Bagian pertama dari teorema ini, kadanng disebut sebagai telurma dasar kalkulus pertama, menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu dapat dibalikkan menggunakan pendiferensialan.

Bagian kedua, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengizinkan seseorang menghitung integral tertentu sebuah fungsi menggunakan salah satu dari banyak antiturunan (integral tak tentu). Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena ia dengan signifikan mempermudah perhitungan integral tertentu.

Penyataan yang pertama kali dipublikasikan dan bukti matematika dari versi terbatas teorema dasar ini diberikan oleh James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow membuktikan versi umum bagian pertama teorema ini, sedangkan anak didik Barrow, Isaac Newton (1643-1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried Leibniz (1646–1716) mensistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.

Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow.

Contoh Soal Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan kita perlu menghitung

Di sini,  dan kita dapat menggunakan  sebagai antiturunan. Sehingga:

Atau lebih umumnya, misalkan kita perlu menghitung

Di sini,  dan kita dapat menggunakan  sebagai antiturunan. Sehingga:

Namun hasil ini akan lebih mudah didapatkan apabila menggunakan:

Pembuktian bagian pertama Teorema Dasar Kalkulus

Andaikan

Misalkan terdapat dua bilangan x₁ dan x₁ + Δx pada [a, b]. Sehingga didapatkan

dan

Pengurangan kedua persamaan di atas menghasilkan

Bisa ditunjukan bahwa

(Jumlah dari luas wilayah yang bersampingan sama dengan jumlah kedua wilayah yang digabungkan.)

Dengan memanipulasi persamaan ini, kita dapatkan

Substitusikan persamaan di atas ke (1), sehingga

Menurut teorema nilai antara untuk pengintegralan, terdapat sebuah c pada [x₁, x₁ + Δx] sehingga

Substitusikan persamaan di atas ke (2), kita dapatkan

Bagi kedua sisi dengan Δx, menghasilkan

Perhatikan pula ekspresi pada sisi kiri persamaannya adalah hasil bagi beda Newton untuk F pada x₁.

Dengan mengambil limit Δx → 0 pada kedua sisi persamaan:

Ekspresi pada sisi kiri persamaan adalah definisi turunan dari F pada x₁.

Untuk mencari limit lainnya, kita gunakan teorema apit. c ada pada interval [x₁, x₁ + Δx], sehingga x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx.

Juga,  dan 

Sehingga menurut teori apit,

Substitusikan ke (3), kita dapatkan

Fungsi f kontinu pada c, sehingga limit dapat diambil di dalam fungsi. Oleh karena itu, kita dapatkan

yang menyelesaikan pembuktian

(Leithold dkk., 1996)

Pembuktian bagian kedua Teorema Dasar Kalkulus

Ini adalah pembuktian limit menggunakan penjumlahan Riemann.

Misalnya f kontinu pada interval [a, b], dan F adalah antiturunan dari f. Dimulai dengan kuantitas

Misalkan pula terdapat bilangan-bilangan

x₁, …, x_n

sehingga

Maka

Sekarang kita tambahkan setiap F(x_i) bersamaan dengan balikan aditif (inverse additive), sehingga kuantitas yang dihasilkan adalah sama:

Kuantitas di atas dapat ditulis sebagai penjumalhan berikut:

Kemudan kita akan menggunakan teorema nilai purata. Dinyatakan dengan singkat,

Misalkan F kontinu pada interval tertutup [a, b] dan terdiferensialkan pada interval terbuka (a, b). Maka terdapat c pada (a, b) yang

Sehingga

Fungsi F terdiferensialkan pada interval [a, b]; sehingga ia juga terdiferensialkan dan kontinu pada setiap interval x_i-1. Oleh karena itu, menurut teorema nilai purata,

Substitusikan persamaan di atas ke (1), kita dapatkan

Asumsi ini mengimplikasikan  Juga,  dapat diekspresikan sebagai  dari partisi .

Perhatikan bahwa kita sedang menjelaskan luas persegi panjang, dengan lebar kali tinggi, dan kita menggabungkan total semua luas persegi panjang tersebut. Setiap persegi panjang, dengan teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata, merupakan pendekatan dari bagian kurva yang digambar. Juga perhatikan bahwa  tidak perlulah sama untuk setiap nilai , atau dengan kata lain lebar persegi panjang dapat berbeda-beda. Apa yang perlu kita lakukan adalah mendekatkan kurva tersebut dengan  persegi panjang. Semakin kecil partisi ini dan semakin besar n, maka kita akan mendapatkan luas wilayah kurva yang semakin mendekati nilai sebenarnya.

Dengan mengambil limit ekspresi norma partisi mendekati nol, kita mendapatkan integral Riemann. Yakni, kita mengambil limit partisi yang terbesar mendekati nol dalam hal ukuran, sehingga partisi-partisi lainnya lebih kecil dan jumlah partisi mendekati tak terhingga.

Maka kita mengambil limit pada kedua sisi (2). Kita dapatkan

Baik F(b) maupuan F(a) tidak bergantung pada ||Δ||, sehingga limit pada bagian sisi kiri tetaplah F(b) – F(a).

Ekspresi pada sisi kanan persamaan merupakan definisi dari integral terhadap f dari a ke b. Sehingga kita dapatkan:

yang menyelesaikan pembuktian.

Perampatan

Kita tidak perlu mengasumsikan kekontinuan f pada keseluruhan interval. Bagian I dari teorema menyatakan: Jika f adalah setiap fungsi terintegral Lebesgue pada [a, b] dan x₀ adalah bilangan pada [a, b] sehingga f kontinu pada x₀, maka

terdiferensialkan untuk x = x₀ dengan F’(x₀) = f(x₀). Kita dapat melonggarkan kondisi f lebih jauh dan andaikan bahwa ia hanyalah terintegralkan secara lokal/setempat. Pada kasus ini, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi F terdiferensialkan hampir di mana-mana dan F’(x) = f(x) hampir di mana-mana. Ini kadang-kadang dikenal sebagai Teorema pendiferensialan Lebesgue.

Bagian II dari teorema adalah benar untuk setiap fungsi terintegral (integrable fungction) Lebesgue f yang mempunyai sebuah antiturunan F (tidak semua fungsi terintegral mempunyainya).

Versi teorema Taylor yang mengekspresikan suku galat (error term) sebagai sebuah integral dapat dilihat sebagai sebuah perampatan (generalization) dari teorema dasar.

Terdapat sebuah versi teorema untuk fungsi kompleks: andaikan U adalah himpunan terbuka pada C dan f: U → C adalah fungsi yang mempunyai sebuah antiturunan holomorfik F pada U. Maka untuk setiap kurva γ: [a, b] → U, integral kurva dapat dihitung sebagai

Teorema dasar dapat dirampatkan ke integral kurva dan permukaan pada dimensi yang lebih tinggi dan pada manifold.

Salah satu pernyataan yang paling kuasa (powerful) adalah teorema Stokes: Diberikan M sebagai manifold mulus sesepenggaldimensin berorientasi dan omega  adalah sebuah bentuk n−1, yakni bentuk diferensial yang disangga secara kompak pada M kelas C¹. Jika ∂M menandakan sempadanM dengan orientasi terinduksinya, maka

Di sini  adalah turunan luar yang hanya terdefinisikan menggunakan struktur manifold.

Teorema ini seringkali digunakan dalam situasi ketika M adalah submanifold berorientasi terbenam (embedded oriented submanifold) dari manifold yang lebih besar di mana bentuk omega  didefinisikan.