Operasi Biner

Dalam matematika, sebuah operasi biner pada himpunan adalah perhitungan yang menggabungkan 2 elemen dari himpunan (disebut operan) untuk menghasilkan unsur lain yang ditetapkan. Secara lebih formal, sebuah operasi biner merupakan operasi dari arity dua yang dua domain dan satu kodomain adalah set yang sama.

Contohnya termasuk aritmetika dasar  operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Contoh lain yang mudah ditemukan di daerah yang berbeda dari matematika, seperti penjumlahan vektor, perkalian matriks dan konjugasi dalam grup.

Terminologi Operasi Biner

• Lebih jelasnya, sebuah operasi biner pada himpunan S adalah pemetaan yang memetakan unsur-unsur dari hasil kali Cartesian S × S untuk S:

• Karena hasil dari operasi pada sepasang elemen dari S adalah unsur S, operasi ini disebut operasi biner tertutup pada S (atau kadang-kadang dikatakan memiliki sifat ketertutupan).
• Jika f bukan fungsi, tetapi merupakan fungsi parsial, hal ini disebut operasi biner parsial. Misalnya, pembagian bilangan real adalah operasi biner parsial karena tidak bisa membagi dengan nol: a/0 tidak didefinisikan untuk setiap bilangan real a. Namun perlu dicatat bahwa di aljabar dan teori model kedua operasi biner tersebut dianggap didefinisikan pada semua S × S.
• Kadang-kadang, terutama dalam sains komputer, istilah ini digunakan untuk setiap fungsi biner.
• Operasi biner adalah dasar dari struktur aljabar yang dipelajari dalam aljabar abstrak: mereka sangat penting dalam definisi grup, monoid, semigrup, gelanggang, dan banyak lagi. Paling umumnya, magma adalah satu set bersama dengan operasi biner yang didefinisikan di dalamnya.

Baca juga: Kalkulator Biner – Apa itu dan Bagaimana Cara Menggunakannya?

Yang harus diketahui pada Operasi Biner

• Yang sering ditulis dengan menggunakan notasi infix seperti a ∗ b, a + b, a · b atau (oleh penjajaran dengan tidak ada simbol) ab dibanding dengan notasi fungsional dengan bentuk f(a, b). Pangkat biasanya juga ditulis tanpa operator, tapi dengan argumen kedua sebagai superscript.
• Kadang-kadang menggunakan prefix atau (mungkin lebih sering) notasi postfix, yang keduanya dipisahkan dengan tanda kurung. notasi itu juga disebut, masing-masing, notasi polandia dan reverse Polish notation.

Pasangan dan Pasangan Terurut

Sebuah operasi biner, ab, tergantung pada pasangan terurut (a, b) sehingga (ab)c (di mana kurung di sini berarti operasi pertama dilakukan pada pasangan (a, b) dan kemudian operasi selanjutnya pada hasil sebelumnya menggunakan pasangan ((ab), c)) tergantung secara umum pada pasangan ((a, b), c). Dengan demikian, secara umum, kasus non-asosiatif, operasi biner dapat direpresentasikan dengan pohon biner.

Namun:

• Jika operasi asosiatif, (ab)c = a(bc), maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada pasangan terurut (a, b, c).
• Jika operasi komutatif, ab = ba, maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada { {a, b}, c}, di mana tanda kurung menunjukkan multiset.
• Jika operasi asosiatif dan komutatif, maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada multiset {a, b, c}.
• Jika operasi asosiatif, komutatif dan idempotent, yaitu aa = a, maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada himpunan {a, b, c}.

Operasi Biner Sebagai Relasi Terner

Sebuah operasi biner f pada himpunan S dapat dilihat sebagai relasi terner di S, yaitu himpunan dari tiga pasangan (a, b, f(a,b)) di S × S × S untuk semua a dan b di S.

Operasi Biner Eksternal

• Sebuah operasi biner eksternal adalah fungsi biner dari K × S ke S. Ini berbeda dari operasi biner dalam arti K tidak perlu menjadi S; unsur-unsurnya datang dari luar.
• Contoh operasi biner eksternal adalah perkalian skalar dalam aljabar linear. Di sini K adalah suatu lapangan dan S adalah ruang vektor atas lapangan itu.
• Sebuah operasi biner eksternal  dapat juga dipandang sebagai suatu aksi; K beraksi pada S.
• Perhatikan bahwa hasil kali titik dari dua vektor bukan operasi biner, eksternal atau sebaliknya, karena operasi tersebut memetakan S× S ke K, di mana K adalah sebuah lapangan dan S adalah ruang vektor atas K.

Sifat dan Contoh Operasi Biner

Contoh yang khas dari operasi biner adalah penjumlahan (+) dan perkalian (×) dari bilangan dan matrik serta komposisi fungsi pada satu set. Misalnya,

• Pada himpunan bilangan real R, f(a, b) = a + b adalah operasi biner karena jumlah dari dua bilangan real adalah bilangan real.

  • Pada himpunan bilangan asli N, f(a, b) = a + b adalah operasi biner karena jumlah dari dua bilangan asli adalah bilangan asli. Ini adalah operasi biner yang berbeda dari yang sebelumnya karena himpunan yang berbeda.

  • Pada himpunan M(2,2), matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, f(A, B) = A + B adalah operasi biner karena jumlah dari dua matriks tersebut adalah matriks  2 × 2 .

  • Pada himpunan M(2,2), matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, f(A, B) = AB adalah operasi biner karena produk dari kedua matriks tersebut adalah matriks 2 × 2 .

  • Untuk himpunan C, misalkan S adalah himpunan semua fungsi h : C → C. Definisikan f : S × S → S dengan f(h₁, h₂)(c) = h₁ ∘ h₂ (c) = h₁(h₂(c)) untuk semua c ∈ C, komposisi dari dua fungsi h₁ dan h₂ di S. Maka fadalah operasi biner karena komposisi dari dua fungsi adalah fungsi lain pada set C (artinya, anggota dari S).

• Banyak operasi biner baik di aljabar ataupun logika formal bersifat komutatif, yaitu memenuhi f(a, b) = f(b, a) untuk semua elemen-elemen a dan b di S, atau asosiatif, yaitu memenuhi f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c)) untuk semua a, b dan c di S. Banyak juga yang memiliki elemen identitas dan elemen invers.

• Tiga contoh pertama di atas adalah komutatif dan semua contoh di atas adalah asosiatif.

• Pada himpunan bilangan real R, pengurangan, yaitu, f(a, b) = a − b, adalah operasi biner yang tidak komutatif karena, secara umum, a − b ≠ b − a. operasi tersebut juga tidak asosiatif, karena, secara umum, a − (b − c) ≠ (a − b) − c; misalnya, 1 − (2 − 3) = 2 tapi (1 − 2) − 3 = −4.

• Pada himpunan bilangan asli N, operasi biner eksponensial, f(a,b) = a^b, tidak komutatif karena, secara umum, a^b ≠ b^a dan juga tidak asosiatif karena f(f(a, b), c) ≠ f(a, f(b, c)). Misalnya, dengan memilih a = 2, b = 3 dan c= 2, f(2³,2) = f(8,2) = 64, tetapi f(2,3²) = f(2,9) = 512. Dengan mengganti himpunan N menjadi himpunan bilangan bulat Z, operasi biner ini menjadi operasi biner  parsial karena sekarang operasi tersebut tidak terdefinisi apabila a = 0 dan b adalah sembarang bilangan bulat negatif. Pada himpunan N dan Z, operasi ini memiliki identitas kanan (yaitu 1) karena f(a, 1) = a untuk semua a dalam dalam himpunan tersebut, tapi 1 bukan merupakan identitas (identitas kiri dan kanan) karena f(1, b) ≠ b pada umumnya.

• Pembagian (/), sebuah operasi biner parsial pada himpunan bilangan real atau bilangan rasional, tidak komutatif atau asosiatif. Tetration (↑↑), sebagai operasi biner pada bilangan asli tidak komutatif atau asosiatif dan tidak memiliki elemen identitas.

Contoh Soal dan Jawaban Operasi Biner

1. Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefinisikan x * y = |x – y| bila x ¹ y dan x * x = x untuk

setiap x,y Î Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan assosiatif.

Penyelesaian:

• Tertutup

Misalkan x = 2 dan y = 3,
x * y = 2 * 3 = 1
x * x = 2 * 2 = 2
x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Î Z+

• Komutatif

x, y Î Z+, misalkan x = 2 dan y = 3
x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1
y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1
x * y = y * x komutatif

• Assosiatif

x, y, z Î Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4
(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3
x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1
(x * y) * z ¹ x * (y * z) tidak assosiatif.

2. Didefinisikan operasi * pada Z dengan syarat untuk setiap a,b € Z , a*b=a/b.
Apakah operasi * merupakan operasi biner pada Z ?

Jawab:

Diperhatikan bahwa jika a =1 dan b = 2 akan berakibat a*b=1*2=1/2 bukan anggota Z. Jadi,operasi * tidak memenuhi kondisi tertutup.

Diperhatikan juga bahwa jika a =1 dan b = 0 akan berakibat a*b = 1*0 = 1/0 yang tidak bisa didefinisikan. Jadi, operasi * tidak memenuhi kondisi terdefinisi dengan baik.

Jadi, operasi * bukan merupakan operasi biner pada Z .

3. Jika A, B Î R didefinisikan A = { x | 1 £ x £ 4} = { 1, 2, 3, 4} dan B = { x | 2 £ x £ 3} = {2, 3}. Tunjukan bahwa A x B ¹ B x A !

Penyelesaian:

Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3)}

Relasi terhadap B x A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}

4. Pada Z⁺ didefenisikan * dengan a*b = a+b , a,b € Z⁺. apakah Z⁺ tertutup ?

Jawab:

Misal a = 2 dan b = 4 , a,b € Z^{+ .}
a * b = a + b = 2 + 4 = 6
Jadi, tertutup karena hasilnya berada pada Z⁺

a) Apakah opersi biner pada a * b = c, dimana c adalah bilangan bulat yang lebih besar dari a dan b tidak terdefenisi dengan baik?.

Jawab:

misal 2 * 3 tidak jelas hasilnya karena hasilnya bisa 4 atau 6.
Jadi operasi * tidak terdefinisi dengan baik.

b) Diketahui z adalah himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan opersi * dimana a*b = a + b, a,b € Z.Apakah operasi * terdefinisi dengan baik ?

Jawab:

a*b = a + b, a,b € Z
misal 2 * 3 = 5

Dapat diperhatikan bahwan sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka setiap dua bilangan bulat dapat dijumlahkan dan menghasilkan bilangan bulat. Jadi, terbukti opersi * terdefinisi dengan baik.

5. Misalkan S adalah himpunan bilangan Riil kecuali 1. Operasi * didefinisikan pada S dengan a*b = a + b – ab, S ∈ R dan 1 ∉ S.

a)   Buktikan ketertutupan operasi *

Jawab:

Dengan metode kontradiksi, asumsikan a*b tidak tertutup sehingga:

a*b = 1
a*b = a + b -ab = 1 ⇒ a + b = 1 + ab ⇒ (a + b -ab)a = (1)a ⇒ a²  + b²  -a² b = a
⇒ a² + ab – a²b – a = 0 ⇒ (a² – a²b) + (ab – a) = 0  ⇒  a²(1 – b) -a(1 – b) = 0
⇒ (a² – a) + (1 – b) = 0 sehingga a = 1 dan b = 1 karena 1 ∉ S timbul kontradiksi, jadi terbukti bahwa  S tertutup di bawah opersasi *

b)  Tunjukkan bahwa <S, *> adalah sebuah group.

1. Tertutup.

Telah terbukti di atas.

2.  Assosiatif: (a*b)*c = a*(b*c)

LHS : (a*b)*c = (a + b – ab) + c – (a + b -ab)c ⇒  a + b + c -ab – ab – ac -abc
RHS : a*(b*c) = a*(b + c – bc) = (a + (b + c – bc) – a(b + c – bc)
⇒ a + b + c – ab – ac – bc + abc   sehingga LHS = RHS , terbukti assosiatif

3)   Memiliki elemen identitas, e*a = a*e = a ⇒ e + a – ea = a

e – ea = 0 ⇒ e (1 – a) = 0 ⇒ e = 0 atau a = 1, karena 1 ∉ S sehingga e = 0
(elemen identitas (e) = 0)

4)  Memiliki invers.  a*a’ = b*b’ = e ⇒ a*a’ = b*b’ = 0

a + a’ – aa’ = 0 ⇒ a'(1 – a) = -a  ⇒  a’ = – a ⁄ (1 – a) ⇒ a’ = a / (a – 1)
b + b’ -bb’ = 0 ⇒ b'(1 – b) = -b⇒  b’ = -b / (1 – b) ⇒ b’ = b / (b – 1)
c)  Tentukan nilai x bila 3*x*2 = 7 di dalam S
(3 + x – 3x)*2 = 7 ⇒  (3 + x -3x) + 2 – (3 + x – 3x)2 = 7
5 – 2x – 6 – 2x + 6x = 7 ⇒  2x = 8 ⇒  x = 4  ( 4 ∈ S ).

6. Tentukan apakah operasi biner berikut terdefinisi, terdefinisi dengan baik dan tertutup?
a.       Pada {1,2,3,4,5,6} didefinisikan * dengan x * y = x y +2
b.      Pada Z⁺ didefinisikan * dengan x * y adalah bilangan di Z⁺ yang lebih kecil dari x dan y
c.       Pada bilangan genap didefinisikan * dengan x * y = x + y
d.      Pada Q didefinisikan * dengan x * y = x/ y

Jawaban:

7. Lengkapi table operasi biner * di bawah ini untuk mendefinisikan operasi biner yang bersifat komutatif dan asosiatif pada S = {a,b,c}

Jawab:

S = {a,b,c}

Bukti table di atas komutatif dan asosiatif:

a) Komutatif
a*b = b*a
b = b

b) Asosiatif
a*(b*c) = (a*b)*c
a*a = b*c
a  = a.

8. Tentukan apakah operasi biner berikut terdefinisi, terdefinisi dengan baik dan tertutup?
a.       Pada {1,2,3,4,5,6} didefinisikan # dengan x # y = x y +2
b.      Pada Z⁺ didefinisikan # dengan x # y adalah bilangan di Z⁺ yang lebih kecil dari x dan y.
c.       Pada bilangan genap didefinisikan # dengan x # y = x + y
d.      Pada Q didefinisikan # dengan x # y = x/ y

Jawaban :
a.       Di sini # tidak tertutup karena 3 # 4 = 14, 14 tidak ada pada himpunan S
b.      Definisi # pada operasi ini tidak terdefinisi dengan baik sebab 4 # 10 hasilnya bisa 1 atau bisa 2 dan bisa 3. Jadi di sini hasilnya tidak jelas dan lebih dari satu
c.       Disini # terdefinisi tertutup  karena 2 # 4 = 6. 6 termasuk bilangan genap
d.      Disini # tidak terdefinisi ,karena bilangan rasional 2#0 tidak terdefinisi.

<h4″>9. Tentukan definisi ¤ pada suatu himpunan yang merupakan operasi biner. Jika ¤ bukan operasi biner,jelaskan kondisi yang tidak dipenuhinya.
a.       Pada Z⁺ , didefinisikan x ¤ y = x/y
b.      Pada Z⁺ , didefinisikan x ¤ y =
</h4″>

Jawaban:
a.       x/y merupakan operasi biner pada Z⁺
b.       bukan merupakan operasi biner pada Z⁺ , karena 1¤2= dan  tidak ada di Z⁺

10. Misalkan suatu himpunan yang tidak kosong Z⁺ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefenisikan x * y = |x – y| bila x ≠ y dan x * x = x untuk setiap x,y € Z⁺. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan asosiatif.

Penyelesaian:

Tertutup

Misalkan x = 2 dan y = 3,
x * y = 2 * 3 = 1
x * x = 2 * 2 = 2
x * y dan x * x tertutup tehadap Z⁺, sehingga x, y Î Z⁺

Komutatif

x, y € Z⁺, misalkan x = 2 dan y = 3
x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1
y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1
x * y = y * x komutatif

Assosiatif

x, y, z € Z⁺, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4
(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3
x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1
(x * y) * z ¹ x * (y * z) tidak assosiatif.

11. Diketahui: Himpunan A adalah himpunan bilangan asli. A = { 1, 2, 3, 4, 5, ….} dan a * b = a + b. Ditanya: Apakah himpunan A memiliki identitas?

Jawaban:

Misal, a = 4

a * ℮   = a                                    ℮ * a = a

4 + ℮  = 4                       ℮ + 4 = 4

         ℮ = 0                             ℮ = 0

12. Jika diketahui: Himpunan A adalah bilangan ganjil. A = { 1, 3, 5, 7, ….} dan a * b = a + b + 3. Ditanya: Apakah himpunan A memiliki identitas?

Jawaban:

Misal, a = 7

         a * ℮ = a                         ℮ * a = a

a + ℮ + 3 = a                ℮  + a + 3 = 7

7 + ℮ + 3 = 7               ℮  + 7 + 3 = 7

                ℮ = -3                            ℮ = -3

13. S={1,2,3,4,5,6} Apabila dilihat dari operasi penjumlahan dan pengurangan bukan merupakan operasi biner pada S,

A. Penjumlahan operasi biner,pengurangan bukan operasi biner.
B. Penjumlahan bukan operasi biner,pengurangan bukan operasi biner.
C. Penjumlahan operasi biner,pengurangan operasi biner.
D. Penjumlahan operasi bukan biner,pengurangan operasi biner.

Jawaban: B

Pembahasan:

Jika dilihat dari operasi penjumlahan,
1 + 2 = 3, 3 merupakan elemen dari S
2 + 2 = 4, 4 merupakan elemen dari S
5 + 2 = 7, 7 bukan merupakan elemen dari S

Jadi operasi penjumlahan bukan merupakan operasi biner

Jika dilihat dari operasi pengurangan,
4 – 2 = 2, 2 merupakan elemen dari S
2 – 2 = 0, 0 bukan merupakan elemen dari S
5 – 2 = 3, 3  merupakan elemen dari S

Jadi operasi pengurangan bukan merupakan operai biner

Maka dari itu, penjumlahan bukan operasi biner,pengurangan bukan operasi biner.

14. Pada Z⁺ didefenisikan * dengan a*b = a+b , a,b € Z⁺. apakah Z⁺ tertutup?

A. Tertutup.
B. Tidak Tertutup.
C. Tidak Terdefinisi.
D. Terdefinisi dengan Baik.

Jawaban: A

Misal a = 2 dan b = 4 , a,b € Z^{+ .}

a * b = a + b = 2 + 4 = 6

Jadi, tertutup karena hasilnya berada pada Z⁺ 

<h415. Diketahui C merupakan anggota himpunan bilangan bulat dan a * b = a + b + 1. Apakah C memiliki invers?
</h4

a. Mencari identitas terlebih dahulu

Jawaban:          

Misal, a = 2

  a * e = a                                        e * a = a

      a + e + 1 = a                               e + a + 1 = a

       2 + e + 1= 2                              e + 2 + 1 = 2

        e = 2-3                                         e = 2-3

        e = -1                                            e = -1

C memiliki identitas, yaitu e = -1. Karena  a * e = a sama dengan e * a = a dan termasuk ke dalam himpunan.

b. Identitas yang didapat, lalu dimasukkan ke dalam persamaan invers.

        a * a^-1  = e                                           a^-1  * a = e        

a + a^-1 + 1 = e                                   a^-1  + a + 1 = e

 2 + a^-1 + 1= -1                                   a^-1  + 2 + 1 = -1

                a^-1 = -1-3                                            a^-1  = -1-3

               a^-1  = -4                                               a^-1  = -4

C memiliki invers karena a * a^-1  = e sama dengan a^-1  * a = e dan a^-1  = -4 termasuk dalam himpunan.

16. Diketahui himpunan S merupakan anggota himpunan bilangan prima dan a * b = a.b + 3

Jawaban:

Misal, a = 3

Mencari identitas terlebih dahulu

     a * e = a                                 e * a = a               

                                    a.e + 3 = a                             e.a + 3 = a

3.e + 3 = 3                             e.3 + 3 = 3

         3e = 3-3                                             3e = 3-3

         3e = 0                                     3e = 0

           e = 0                                        e = 0  

Karena S tidak memiliki identitas, maka S tidak memiliki invers.

Bacaan Lainnya

• Bilangan Biner (Berbasis 2)
• Tabel Kebenaran Operasi Biner
• Soal UNBK Matematika SMA – Contoh Soal dan Jawaban
• Perbandingan Rasio Matematika – Rumus, Contoh Soal dan Jawaban
• Aksi Grup Matematika
• Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
• Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Bersama Contoh Soal dan Jawaban
• Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban
• Kuis Naluri Atau Insting Kehidupan: Apa Yang Anda Lakukan Pada Saat Kebakaran? Tips Cara Mencegah Kebakaran Di Rumah
• Cara Menjaga Keamanan Rumah – Cara Pintar Untuk Setiap Hari
• Cara Tips Pintar Dalam Kehidupan Sehari-Hari
• Puncak Gunung Tertinggi Di Dunia dimana?
• TOP 10 Gempa Bumi Terdahsyat Di Dunia
• Apakah Matahari Berputar Mengelilingi Pada Dirinya Sendiri?
• Test IPA: Planet Apa Yang Terdekat Dengan Matahari?
• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Mudah Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
• TOP 10 Virus Paling Mematikan Manusia
• Meteorit Fukang – Di Gurun Gobi
• Festival Mooncake – Festival Musim Gugur (Festival Kue Bulan)

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

• HP Android
• HP iOS (Apple)

Sumber bacaan: Purple Math, A to Z Math, Math World, Math is Fun

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing