Vektor Satuan
Vektor satuan adalah suatu vektor yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1. Umumnya vektor satuan dituliskan dalam menggunakan topi (bahasa Inggris: Hat), sehingga: dibaca “u-topi” (‘u-hat’).Suatu vektor ternormalisasi dari suatu vektor u bernilai tidak nol, adalah suatu vektor yang berarah sama dengan u, yaitu:
di mana ||u|| adalah norma (atau panjang atau besar) dari u. Istilah vektor ternormalisasi kadang-kadang digunakan sebagai sinonim dari vektor satuan. Dalam gaya penulisan yang lain (tidak menggunakan huruf tebal) adalah dengan menggunakan panah di atas suatu variabel, yaitu:
Di sini adalah vektor yang dimaksud dan adalah besarnya.
Vektor
1. Posisi vektor
2. Panjang vektor
- Berada di
- Panjang vektor a dalam posisi adalah
- Panjang vektor b dalam posisi adalah
- Panjang vektor c dalam posisi dan adalah
- Berada di
- Panjang vektor a dalam posisi adalah
- Panjang vektor b dalam posisi adalah
- Panjang vektor c dalam posisi adalah
3. Vektor satuan
4. Operasi aljabar pada vektor
- Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang
- Perkalian
- skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor maka vektor
- titik dua vektor
Jika vektor dan vektor maka
- titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika dan vektor tak nol dan sudut diantara vektor dan maka perkalian skalar vektor dan adalah =
- silang dua vektor
Jika vektor dan vektor maka
5. Operasi aljabar pada vektor
- Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang
- Perkalian
- skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor maka vektor
- titik dua vektor
Jika vektor dan vektor maka
- titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika dan vektor tak nol dan sudut diantara vektor dan maka perkalian skalar vektor dan adalah =
- silang dua vektor
Jika vektor dan vektor maka
- silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika dan vektor tak nol dan sudut diantara vektor dan maka perkalian skalar vektor dan adalah =
6. Sifat operasi aljabar pada vektor
7. Hubungan vektor dengan vektor lain
- Perkalian titik
- Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor maka
- Sejajar
Jika vektor sejajar dengan vektor maka
- Perkalian silang
- Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor maka
Jika maka dua vektor tersebut searah
Jika maka vektor saling berlawanan arah
- Sejajar
Jika vektor sejajar dengan vektor maka
8. Sudut dua vektor
Jika vektor dan vektor sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah
9. Panjang proyeksi dan proyeksi vektor
- Panjang proyeksi vektor pada vektor adalah
- Proyeksi vektor pada vektor adalah
10. Perbandingan
- Aturan jajar genjang
- Posisi vektor
- Berada di
- Berada di
- Satu garis
- Perbandingan posisi dalam adalah m:n
- Perbandingan posisi luar adalah m:-n
Rumus Vektor Satuan
Keterangan |
Posisi |
Hasil |
---|---|---|
Translasi | ||
penggeseran (a,b) | ||
Refleksi | ||
sumbu x | ||
sumbu y | ||
y=x | ||
y=-x | ||
pusat (0,0) | ||
pusat (a,b) | ||
pusat (a,0) | ||
pusat (0,b) | ||
Rotasi | ||
berpusat (0,0) | ||
90 | ||
-90 | ||
180 | ||
berpusat (a,b) | ||
90 | ||
-90 | ||
180 | ||
berpusat (0,0) | ||
Dilatasi | ||
skala k | ||
Stretching | ||
sumbu x dan skala k | ||
sumbu y dan skala k | ||
Shearing | ||
sumbu x dan skala k | ||
sumbu y dan skala k | ||
berpusat (a,b) | ||
Dilatasi | ||
skala k | ||
Stretching | ||
sumbu x dan skala k | ||
sumbu y dan skala k | ||
Shearing | ||
sumbu x dan skala k | ||
sumbu y dan skala k |
Transformasi – Vektor Satuan
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
-
Transformasi isometri
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
-
Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).
Translasi – Vektor Satuan
Rumus translasi adalah:
= +
Refleksi – Vektor Satuan
Rumus refleksi adalah:
- tanpa titik pusat
=
- dengan titik pusat (a,b)
= +
Rotasi – Vektor Satuan
Rumus rotasi adalah:
- tanpa titik pusat
=
- dengan titik pusat (a,b)
= + .
Dilatasi – Vektor Satuan
Rumus dilatasi adalah:
- tanpa titik pusat
=
- dengan titik pusat (a,b)
= +
Regangan (Stretching) – Vektor satuan
Rumus stretching adalah:
- sumbu x
- tanpa titik pusat
=
- dengan titik pusat (a,b)
= +
- sumbu y
- tanpa titik pusat
=
- dengan titik pusat (a,b)
= +
Gusuran (Shearing) – Vektor Satuan
Rumus shearing adalah:
- sumbu x
- tanpa titik pusat
=
- dengan titik pusat (a,b)
= +
- sumbu y
- tanpa titik pusat
=
- dengan titik pusat (a,b)
= +
Contoh Soal dan Jawaban Vektor Satuan
1. Diketahui vektor a→ = (4, 6), b→ = (3, 4), dan c→ = (p, 0). Jika |c→−a→|=10, maka kosinus sudut antara b→ dan c→ adalah…
(A) 25
(B) 12
(C) 35
(D) 23
(E) 34
Pembahasan:
a = (4, 6) → |a| = 42+62 = 52
b = (3, 4) → |b| = 32+42 = 5
c = (p, 0) → |c| = p2+02 = p
a.c = 4.p + 6.0 = 4p
Diketahui |c – a| = 10
|c – a|² = |c|² + |a|² – 2a.c
10² = (p)² + (√52)² – 2(4p)
100 = p² – 8p + 52
p² – 8p – 48 = 0
(p – 12)(p + 4) = 0
p = 12 atau p = -4
Untuk p = 12 diperoleh
c = (12, 0) → |c| = 122+02 = 12
b.c = 3.12 + 4.0 = 36
Misalkan sudut antara b dan c adalah θ.
b.c = |b| |c| cos θ
36 = 5 . 12 cos θ
⇒ cos θ = 35
Jawaban: C
2. Diketahui tiga vektor a→, b→ dan c→ dengan |b→|=8, |c→|=3, dan c→=a→−b→. Misalkan α adalah sudut antara a→dan b→, serta γ adalah sudut antara vektor b→ dan c→. Jika |a→|=7 dan γ = 120°, maka sin α =…
</h4=””>
(A) 15
(B) 75
(C) 3314
(D) 34
(E) 45
Pembahasan:
Diketahui c = a – b dan sudut antara a dan b adalah α, sehingga berlaku :
|c|² = |a|² + |b|² – 2 |a| |b| cos α
(3)² = (7)² + (8)² – 2(7)(8) cos α
⇒ cos α = 1314
Berdasarkan identitas phythagoras :
sin α = 1−cos2α = 1−(1314)2 = 3314
Jawaban: C
3. Diketahui vektor a, u, v, w adalah vektor di bidang kartesius dengan v = w – u dan sudut antara u dan w adalah 60°. Jika a = 4v dan a.u = 0 maka…
(A) ||u|| = 2||v||
(B) ||v|| = 2||w||
(C) ||v|| = 2||u||
(D) ||w|| = 2||v||
(E) ||w|| = 2||u||
Pembahasan:
Karena v = w – u dan sudut antara vektor u dan w adalah 60°, maka berlaku :
|v|² = |w|² + |u|² – 2|w| |u| cos 60°
|v|² = |w|² + |u|² – 2|w| |u| 12
|v|² = |w|² + |u|² – |w| |u|
|w| |u| = |w|² + |u|² – |v|² ………………………..(1)
Diketahui a = 4v dan a.u = 0, akibatnya
(4v).u = 0 ⇔ u.v = 0
Karena v = w – u maka w = u + v sehingga berlaku:
|w|² = |u|² + |v|² + 2u.v
|w|2 = |u|² + |v|² + 2(0)
|w|2 = |u|² + |v|² ………………………………….(2)
Substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh:
|w| |u| = (|u|² + |v|²) + |u|² – |v|²
|u| |w| = 2|u|²
|w| = 2|u|
Jawaban: E
4. Diketahui tiga vektor a→, b→ dan c→ dengan b→⋅c→=9, dan c→=b→+a→. Misalkan γ adalah sudut antara vektor a→dan c→. Jika γ = 30° dan |c→|=6, maka |a→|=…
(A) 14
(B) 13
(C) 33
(D) 3√3
(E) 74
Pembahasan:
c = b + a → b = c – a
c = b + a → a = c – b
Karena a = c – b, maka berlaku
|a|² = (6)² + |b|² – 2(9)
|a|² = |b|² + 18 …………………………………………….(1)
Karena b = c – a dan sudut antara vektor a dan c adalah 30°, maka berlaku:
|b|² = |c|² + |a|² – 2 |a| |c| cos 30°
|b|² = (6)² + |a|² – 2 |a| 6 . 12√3
|b|² = 36 + |a|² – 6√3 |a| ………………………………..(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
|b|² = 36 + |b|² + 18 – 6√3 |a|
6√3 |a| = 54
⇒ |a| = 3√3
Jawaban: D
5. Vektor a→ dan b→ membentuk sudut α, dengan sinα=17. Jika |a→|=5 dan a→⋅b→=30, maka b→⋅b→ =…
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
Pembahasan:
sin α = 17 → cos α = 67
Vektor a dan b membentuk sudut α, sehingga berlaku
a.b = |a| |b| cos α
√30 = √5 |b| 67
√30 = |b| 307
⇒ |b| = √7
Jadi, b.b = |b|² = (√7)2 = 7.
Jawaban: C
6. Vektor a→, u→, v→, w→ adalah vektor-vektor di bidang kartesius dengan w→=u→+v→ dan sudut antara u→ dan a→adalah 45°. Jika 2a→=w→, maka u→⋅v→=…
(A) |a→|(|a→|−|u→|)
(B) |a→|(|v→|−|u→|)
(C) |a→|(|a→|−|w→|)
(D) |u→|(|a→|−|u→|)
(E) |v→|(|a→|−|u→|)
Pembahasan:
Karena w = u + v dan √2 a = w maka √2 a = u + v.
(√2 a)(√2 a) = (u + v)(u + v)
2a.a = u.u + v.v + 2u.v
2|a|² = |u|² + |v|² + 2u.v …………………….(1)
Karena √2 a = u + v maka v = √2 a – u.
v.v = (√2 a – u)(√2 a – u)
v.v = 2a.a + u.u – 2√2u.a
|v|² = 2|a|² + |u|² – 2√2u.a
Karena sudut antara u dan a adalah 45°, maka berlaku u.a = |u| |a| cos 45°, sehingga persamaan diatas menajdi :
|v|² = 2|a|² + |u|² – 2√2 |u| |a| cos 45°
|v|² = 2|a|² + |u|² – 2√2 . 22 |u| |a|
|v|² = 2|a|² + |u|² – 2|u| |a| ……………………………..(2)
Substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh :
2|a|² = |u|² + 2|a|² + |u|² – 2|u| |a| + 2u.v
2|a|² = 2|a|² + 2|u|² – 2|u| |a| + 2u.v
|u| |a| – |u|² = u.v
|u| (|a| – |u|) = u.v
Jawaban: D
7. Diberikan vektor a→ dan b→. Jika a→⋅b→=|a→|2 dan |b→|=2|a→|, maka sudut antara vektor a→ dan b→ adalah…
(A) 30°
(B) 50°
(C) 60°
(D) 70°
(E) 80°
Pembahasan:
Misalkan sudut antara vektor a dan b adalah θ, sehingga
a.b = |a| |b| cos θ
Karena a.b = |a|² dan |b| = 2|a|, maka persamaan diatas menjadi
|a|² = |a| 2|a| cos θ
|a|² = 2|a|² cos θ
1 = 2 cos θ
cos θ = 1/2 → θ = 60°
Jawaban: C
8. Diketahui tiga vektor a→, b→ dan c→ dengan |b→|=3, |c→|=4, dan a→=c→−b→. Jika γ adalah sudut antara vektor b→ dan c→, dengan a→⋅c→=25, maka sin γ =…
(A) 14
(B) 34
(C) 12
(D) 76
(E) 74
Pembahasan:
Karena a = c – b dan sudut antara vektor b dan c adalah γ, maka berlaku:
|a|² = |c|² + |b|² – 2|b| |c| cos γ
|a|² = (4)² + (3)² – 2(3)(4)cos γ
|a|² = 25 – 24cos γ ………………………(1)
Karena a = c – b maka b = c – a, sehingga berlaku:
|b|² = |c|² + |a|² – 2a.c
3² = 4² + |a|² – 2(25)
⇒ |a|² = 43 ………………………………..(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
43 = 25 – 24cos γ
24cos γ = -18
cos γ = –34 → sin γ = 74
Jawaban: E
9. Vektor a→ dan b→ membentuk sudut tumpul α, dengan sinα=17. Jika |a→|=5 dan |b→|=7, maka a→⋅b→=…
(A) 30
(B) √30
(C) -√30
(D) -20
(E) -30
Pembahasan:
sin α = 17 → cos α = −67
(cos α bernilai negatif karena α tumpul /kuadran II)
Vektor a dan b membentuk sudut α, sehingga berlaku
a.b = |a| |b| cos α
a.b = √5 √7 (-67)
a.b = -√30
Jawaban: C
10. Diketahui tiga vektor a→, b→ dan c→ dengan a→⋅c→=−9, b→⋅c→=0 dan c→=b→−a→. Misalkan α adalah sudut antara a→ dan b→. Jika |a→|=6, |c→|=3, maka sin α =…
(A) 14
(B) 12
(C) 32
(D) 74
(E) 34
Pembahasan:
Karena c = b – a maka b = a + c sehingga berlaku:
|b|² = |a|² + |c|² + 2a.c
|b|² = (6)² + (3)² + 2(-9)
|b|² = 27
|b| = √27 = 3√3
Karena c = b – a dan sudut antara a dan b adalah α, maka berlaku:
|c|² = |b|² + |a|² – 2 |b| |a| cos α
(3)² = (3√3)² + (6)² – 2(3√3)(6) cos α
⇒ cos α = 12√3
Karena cos α = 12√3 maka sin α = 12.
Jawaban: B
Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar
- Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Mudah Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?
- Penyakit yang dapat dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui
- Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia
- Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri
- Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?
- Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?
Tentang Matematika
- Trigonometri Rumus: Sinus, Cosinus, Tangen, Secan, Cosecan, Cotangen
- Rumus Vektor Spasial Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya
- Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban
- Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya
- Tes Matematika Deret Angka Untuk Yang Pintar – Tomat, Timun Dan Paprika
- Tes Matematika “Otak Atik Otak” Jumlah nomor yang harus didapatkan: 50 & Nomor yang diberikan: 2 8 9 15 20 40
- Tes Matematika Pengukuran Berat: Sebuah botol & tutupnya berberat 110g. Berat botol 100g lebih berat daripada tutupnya. Berapa berat tutupnya?
- Matematika Jika 2=6, 3=15, 4=24, 5=35, 6=48 Jadi 7=??
- Tes Matematika Pemecahan Masalah Logika Visual Psikotes Roda Gigi X – Beserta Rumus, Soal & Jawaban Untuk Menghitung Panjang Lintasan Roda
- Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya
- Soal Rumus Kimia Hidrat (Air Kristal) Dan Jawabannya
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita! Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!
Sumber bacaan: Algebra LAB, vektor
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing