Perkalian Vektor: Produk Skalar / Perkalian Titik, Silang dan Langsung – Bersama Contoh Soal dan Jawaban

Definisi menurut aljabar

Produk skalar dua vektor A = [A₁, A₂, …, A_n] dan B = [B₁, B₂, …, B_n] didefinisikan sebagai:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af37e403a991bc025d1393175c48da59f50db69b" alt="{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+\cdots +A_{n}B_{n}}" width="21125" height="2946.1">

di mana Σ melambangkan summation notation dan n adalah dimensi ruang vektor. Misalnya, dalam ruang tiga dimensi, produk skalar vektor-vektor [1, 3, −5] dan [4, −2, −1] adalah:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629382754039a54ee103d63949c15eb3bbb082a3" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&amp;=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)\\&amp;=4-6+5\\&amp;=3.\end{aligned}}}" width="23322.1" height="3807.2">

Definisi menurut geometri

Dalam ruang Euclidean, suatu vektor Euclidean adalah sebuah objek geometri yang memiliki baik besaran (magnitude) dan arah (direction). Sebuah vektor dapat digambarkan seperti sebuah anak panah. Besarannya adalah panjangnya, sedangkan arahnya adalah yang ditunjuk oleh ujung panah. Besaran vektor A dilambangkan dengan $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cc44bce17ad7f0dbc516545fe68bf4599bc4d8" alt="{\displaystyle \|\mathbf {A} \|}" width="1870.5" height="1223.9">$ . Produk skalar dua vektor Euclidean A dan B didefinisikan sebagai:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb1da1f07c00da888269e2fb483494fabc2efb5" alt="{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}" width="10022.5" height="1223.9">

di mana θ adalah sudut di antara A dan B.

Secara khusus, jika A dan B adalah ortogonal, maka sudut di antara keduanya adalah 90° dan

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409422cabf491c548f0741bce1176a4dd95587a5" alt="{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0.}" width="4524" height="936.9">

Pada keadaan ekstrem lain, jika kedua vektor itu mempunyai arah yang sama (codirectional), maka sudut di antara keduanya adalah 0° dan

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cac63c77eb3ff459fa8265aec1c152e3d52333" alt="{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|}" width="7601.7" height="1223.9">

Ini menyiratkan bahwa produk skalar suatu vektor A dengan dirinya sendiri adalah

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433a980f3b61799246aa04b743c548c5243bcab6" alt="{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}" width="6398.9" height="1367.4">

yang menghasilkan

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ab417c7a0ff24781ac3b9f1e2466d657f8f112" alt="{\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}" width="6778.5" height="1367.4">

rumus untuk panjang Euclidean vektor itu.

Sifat Produk Skalar / Perkalian Titik

Produk skalar memenuhi sifat-sifat berikut jika a, b, dan c adalah vektor real dan r adalah suatu bilangan skalar.

Komutatif:

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ea1d31b59aaad70f76605b0eacd88d9f0f8cbf" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}" width="5456.4" height="936.9">$

which follows from the definition (θ is the angle between a and b):

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a16d55aa3a8e8d62bfdb5006f4e71bc33740da" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta =\|\mathbf {b} \|\|\mathbf {a} \|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }" width="18532.7" height="1223.9">$
Distributif over vector addition:

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f483a3722bee6d25aaee76359d3c80a15898086" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}" width="10986.8" height="1223.9">$
Bilinear:

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f53cbee56949f939497c8b5ed0ceb9a2f25912" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}" width="13447.8" height="1223.9">$
Perkalian skalar:

$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c298336845676ee487cdcccd6a90b0c9f8bbf921" alt="{\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}" width="11064.6" height="1223.9">$
Ortogonal:

Dua vektor bukan-nol a dan b adalah ortogonal jika dan hanya jika a ⋅ b = 0.
Tidak ada cancellation:

Berbeda dengan perkalian angka biasa, di mana jika ab = ac, maka b selalu sama dengan c kecuali a sama dengan nol, produk skalar tidak menuruti cancellation law:

Jika a ⋅ b = a ⋅ c dan a ≠ 0, maka dapat ditulis: a ⋅ (b − c) = 0 dengan hukum distributif; hasil di atas mengatakan bahwa ini hanya berarti a tegak lurus dengan (b − c), di mana masih mengizinkan (b − c) ≠ 0, sehingga b ≠ c.
Product Rule: Jika a dan b adalah suatu fungsi, maka turunan (dilambangkan oleh tanda prime ′) dari a ⋅ b adalah a′ ⋅ b + a ⋅ b′.

Perkalian Vektor: Produk Skalar / Perkalian Titik, Silang dan Langsung – Bersama Contoh Soal dan Jawaban

Perkalian Vektor

Produk Skalar Vektor atau Perkalian Titik

Perkalian Silang Vektor

Perkalian langsung Vektor

Produk Skalar / Perkalian Titik

Definisi menurut aljabar

Definisi menurut geometri

Sifat Produk Skalar / Perkalian Titik

Posisi vektor

Panjang vektor

Vektor satuan

Operasi aljabar pada vektor

Sifat operasi aljabar pada vektor

Hubungan vektor dengan vektor lain

Sudut dua vektor

Panjang proyeksi dan proyeksi vektor

Perbandingan

Contoh Soal dan Jawaban Perkalian Vektor

1. Dua buah vektor pangkalnya saling bertemu membentuk sudut 60°, vektor A panjangnya 60 cm sedangkan vektor B panjangnya 40 cm. Berapa nilai perkalian titik (dot) dan perkalian silang (cross) kedua vektor tersebut?

2. Sebuah hasil perkalian vektor diperoleh bahwa A.B = 40 meterpersegi. Jika besar vektor B yang panjangnya 4 meter membentuk sudut 60°. Berapa panjang vektor A dalam centimeter?

3. Tentukan Kedua Vektor di bawah ini.

**4. Dua buah vektor A dan B pangkalnya membentuk sudut 60°. Jika A = 2 Bdan A.B=400 meterpersegi. Maka berapa besar vektor A dan B?**

5. Vektor A memiliki panjang sebesar 10 cm sedangkan vektor B memiliki panjang sebesar 20 cm. Keduanya memiliki pangkal yang membentuk sudut a. Jika A x B besarnya 1 meterpersegi, berapa besar sudut a?

6. Tentukan Hasil perkalian Titik (Dot Product) dari dua Vektor Berikut Ini

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Tentang Matematika

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai