿ
S_n (1-r) = a (1-rⁿ)

Sn = a (1-rⁿ)/ (1-r)
dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri

Contoh Soal
tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…
Jawaban:
a = 1
r = 3 dan n = 6
Sn = a (1-rⁿ)/ (1-r) = 1 (1-3⁶) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364

Sisipan Pada Barisan Geometri

Dalam barisan geometri dikenal adanya sisipan. Misalkan di antara p dan q Anda sisipkan k buah bilangan dan terdjadi barisan geometri, maka rasio barisan geometri adalah

Suku Tengah Barisan Geometri

Jika U1, U2, U3, … Un merupakan barisan geometri dengan n ganjil maka suku tengah barisan geometri tersebut adalah

Deret Geometri tak Hingga

Ketika Anda menjatuhkan bola bekel dari ketinggian satu meter dan bola tersebut akan memantul ke atas sejauh 0,8 tinggi jatuh sebelumnya berpa jarak yang ditempuh bola bekel tersebut hingga berhenti? Lumayan susah ya! Itu adalah contoh dari deret geomerti tak hingga yaitu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Jumlah suku-suku dari deret tak hingga ada kemungkinan hingga tau tak hingga.

Jika deret itu hingga maka deretnya disebut deret konvergen dan jika tak hingga disebut dere divergen. Gampangnya jika jumlah deret tak hingga menuju ke suatu harga tertentu yang berhingga maka disebut konvergen (mengerucut). Sebaliknya, deret geometri yang menuju bilangan tak hinggaa disebut divergen.

Deret tak hingga yang rasionya r ≥ 1 atau r ≤ 1 disebut deret divergen dan yang mempuyai rasio -1< r < 1 disebut deret konvergen. Untuk menghitung deret tak hingga ada dua rumus tergantung pada nilai r

nama deret	rasio (r)	rumus
divergen	r ≥ 1 atau r ≤ 1	s = ∞
konvergen	-1< r < 1	s = a/ 1-r

Deret geometri atau deret ukur

Deret geometri alam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Deret ukur dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a2a14ada332fa8b41f1c1271e9caa393294b10" alt="{\displaystyle ar^{0}=a,ar^{1}=ar,ar^{2},ar^{3},...\,}" width="13034.4" height="1295.7">

di mana r ≠ 0 adalah bilangan rasio pengali dan a adalah faktor skala. Dalam hal ini suku ke-n:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751d64f8f65a235c4234248386af843563766a58" alt="{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}" width="4964.8" height="1295.7">

Jumlah semua suku:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622ba912d94b50d2056e1a389fec85d53692843c" alt="{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}}" width="8763" height="3233.2">

untuk r > 1, dan

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5acb1adcaf5d751f80bf9ad5d5f3b258fc2175b2" alt="{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}" width="8763" height="3233.2">$ untuk r < 1.

Pembuktian deret ukur atau deret geometri

Suku ke-n: $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1334ab898003e0224a49c8bd6ddd80d2e96bb7" alt="{\displaystyle a_{1}=a}" width="2847" height="865.1">$; $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d843c5d34556eac496b23728adbc85d3f99f4d8d" alt="{\displaystyle a_{2}=a\,r^{1}}" width="3919" height="1295.7">$; $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b90b54354ccd13fd0e9fd0f551e6e9001c1f462" alt="{\displaystyle a_{3}=a\,r^{2}}" width="3919" height="1295.7">$

….

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751d64f8f65a235c4234248386af843563766a58" alt="{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}" width="4964.8" height="1295.7">

jadi jumlah suku ke-n adalah $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751d64f8f65a235c4234248386af843563766a58" alt="{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}" width="4964.8" height="1295.7">$

Jumlah suku ke-n: $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c9ecfad2436710f955acbd92e36ea00f98a647" alt="{\displaystyle s_{n}=a+a\,r^{1}+a\,r^{2}+....+a\,r^{n-2}+a\,r^{n-1}}" width="18220.7" height="1295.7">$ …. (1); $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659b4ca51a5f0eb8ba5ffe8765b122e86a283ce8" alt="{\displaystyle s_{n}r=a\,r^{1}+a\,r^{2}+a\,r^{3}+....+a\,r^{n-1}+a\,r^{n}}" width="18839.9" height="1295.7">$ … (2) dikalikan dengan r

persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46873f5ec07a33d78525eab819ab8b09d8f6b2d" alt="{\displaystyle s_{n}-s_{n}r=a-a\,r^{1}+a\,r^{1}-a\,r^{2}+a\,r^{2}-a\,r^{3}+....+a\,r^{n-2}-a\,r^{n-1}+a\,r^{n-1}-a\,r^{n}}" width="36057.6" height="1295.7">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af93ca3a5406d8d41de32420c0e8cfc71d3facf" alt="{\displaystyle s_{n}\,(1-r)=a-a\,r^{n}}" width="8873.5" height="1223.9">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5396698aa5725902b48b8c0bb84199b84fa96688" alt="{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(1-r^{n})}{1-r}}}" width="6862.9" height="2515.6">

Deret geometri tak terhingga

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179d0ed54fc098e4e34bed9b93806a101574ba39" alt="{\displaystyle s_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}" width="5146" height="2085">

untuk -1 < r < 1 di mana

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed76b0221f301ea11e131707b3851a74e6aa1f26" alt="{\displaystyle r^{n}}" width="976.1" height="1008.6">

adalah 0.

Deret geometri ganjil dan genap

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccdc58981d5170462f4c5aa2c60afb8bbb382512" alt="{\displaystyle s_{n}={\frac {a}{1-r^{2}}}}" width="5317" height="2228.5">

untuk bilangan ganjil.

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445101d4aab27a75a3c67f483cd974d27cb9bce3" alt="{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,r}{1-r^{2}}}}" width="5317" height="2228.5">

untuk bilangan genap.

Rumus deret geometri

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751d64f8f65a235c4234248386af843563766a58" alt="{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}" width="4964.8" height="1295.7">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5396698aa5725902b48b8c0bb84199b84fa96688" alt="{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(1-r^{n})}{1-r}}}" width="6862.9" height="2515.6">

untuk r < 1

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95716d202253f79d108a68644e4b450e2e66648" alt="{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(r^{n}-1)}{r-1}}}" width="6862.9" height="2515.6">

untuk r > 1

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179d0ed54fc098e4e34bed9b93806a101574ba39" alt="{\displaystyle s_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}" width="5146" height="2085">

untuk -1 < r < 1

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212ad8e61d3200d327959f1851e68c5806630f22" alt="{\displaystyle r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}}" width="4104.1" height="2228.5">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dce5b404d2ae9223a153d0afc3e695315d7f8d2" alt="{\displaystyle u_{t}={\sqrt {a\,{a_{n}}}}}" width="4846" height="1295.7">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39aa21761b09592e4811889b5ec7f53efcb7aa78" alt="{\displaystyle n_{b}=n+(n-1)x}" width="7837.1" height="1223.9">

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9cdbe15c5e2c2a46d18739ce1efdd3d77913ca" alt="{\displaystyle r_{b}=r^{\frac {1}{x+1}}}" width="4163.7" height="1726.2">

Kuis Deret Geometri

Welcome to your Matematika Deret Geometri

Barisan Geometri

Barisan geometri merupakan barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan satu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu sering disebut sebagai pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan r.

Barisan U₁ , U₂ , U₃ , U₄ , ….. , U_n disebut sebagai barisan geometri jika memenuhi

Contoh barisan geometri : 7, 21, 63, 189, ....

Rumus Suku ke-n

Jika suku pertama ( U1 ) dari suatu barisan geometri disimbolkan dengan a , maka rumus suku ke-n barisan geometri dapat ditentukan sebagai berikut:

Dari pernyataan diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah

Dimana r adalah rasio atau pembanding yang dapat dicari dengan cara berikut:

Comment

Tentukan suku ke tujuh dari barisan geometri 3, 6, 12, .....!

Pembahasan & Jawaban:

Dari Barisan 3, 6, 12, ... didapat a = 3 dan r = 6/3 = 2 sehingga

U_n = a.r^n-1

U₇ = 3.2^7-1

U₇ = 3.2⁶

U₇ = 3.64

U₇ = 192

Tentukan Rumus Suku ke-n dari barisan 48 , 24 , 12 , ……!

Pembahasan & Jawaban:

Dari barisan 48, 24, 12, .... didapat a = 48 dan r = 24/48 = 1/2 sehingga,

U_n = a.r^n-1

U_n = 48.(1/2)^n-1

U_n = 48.((2^-1)^n-1

U_n = 3.16.2¹^-n

U₇ = 3.2⁴.2^1-n

U₇ = 3.2^5-n

Tentukan U12, dari barisan geometri diketahui bahwa U3 = 4 dan U9 = 256

Penjelasan & Jawaban:

1. Pertama, kita jabarkan terlebih dahulu U₃ dan U₉ kemudian kita cari nilai rasionya

U₃= 4 → a.r²= 4

U₉= 256 → a.r⁸= 256

2. Substitusikan untuk mencari U₁atau a!

→ a.r² = 4

→ a.2² = 4

→ a = 1

3. Substitusikan nilai U₁₂ dengan memakai rumus Barisan umum geometri

U₁₂ = a.r^n-1

U₁₂ = 1.2¹¹

U₁₂ = 1.2048

U₁₂ = 2048

Diketahui sebuah barisan geometri a, b, c,…. Jika diketahui a x b x c = 1728 dan a + b + c = 36, maka nilai a, b dan c adalah…

Jawaban & Penjelasan:

Penyelesaian:

a x b x c = 1728           a.c = 1728/b

a + b + c = 36          a + c = 36 – b

Rasio = U2/U1 = U3/U2

b/a = c/b

b² = ac    —–> kali silang

b² – ac = 0

b² – 1728/b = 0

b³ – 1728 = 0

b³ = 1728

b = ³√1728 = 12.

Subtitusi nilai b.

a.c = 1728/b = 1728 /12 = 144.

a + c = 36 – b = 36 – 12 = 24.

Nilai a dan c yang paling memungkinkan jika nilai a.c = 144 dan a + c = 24 adalah a dan c = 12. Sebab,

12.12 = 144 dan 12 + 12 = 24.

Jadi nilai a, b dan c adalah 12, 12, 12. Rasionya = 1.

Pada sebuah deret geometri, rumus jumlah suku ke-n nya adalah Sn = 2n² + 4n. Tentukan nilai suku ke-9 dari deret tersebut?

Pembahasan & Jawaban:

Untuk mencari suku ke-n, jika diketahui jumlah nilai suku-sukunya, maka rumus yang berlaku adalah:

Un = Sn – S(n – 1)

Jumlah nilai 9 suku pertama

Sn = 2n² + 4n

S9 = 2(9)² + 4(9)

S9 = 2.81 + 36

S9 = 198.

Jumlah nilai 8 suku pertama

Sn = 2n² + 4n

S8 = 2(8)² + 4(8)

S8 = 2.64 + 32

S8 = 160.

Maka nilai dari suku ke-9 adalah

Un = Sn – S(n – 1)

U9 = S9 – S8

U9 = 198 – 160 = 38.

Diketahui sebuah barisan geometri -192, 96, -48, 24, … . Tentukan nilai suku ke delapan dari barisan tersebut?

Jawaban & Penjelasan:

Untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, maka harus ditentukan terlebih dulu nilai rasionya. Rumus umum mencari rasio adalah:

r = U2/U1 = U3/U2 = U4/U3 dst….

r = U2/U1

= 96/(-192) = -1/2.

Subtitusikan nilai rasio ke rumus suku ke-n barisan geometri.

Un = U1.r^(n – 1)

U8 = (-192).(-1/2)^(8 – 1)

U8 = (-192).(-1/2)^7

U8 = (-192).(-1/-128)

U8 = (-192).(1/128)

U8 = -3/2.

Sebuah daerah pada tahun 3008 memiliki jumlah penduduk 24 orang. Tiap tahunnya jumlah penduduk bertambah dua kali lipatnya. Maka, jumlah penduduk pada tahun 3012 adalah…

Jawaban & Penjelasan:

Ini adalah bentuk barisan geometri dengan rumus suku ke n:

Un = U1.r^(n – 1) —–> ( tanda ^ berarti pangkat).

Jumlah penduduk tahun 3008 (U1) = 24 orang.

Tiap tahun penduduk bertambah 2x lipat (rasio) = 2.

Maka, jumlah penduduk tahun 3012 (U5):

Un = U1.r^(n – 1)

U5 = 24.2^(5 – 1)

U5 = 24.2^4

U5 = 24.16 = 384 orang.

Jadi, jumlah penduduk daerah tersebut pada tahun 3012 adalah 384 orang.

Diketahui sebuah barisan geometri 4p, 2q, r, … . Maka nilai dari q² – pr adalah…

Jawaban & Penjelasan:

Penentuan rasio.

r = U2/U1 = U3/U2

2q/4p = r/2q

2q.2q =4p.r —–> kali silang

4q² = 4pr

4q² – 4pr = 0

4(q² -pr) = 0

q² -pr = 0.

Dari barisan geometri dengan suku-suku positif, diketahui suku ke-3 adalah 4, dan besarnya suku ke-9 adalah 256, besarnya suku ke-12 adalah….

Jawaban & Penjelasan:
U3 = 4 → ar2 = 4
U9 = 256 → ar8 = 256
ar8/ ar2 = 256/4
r6 = 64
r = 2,
maka ar2 = 4 → a.22 = 4 → a = 1
Un = arn -1
U12 = 1 . 211 = 2048

Bacaan Lainnya

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!