Site icon PINTERpandai

Topologi Matematika – Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi

Topologi matematika

Beberapa titik pada dua bola dan serat yang sesuai dalam fibrasi Hopf. Serat Hopf diproyeksikan ke 3-bola oleh varian proyeksi stereografik. Sumber foto: Wikimedia

Topologi Matematika

Topologi Matematika merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan). Karena sifat ini, topologi disebut pula geometri karet.

Ia muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk dan transformasi.

Mug and Torus morph
Deformasi terus menerus (sejenis homeomorfisma) dari sebuah cangkir menjadi donat (torus) dan kembali lagi. Sumber foto: LucasVB / Wikimedia Commons

1. Topologi terhadap Himpunan

Istilah topologi matematika juga dipakai untuk sebuah ide matematis yang sangat pokok dalam sebuah cabang matematika yang disebut topologi. Secara sederhana, sebuah topologi memberikan deskripsi bagaimana anggota-anggota dalam sebuah himpunan saling terkait secara spasial (misal kedekatan antara 2 titik).

Himpunan yang sama dapat pula diberikan topologi yang berbeda. Misalkan, garis bilangan real, bidang kompleks, dan himpunan Kantor dapat dianggap sebagai himpunan yang sama tetapi dengan topologi matematika yang berbeda-beda (ketiganya memiliki kardinalitas yang sama).

Secara formal, misalkan X sebuah himpunan dan τ adalah keluarga subhimpunan dari X. Maka τ disebut topologi terhadap X jika:

  1. Himpunan kosong dan X adalah anggota dari τ{\displaystyle \emptyset ,X\in \tau }
  2. Gabungan anggota-anggota dari τ dengan jumlah sembarang adalah anggota dari τ
  3. Irisan anggota-anggota dari τ yang jumlahnya berhingga adalah anggota dari τ

Jika τ adalah topologi terhadap X maka pasangan (Xτ) disebut ruang topologi.

Anggota dari τ disebut himpunan terbuka di dalam X. Sebuah subhimpunan A dari X disebut tertutup jika komplemennya ada di dalam τ (komplemennya terbuka, X ∖ A ϵ τ). Sebuah subhimpunan dari X dapat merupakan himpunan terbuka, tertutup, terbuka dan tertutup, atau tidak kedua-duanya.

Himpunan kosong dan X sendiri masing-masing selalu tertutup dan terbuka. Sebuah subhimpunan N(x) dari X yang merupakan superhimpunan dari sebuah himpunan terbuka U yang memiliki sebagai salah satu anggotanya adalah x disebut tetangga dari x ().

Definisi ini dicetuskan oleh Felix Hausdorff. Misalkan X adalah sebuah himpunan, dengan anggota-anggotanya yang sering kali disebut titik-titik, meski sebenarnya bisa obyek matematis apapun. X boleh himpunan kosong. Pilih sebuah fungsi N yang menyematkan kepada setiap titik x sebuah koleksi N(x) keluarga subhimpunan dari X.

Anggota-anggota dari N(x) disebut ketetanggaan dari x terhadap N (atau cukup, ketetanggaan dari x). Fungsi N disebut topologi ketetanggaan jika aksioma-aksioma di bawah terpenuhi; dan pasangan (X, N) adalah sebuah ruang topologi.

  1. Jika N adalah ketetanggaan dari x (N ∈ N(x)), maka x ∈ N. Dalam kata lain, setiap titik merupakan anggota dari ketetanggaannya.
  2. Jika N adalah subhimpunan dari X dan memuat sebuah ketetanggaan dari x, maka N adalah ketetanggaan dari x. Setiap superhimpunan dari ketetanggaan sebuah titik merupakan ketetanggaan titik itu pula.
  3. Irisan dua ketetanggaan dari x adalah sebuah ketetanggaan dari x juga.
  4. Seluruh ketetanggaan N dari x memuat ketetanggaan M dari x sedemikian sehingga N adalah ketetanggaan dari seluruh titik-titik di M.

Tiga aksioma pertama dari hubungan ketetanggaan memiliki maksud yang jelas. Aksioma ke-empat memiliki peran penting dalam menentukan struktur topologi matematika ketetanggaan N, yaitu menentukan hubungan ketetanggaan dari titik-titik yang berbeda.

Contoh umum dari hubungan ketetanggaan adalah sistem ketetanggaan pada garis bilangan riil, dimana N adalah ketetanggaan dari sebuah bilangan riil x jika ia memuat sebuah interval terbuka yang memiliki xsebagai anggotanya.

Dengan struktur demikian, sebuah subhimpunan U dari X disebut subhimpunan terbuka jika U merupakan ketetanggaan bagi seluruh anggotanya.

Diberikan himpunan tak-kosong X, suatu koleksi {tau } yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari X dikatakan topologi matematika pada X, jika ia memenuhi

Pasangan  dikatakan ruang topologi, dengan koleksi  disebut sebagai topologi pada X, serta anggota  disebut sebagai himpunan terbuka dari X.

Menggunakan hukum de Morgan, aksioma-aksioma di atas yang menggunakan himpunan terbuka dapat diubah menjadi aksioma-aksioma menggunakan himpunan tertutup:

  1. Himpunan kosong dan X merupakan himpunan tertutup.
  2. Sembarang Irisan dari himpunan tertutup juga tertutup.
  3. Gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup juga tertutup.

Menggunakan aksioma-aksioma ini topologi pada X ditentukan oleh koleksi {tau } keluarga subhimpunan tertutup dari X dengan komplemennya adalah himpunan terbuka.

Empat contoh dan dua bukan-contoh topologi pada set tiga poin {1,2,3}. Contoh bawah-kiri bukan topologi karena penyatuan {2} dan {3} [yaitu {2,3}] hilang; contoh kanan bawah bukan merupakan topologi karena perpotongan {1,2} dan {2,3} [i.e. {2}], hilang. Sumber foto: Wikipedia
Contoh topologi matematika diskret

S = {1, 2, 3}, T = {, {1, 2, 3}}, T1 = , T2 = {1, 2, 3}, A = {1, 2}
(i) T1T2 = {1, 2, 3} T
(ii) T1T2 =  T
(iii)   T, S  T

2. Homeomorfisme

Dalam bidang topologi, homeomorfisme atau isomorfisme topologi (dari bahasa Yunani, homeos = identik dan morphe = bentuk) adalah isomorfisme khusus antara ruang topologi yang memenuhi sifat-sifat topologi. Dua ruang dengan homeomorfisme antara mereka disebut homeomorfis. Dari tinjauan topologi mereka adalah sama.

Secara kasar dapat dikatakan, ruang topologi adalah objek geometri dan homeomorfisme adalah peregangan dan pembengkokan kontinu dari suatu objek menjadi objek bentuk baru. Jadi persegi dan lingkaran adalah homeomorfis. Dalam tinjauan topologi, cangkir bergagang satu dan kue donat adalah sama.

Sebuah fungsi  antara dua ruang topologi  dan  disebut homeomorfisme jika memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

Fungsi dengan tiga sifat ini disebut juga dwikontinu. Jika terdapat fungsi dengan sifat-sifat tersebut, kita katakan  dan  adalah homeomorfik. Sebuah swahomeomorfisme atau otohomeomorfisme merupakan homeomorfisme dari sebuah ruang topologi ke dirinya sendiri. Homeomorfisme membentuk sebuah hubungan kesetaraan dalam sebuah kelas atau keluarga ruang topologi. Kelas kesetaraan ini disebut kelas homeomorfisme.

Contoh Homeomorfisme

 Sebuah simpul trefoil homeomorfik dengan torus, tapi tidak isotopik (setara secara homotopi) di R3. Pemetaan kontinu tidak selalu bisa direalisasikan sebagai deformasi. Simpul ditebalkan untuk membuat gambar mudah dipahami.
Beberapa titik pada dua bola dan serat yang sesuai dalam fibrasi Hopf. Serat Hopf diproyeksikan ke 3-bola oleh varian proyeksi stereografik. Sumber foto: Wikimedia

Contoh Soal Topologi Matematika

1. Diberikan  adalah suatu topologi pada 

i.  Ambil .

sehingga 

Jadi, 

2. Diberikan  dan 

maka  merupakan topologi pada , karena memenuhi semua kondisi dari definisi 1

3. Diberikan  dan 

maka  bukanlah topologi pada  irisan  dua himpunan di  tidak termuat di . Itu artinya  tidak memenuhi kondisi (iii) pada definisi 1.

4. Diberikan  dan 

maka  bukanlah topologi pada  karena gabungan  dua himpunan di  tidak termuat di . Itu artinya  tidak memenuhi kondisi (ii) pada definisi 1

5. Diberikan  himpunan bilangan asli dan  memuat  dan himpunan bagian berhingga dari  maka  bukanlah topologi pada . Karena gabungan tak hingga 

dari himpunan-himpunan di  tidak termuat di .Itu artinya  tidak memenuhi kondisi (ii) pada definisi 1.

6. Misalkan N = { 1,2,3,…} dan M = { 2,4,6,…}

Fungsi F : N → M yang didefinisikan oleh f(x) = 2x yang berkorespondensi satu – satu. Maka N equivalend dengan M.

7. Suatu kalimat terbuka ?(?, ?) dimana ?(?, ?) bernilai benar atau salah untu sebarang pasangan terurut (?, ?) yang termuat di ? × ?. Maka kita sebut ? suatu relasi dari ? ke ? dan menyatakannya dengan ? = (?, ?, ?(?, ?)). Jika ?(?, ?) bernilai benar, kita tulis ???, dibaca “? berhubungan dengan ?”. Jika ?(?, ?) tidak benar, kita tulis ???, dibaca “? tidak berhubungan dengan ?”.

8. Jika K = { k, o, m, p, a, s } dan L = { m, a, s, u, k }, maka K    L = …

A. { p. o, s, u, k, m, a }
B. { m, a, s, b, u, k }
C. { p, a, k, u, m, i, s}
D. { k, a, m, p, u, s }
Pembahasan
K = { k, o, m, p, a, s }
L = { m, a, s, u, k }
K L = { k, o, m, p, a, s, u }

Diantara jawaban A, B, C dan D yang memiliki anggota K = anggota K L adalah opsi A
Kunci jawaban: A

9. Jika A = {0,1} maka n(A) =…

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Pembahasan:
n(A) adalah simbol dari kardinalitas atau banyaknya anggota suatu himpunan. Jadi banyaknya anggota suatu himpunan dari himpunan A adalah 2, yaitu 0 dan 1.
Kunci jawaban: A

10. Diketahui K = { bilangan prima antara 2 dan 12} dan L = { 4 bilangan kelipatan 3 yang pertama}.  adalah…

A. { 3,5,6,7,9,11,12}
B. { 5,6,7,9,11,12}
C. {3,6,9}
D. {3}

Pembahasan
K = { bilangan prima antara 2 dan 12}, maka K={3,5,7,11}
L = { 4 bilangan kelipatan 3 yang pertama}, maka L={3,6,9,12}
L = {3}
Kunci jawaban: D

11. Jika himpunan dengan n(A) = 11 dan n(B) = 18 maka n () =…

A. 7
B. 11
C. 18
D. 28

Pembahasan
n ( A ) = 11
n ( B ) = 18
Setiap   maka = A
Sehingga n ( ) = n ( A )
n ( ) = 11
Kunci jawaban: B

12. Tuliskan anggota-anggota yang terdapat di dalam himpunan berikut.
a. P adalah himpunan nama presiden Republik Indonesia.
b. Q adalah himpunan bilangan genap yang kurang dari 10.
c. R adalah himpunan nama pulau besar di Indonesia.
d. S adalah himpunan faktor dari 36 yang kurang dari 20.
e. T adalah himpunan nama benua.
f. U adalah himpunan nama samudera.
g. V adalah himpunan nama bulan yang berjumlah 30 hari.
h. W adalah himpunan hewan pemakan rumput.
i. X adalah himpunan kendaraan beroda empat.
j. Y adalah himpunan nama hari yang diawali dengan huruf S.

Pembahasan:

a. P = {Sukarno, Suharto, B.J. Habibie, Abdurahman Wahid, Megawati
Sukarnoputri,Susilo Bambang Yudhoyono}.
b. Q = {2,4,6,8}
c. R = {Papua, Kalimantan,Sumatera, Sulawesi, Jawa}
d. S = {1,2,3,4,6,9,12,18}
e. T = {Asia, Afrika, Eropa, Amerika,Australia}
f. U = {Hindia, Pasifik, Atlantik,Artik}
g. V = {April, Juni, September, November}
h. W = { Sapi,Kuda, Kambing,Kerbau}
i. X = {Sedan, Truk, Bus}
j. Y = {Senin, Selasa, Sabtu}


Bacaan Lainnya

Sumber bacaan: BrilliantWayne State University, University of WaterlooBritannica

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing

Exit mobile version