Optimisasi Matematika

Optimisasi ialah suatu proses untuk mencapai hasil yang ideal atau optimal (nilai efektif yang dapat dicapai). Dalam disiplin matematika optimisasi merujuk pada studi permasalahan yang mencoba untuk mencari nilai minimal atau maximal dari suatu fungsi riil. Untuk dapat mencapai nilai optimal dalam bidang optimisasi matematika, baik minimal atau maximal tersebut, secara sistimatis dilakukan pemilihan nilai variabel bilangan bulat atau riil yang akan memberikan solusi optimal. Permasalahan ini dapat direpresentasikan dalam notasi matematis sebagai berikut:

Berdasarkan: fungsi f : A {\displaystyle \to } R dari himpunan A ke himpunan bilangan riil

Cari: sebuah elemen x₀ dalam A sedemikian sehingga :

• f(x₀) ≤ f(x) untuk semua x dalam A, untuk proses minimalisasi
• f(x₀) ≥ f(x) untuk semua x dalam A, untuk proses maximalisasi

Perumusan yang telah diuraikan di atas adalah perumusan permasalahan optimisasi matematika, atau sering disebut juga permasalahan pemrograman matematis, salah satu bentuk dari pemrograman linear. Banyak masalah dalam dunia nyata yang dapat direpresentasikan dalam kerangka permasalahan ini.

Pada umumnya A adalah himpunan bagian dari Ruang Euclid Rⁿ. Biasanya juga ada syarat-syarat tertentu (kendala atau constraint) berupa persamaan atau ketidaksamaan yang harus dipenuhi oleh elemen dari A. Elemen dari A biasa disebut sebagai solusi yang mungkin (feasible solution), sementara fungsi f biasa disebut sebagai fungsi objektif atau fungsi biaya. Di antara solusi yang mungkin, terdapat solusi yang dapat meminimalkan atau memaksimalkan fungsi objektif, solusi yang demikian ini disebut sebagai solusi optimal.

Domain dari A disebut sebagai ruang pencarian sementara elemen dari A disebut sebagai kandidat solusi, atau solusi yang mungkin.

Nilai Minimum dan Maksimum dari Suatu Fungsi

Pertimbangkan notasi berikut:

Ini menunjukkan nilai minimum dari fungsi obyektif , ketika memilih x dari himpunan bilangan real . Nilai minimum dalam hal ini adalah , terjadi pada .

Demikian juga dengan notasi

meminta nilai maksimum fungsi tujuan 2x, di mana x dapat berupa bilangan real. Dalam hal ini, tidak ada yang semaksimal mungkin karena fungsi obyektif tidak dibatasi, jadi jawabannya adalah “tak terbatas” atau “tidak terdefinisi”.

Argumen Input Optimisasi Matematika

Pertimbangkan notasi berikut:

atau dengan kata lain

Ini mewakili nilai (atau nilai) dari argumen x dalam interval yang meminimalkan (atau meminimalkan) fungsi tujuan x² + 1 (yang sebenarnya nilai minimum dari fungsi itu bukanlah apa yang ditanyakan masalah. Dalam kasus ini, jawabannya adalah x = -1, karena x = 0 tidak layak, yaitu tidak termasuk dalam set yang layak.

Dengan cara yang sama,

atau dengan kata lain

mewakili pasangan (atau pasangan) yang memaksimalkan (atau memaksimalkan) nilai fungsi obyektif , dengan tambahan kendala bahwa x terletak pada interval (sekali lagi, nilai maksimum ekspresi yang sebenarnya tidak masalah). Dalam hal ini, solusinya adalah pasangan bentuk (5, 2kπ) dan (−5, (2k + 1) π), di mana rentang k di atas semua integer.

arg min dan arg max terkadang juga ditulis argmin dan argmax, dan berdiri untuk argumen minimum dan argumen maksimum.

Penerapan Optimisasi Matematika Fungsi Dua Variabel pada Perusahaan dengan Dua Macam Produk

Suatu perusahaan biasanya dalam proses produksi dengan penggunaan satu macam input dapat dua atau lebih produk. Misalnya, pada perusahhan minyak goreng, di mana input yang digunakan adalah kelapa, dan outputnya adalah minyak goreng dan bungkil.

Misalnya suatu perusahaan yang menghasilkan dua macam produk dengan mengetahui fungsi permintaan adalah,

Q_x = f(P_{x ,} P_y);  dan      Q_{y =} g(P_x , P_y)

Di mana:

Q_x = Jumlah produk X yang diminta
Q_y = Jumlah produk Y yang diminta
P_x  = Harga produk X
P_y = Harga produk Y

Maka penerimaan (revenue) totalnya adalah,

TR = TR_X  + TR_Y = P_xQ_x  + P_yQ_y

Dan jika fungsi biaya bersama (joint-cost) adalah,

TC = f (Q_x , Q_y)

Maka labanya adalah,

                                                                                                (1)

Atau

Laba akan maksimum, jika memenuhi syarat pertama yang perlu adalah,

  dan

dan syarat kedua yang mencakupkan adalah,

 ;   dan

²

contoh ( 1 )

            Jika fungsi permintaan untuk produk X dan Y berturut-turut adalah,

            P_x= 36 – 3Q_x dan P_y = 40 – 5Q_y                                 (2)

dan fungsi biaya bersama adalah,

Tc = Q_x + 2Q_xQ_y + 3Q_y²

Tentukan jumlah dan harga yan memaksimumkan laba dan carilah maksimum profit tersebut!

Penyelesaian:

π          = [P_xQ_x+ P_yQ_y] – f (Q_x , Q_y)
π          =  [P_xQ_x+ P_yQ_y] – TC
π          = [(36-3Q_x)Q_x  + (40-5Q_y)Q_y] – (Q_x² + 2Q_xQ_y + 3Q_y²)
= 36Q_x  – 3Q_x²  + 40Q_y – 5Q_y² – Q_x² – 2Q_xQ_y – 3Q_y²
            = 36Q_x + 40Q_y – 4Q_x² – 2Q_xQ_y – 8Q_y²                                     (3)
         = 36 – 8Q_x – 2Q_y  = 0                                                               (4)
= 40 – 2Q_x  -16Q_y = 0                                                              (5)
36 – 8Q_x– 2Q_y = 0      x1        36 – 8Q_x– 2Q_y    = 0
40 – 2Q_x  -16Q_y = 0      x4       160 – 8Q_x  – 64Q_y  = 0
-124 + 0 + 62Q_y  = 0
62Q_y = 124
Q_y = 2

Subtitusikan nilai Q_y = 2 pada salah satu persamaan, yaitu persamaan (4) atau (5)  di atas, maka diperoleh Q_x = 4. Selanjutnya nilai Q_x dan Q_y di subtitusikan pada persamaan-persamaan permintaan (2) akan diperoleh nilai,

P_x = 36 – 12 = 24

P_y = 40 – 10 = 30

 ;   ;

² = 128 – 4 = 124 > 0

Karena turunan kedua dari laba (π) terhadap Q_x dan Q_y kedua-duanya negatif dan nilai determinannya lebih besar nol, berarti laba maksimum pada Q_x = 4, Q_y = 2, P_x = 24 dan P_y = 30.

Laba maksimum diperoleh dari persamaan (3), yaitu:

π_maks = 36(4) + 40(2) – 4(4) – 8(2)²

          = 112

Penerapan Optimisasi Matematika Fungsi Dua Variabel pada Diskriminasi harga

Dalam pasar monopoli, suatu perusahaan dapat saja menaikan jumlah keuntungannya dengan cara menjual produknya dengan harga jual yang berbeda-beda pada setiap pasar. Misalnya seorang monopolist menjual satu macam produknya dalam dua atau lebih pasar yang terpisah.

Pembedaan harga jual produk di setiap pasar yang berbeda ini disebut diskriminasi harga. Diskriminasi harga ini dilakukan oleh monopolist apabila memenuhi asumsi bahwa pembeli (konsumen) tidak dapat membeli produk pada pasar yang satu, kemudian dijual kembali dipasar yang lain. Di samping itu juga, asumsi lainnya adalah bahwa kondisi permintaan di setiap pasar harus berbeda-beda atau elastisitas permintaan di setiap pasar berbeda-beda.

Misalkan suatu perusahaan monopoli menghadapi dua pasar yang berbeda, yaitu A dan B, maka fungsi penerimaan total di pasar A dan B berturut-turut adalah TR_A = f(Q_A) dan TR_B = g(Q_A), dan fungsi biaya total untuk kedua produk tersebut adalah TC = f(Q_A, Q_B), sehingga labanya adalah

                        atau

Laba akan maksimum, jika memenuhi syarat pertama yang perlu adalah,

  dan

Dan syarat kedua yang mencukupkan adalah,

 ;

Contoh

Jika sebuah perusahaan monopoli menghadapi fungsi-fungsi permintaan,
P_A = 80 – 5Q_A dan P_B = 180 – 20Q_B
Dan fungsi biaya totalnya adalah
TC = 50 + 20 (Q_A + Q_B)

Carilah laba maksimum dari perusahaan monopoli tersebut?

Penyelesaian :

TR = TR_A + TR_B
TR = P_AQ_A + P_BQ_B
TR = (80 – 5Q_A)Q_A + (180 – 20Q_B)Q_B
TR = (80Q_A – 5Q_A²) + (180Q_B – 20Q_B²)
(80Q_A – 5Q_A²) + (180Q_B – 20Q_B²) – [50 + 20 (Q_A + Q_B)]

  . . . (1)

 . . . (2)

Dari persaman (1) diperoleh Q_A = 6 dan dari persamaan (2) diperoleh Q_B = 4. Kemudian subtitusikan nilai Q_Adan Q_B kedalam persamaan permintaan P_Adan P_B, dan diperoleh hasil P_A = 50 dan P_B = 100

D =   = (-10)(-40) – 0 = 400 > 0

Jadi, laba maksimumnya diperoleh melalui persamaan

 (80Q_A – 5Q_A²) + (180Q_B – 20Q_B²) – [50 + 20 (Q_A + Q_B)] = 450

Penerapan Optimisasi Matematika Fungsi Dua Variabel untuk Menentukan Laba Maksimum dengan Dua Input

Andaikan sebuah perusahaan menggunakan dua macam input yaitu K dan L dan menghasilkan produk tunggal Q, maka fungsi produksinya Q = f(K,L). Dalam persaingan murni perusahaan tidak dapat menentukan harga-harga input maupun output. Misalkan harga input K dan L berturut-turut adalah a dan b, serta harga output Q adalah c, maka fungsi laba adalah,

Atau

Untuk memaksimalkan laba, caranya sama seperti pada seksi 19.3 sebelumnya, yaitu harus mencari derivatif parsial pertama dan derivatif parsial kedua .

Contoh 19.3

Misalkan fungsi produksi adalah 16Q = 60 – 2(K – 5)² – 4(L- 4)², dan harga masing-masing input K dan L berturut-turut adalah 8 dan 4, serta output adalah 16. Tentukanlah laba maksimum?

Penyelesaian:

= 16Q – 8K – 4L
= 60 – 2(K – 5)² – 4(L- 4)²
-4K + 12 = 0
K = 3
-8L + 28 = 0
L= 3.5
D =  = 32 – 0 = 32  0

Jadi, laba maksimum adalah diperoleh dari persamaan (19.12), yaitu:
60 – 2(3 – 5)² – 4 (3,5 – 4)² – 8(3) – 4(3,5)
= 13

Contoh Soal dan Jawaban Optimisasi Matematika

1. Perusahaan elektronik Very Safe memproduksi 4 produk utama yang sangat canggih, umtuk memasok ke perusahaan penerbangan luar angkasa yang memiliki kontrak dengan NASA. Setiap produk harus dapat melalui departemen berikut sebelum dikirimkan, yaitu pemasangan kawat, pengeboran, perakitan, dan pemeriksaan. Kebutuhan proses produksi pada setiap departemen (dalam jam) dan nilai laba yang bersesuaian diringkas dalam tabel berikut:

Data Proses Produksi dan Laba/Unit

Waktu produksi yang tersedia pada setiap departemen pada setiap bulan dan kebutuhan produksi bulanan minimal untuk memenuhi kontrak adalah sebagai berikut:

Data Waktu Produksi Setiap Departemen

Manajer produksi bertanggung jawab untuk menentukan tingkat produksi masing-masing produk untuk bulan yang akan datang.

X₁ = jumlah unit XJ201 yang akan di produksi
X₂ = jumlah unit XM897 yang akan di produksi
X₃ = jumlah unit TR29 yang akan di produksi
X₄ = jumlah unit BR788 yang akan di produksi
Memaksimalkan laba = 9X₁ + 12X₂ + 15X₃ + 11X₄

Dengan batasan:

0.5X₁ + 1.5X₂ + 1.5X₃ + 1X₄ ≤ 1.500 waktu pemasangan kawat yang tersedia
3X₁ + 1X₂ + 2X₃ + 3X₄ ≤ 2.350 waktu pengeboran yang tersedia
2X₁ + 4X₂ + 1X₃ + 2X₄ ≤ 2.600 waktu perakitan yang tersedia
0.5X₁ + 1X₂ + 0.5X₃ + 0.5X₄ ≤ 1.200 waktu pemeriksaan yang tersedia
X₁ ≥ 150 unit XJ201
X₂ ≥ 100 unit XM897
X₃ ≥ 300 unit TR29
X₄ ≥ 400 unit BR788
X₁, X₂, X₃, X₄ ≥ 0

2. Sebuah perusahaan ingin menentukan berapa banyak masing-masing dari tiga produk yang berbeda yang akan dihasilkan dengan tersedianya sumber daya yang terbatas agar diperoleh keuntungan maksimum.  Kebutuhan buruh dan bahan mentah dan sumbangan keuntungan masing-masing produk adalah sebagai berikut:

Data Permasalahan Perusahaan

Tersedia 240 jam kerja dan  bahan mentah sebanyak 400 Kg. Masalahnya adalah menentukan jumlah masing-masing produk agar keuntungan maksimum. Rumusan model pemrograman linier-nya adalah:

1. Penentuan Variabel Keputusan

Tiga variabel dalam masalah ini adalah produk A, B dan C yang harus dihasilkan. Jumlah ini dapat dilambangkan sebagai:

• • X1  = jumlah produk A

• • X2  = jumlah produk B

• X3  = jumlah produk C

2. Penentuan Fungsi tujuan

Tujuan masalah kombinasi produk adalah memaksimumkan keuntungan total. Jelas bahwa keuntungan adalah jumlah keuntungan  yang diperoleh dari masing-masing produk. Keuntungan dari produk A adalah perkalian antara jumlah produk A dengan keuntungan per unit (Rp 3,-). Keuntungan produk B dan C ditentukan dengan cara serupa.

Sehingga keuntungan total Z, dapat ditulis:

Z  = 3X1  + 5X2  + 2X3

3. Penentuan Sistem kendala

Dalam masalah ini kendalanya adalah  jumlah buruh dan bahan mentah yang terbatas. Masing-masing produk membutuhkan baik buruh maupun bahan mentah. Produk A, buruh yang dibutuhkan untuk menghasilkan tiap unit adalah 5 jam, sehingga buruh yang dibutuhkan untuk produk A adalah 5 X₁ jam. Dengan cara yang serupa produk B membutuhkan 2 X₂ jam buruh, dan produk C butuh 4 X₃ jam, sementara jumlah jam buruh yang tersedia adalah 240 jam. Sehingga dapat ditulis:

5X1 + 2X2 + 4X3  ≤ 240

Kendala bahan mentah dirumuskan dengan cara yang sama, yaitu untuk produk A butuh bahan mentah sebanyak 4 kg per unit, produk B membutuhkan 6 kg per unit dan produk C butuh 3 kg per unit. Karena yang tersedia adalah sebanyak 400 kg bahan mentah, maka dapat ditulis:

4X1 + 6X2 + 3X3 ≤ 400

Kita juga membatsi masing-masing variabel hanya pada nilai positif, karena tidak mungkin untuk menghasilkan jumlah produk negatif. Kendala-kendala ini dikenal dengan non negativity constraints dan secara matematis dapat ditulis:

X1 ≥ 0,  X2 ≥ 0, X3 ≥ 0   atau   X1, X2, X3 ≥ 0

Pertanyaan yang timbul adalah mengapa kendala dituliskan dengan tanda pertidaksamaan ( ≤ ), bukannya persamaan ( = ). Persamaan secara tidak langsung mengatakan bahwa seluruh kapasitas sumber daya digunakan, sementara dalam pertidaksamaan memperbolehkan penggunaan kapasitas secara penuh maupun penggunaan sebagian kapasitas. Dalam  beberapa kasus suatu solusi dengan mengizinkan adanya kapasitas sumberdaya  yang tak terpakai akan memberikan solusi yang lebih baik, yang berarti keuntungan lebih besar, dari pada penggunaan seluruh sumber daya. Jadi, pertidaksamaan menunjukkan keluwesan.

Dari masalah diatas, formulasi pemrograman linier secara lengkap dapat ditulis:

Maksimumkan

Z   = 3X₁  + 5X₂  + 2X₃

Dengan syarat

5X₁ + 2X₂ + 4X₃ ≤ 240
4X₁ + 6X₂ + 3X₃ ≤ 400
X₁, X₂, X₃  ≥ 0

3. Perusahaan My Electronics menghasilkan 2 produk yaitu walkman dan watch tv. Proses produksi untuk masing-masing produk serupa dan keduanya memerlukan waktu tertentu untuk pengerjaan elektronis dan waktu tertentu untuk pengerjaan perakitan. Setiap walkman membutuhkan waktu selama 4 jam untuk pengerjaan elektronis dan 2 jam untuk perakitan. Setiap watch tv memerlukan waktu selama 3 jam untuk pengerjaan elektronis dan 1 jam untuk prakitan. Sepanjang periode produksi sekarang, tersedia waktu selama 240 jam waktu penyediaan elektronis dan 100 jam waktu perakitan. Setiap walkman menghasilkan laba $7 dan setiap watch tv yang diproduksi menghasilkan laba $5.

Permasalahan yang dihadapi shader adalah untuk menentukan kombinasi terbaik antara jumlah walkman dan watch tv yang dibuat untuk mencapai laba yang maksimal. Situasi bauran produk ini dapat diformulasikan sebagai masalah pemrograman linier.

Data Permasalahan Perusahaan My Electronics

Pemecahan masalah dimulai dengan merangkum informasi yang diperlukan untuk memformulakan dan memecahkan masalah. Notasi sederhana yang bisa digunakan dalam batasan adalah:

X₁ = jumlah walkman yang akan diproduksi

X₂ = jumlah watch TV yang akan diproduksi

Sedangkan fungsi tujuan yang bisa digunakan dengan kaitannya X₁ dan X₂ adalah:

Memaksimalkan laba (Z) = $7X₁ + $5X₂

Langkah selanjutnya adalah membuat hubungan matematik untuk menentukan kedua batasan dalam masalah ini. Satu hubungan yang umum adalah bahwa jumlah sumber daya yang digunkaan harus lebih kecil daripada atau sama dengan ( ≤ ) jumlah sumber daya yang tersedia.

1. Batasan pertama: waktu elektronik yang diperlukan ≤ waktu elektronik yang tersedia, sehingga:

4X₁ + 3X₂ ≤ 240

2. Batasan kedua: waktu perakitan yang diperlukan ≤ waktu perakitan yang tersedia, sehingga:

2X₁ + X₂ ≤ 100

Dari masalah diatas, formulasi pemrograman linier secara lengkap dapat ditulis:

Z = $7X₁ + $5X₂
4X₁ + 3X₂ ≤ 240
2X₁ + X₂ ≤ 100
X₁,  X₂ ≥ 0

Bacaan Lainnya

• Bilangan Biner (Berbasis 2)
• Tabel Kebenaran Operasi Biner
• Aksi Grup Matematika
• Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
• Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Bersama Contoh Soal dan Jawaban
• Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban
• Kuis Naluri Atau Insting Kehidupan: Apa Yang Anda Lakukan Pada Saat Kebakaran? Tips Cara Mencegah Kebakaran Di Rumah
• Cara Menjaga Keamanan Rumah – Cara Pintar Untuk Setiap Hari
• Cara Tips Pintar Dalam Kehidupan Sehari-Hari
• Puncak Gunung Tertinggi Di Dunia dimana?
• TOP 10 Gempa Bumi Terdahsyat Di Dunia
• Apakah Matahari Berputar Mengelilingi Pada Dirinya Sendiri?
• Test IPA: Planet Apa Yang Terdekat Dengan Matahari?
• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Mudah Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
• TOP 10 Virus Paling Mematikan Manusia
• Meteorit Fukang – Di Gurun Gobi
• Festival Mooncake – Festival Musim Gugur (Festival Kue Bulan)

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

• HP Android
• HP iOS (Apple)

Sumber bacaan: Standford University, Britannica, The University of Utah

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing