Site icon PINTERpandai

Rumus Turunan Matematika – TABEL TURUNAN DIFERENSIAL KALKULUS – TRIGONOMETRI – Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Turunan matematika kalkulus

Rumus Turunan Matematika - TABEL TURUNAN DIFERENSIAL KALKULUS - Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Rumus Turunan Fungsi

Turunan matematika (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Berikut rumus turunan:

Rumus Turunan Dasar

1. Rumus umum

2. Eksponen dan bilangan natural

3. Logaritma dan bilangan natural

4. Turunan Trigonometri

5. Turunan Invers

6. Turunan Hiperbolik

7. Rumus turunan fungsi aljabar bentuk axn

f(x) = axn → f'(x) = anxn-1
y = axn → y’ = anxn-1

8. Rumus turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus

simbol lainnya selain  dan  adalah  dan 


Pengertian Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri adalah turunan dari fungsi sinus dan kosinus, yang didapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.

Jika y=sin x maka y’ = cos x

Jika y=cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar diatas tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yaitu turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan.

Proses pengembangan rumus tersebut adalah:

y = tan x maka y’ = sec2x

y = cot x maka y’ = – cosec2x

y = sec x maka y’ = sec x . tan x

y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x


Daftar rumus turunan fungsi trigonometri

Fungsi Turunan
sin(x) cos(x)
cos(x) – Sin(x)
tan(x) sec2(x)
cot(x) -csc2(x)
sec(x) sec(xtan(x)
csc(x) csc(x) cot(x)

Maka, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut ini ;

Misalkan u(x) merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan real dan f(u) = sin u, maka:

untuk

y= f [u(x)]

diperoleh

y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)

y’= (cos u)(u’)

y’= u’.cos u

Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh ;


Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

1. Misalkan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ merupakan turunan u terhadap x, maka ;

Fungsi Turunan
sin(u) cos (u) . u’
cos(u) – Sin(u) . u’
tan(u) sec2(u) . u’
cot(u) -csc2(u) . u’
sec(u) sec(utan(u) . u’
csc(u) csc(u) cot(u) . u’

2. Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b ialah bilangan real dengan a≠0 ;

Fungsi Turunan
sin(ax + b) a cos (ax + b)
cos(ax + b) -a Sin(ax + b)
tan(ax + b) a sec2(ax + b)
cot(ax + b) a csc2(ax + b)
sec(ax + b) a sec(ax + btan(ax + b)
csc(ax + b) a csc(ax + b) cot(ax + b)

Cara dan aturan untuk menentukan rumus turunan fungsi

1. Rumus turunan dasar

Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers (fungsi kebalikan).

Aturan-aturan dalam turunan fungsi adalah:
  1. f(x), maka f‘(x) = 0
  2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
  3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)
  5. Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

2. Rumus turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan:
  1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
  2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)
  3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
  4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)2)

3. Rumus turunan fungsi trigonometri

  1. d/dx ( sin x ) = cos x
  2. d/dx ( cos x ) = – sin x
  3. d/dx ( tan x ) = sec2 x
  4. d/dx ( cot x ) = – csc2 x
  5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x
  6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

4. Rumus turunan fungsi invers

(f-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

Misalnya anggap saja  sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Bila dapat ditentukan sebuah fungsi  dari himpunan B ke himpunan A sedemikian, sehingga  dan  untuk setiap a dalam A dan b dalam B, maka  disebut fungsi invers dari  dan bisa ditulis sebagai .

Sebelum mengetahui fungsi invers maka harus mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Fungsi  akan memiliki invers dengan syarat  merupakan fungsi bijektif. Jika fungsi  memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers dari fungsi  atau ditulis  memetakan himpunan B ke himpunan A. Kemudian ketika suatu bilangan itu dioperasikan dengan inversnya, maka akan menghasilkan identitas.

Identitas adalah suatu bilangan yang jika dioperasikan dengan suatu bilangan, maka akan menghasilkan suatu bilangan tersebut dan pada operasi perkalian, identitasnya adalah 1 karena apabila dikalikan dengan suatu bilangan hasilnya suatu bilangan. Sedangkan, pada penjumlahan identitasnya adalah 0 karena bila dijumlahkan dengan bilangan tertentu hasilnya bilangan tertentu.

Pada fungsi juga berlaku demikian, sebuah fungsi bila dikomposisikan dengan invers maka menghasilkan fungsi identitas, yaitu .

Grafik dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik singgung. Sumber foto: Wikipedia

Tabel Turunan

Kaidah penurunan umum

Kelinearan

Kaidah darab:  product rule, atau sering disebut hukum Leibniz (lihat turunan), adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) fungsi yang terdiferensialkan.

Kaidah timbalbalik

Kaidah hasil-bagi

Cara untuk menemukan turunan sebuah fungsi yang terdiri dari hasil bagi dua fungsi lain yang eksistensi turunannya sudah diketahui.

Kaidah rantai  atau aturan rantai

Adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Turunan fungsi invers atau fungsi kebalikan)

Adalah (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi.

untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada

Kaidah pangkat umum

Turunan fungsi sederhana

Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183. Dan “Logaritma” adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.

Perhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku untuk semua c, namun turunan tersebut menghasilkan bilangan kompleks

Turunan fungsi trigonometri

Fungsi trigonometrik adalah fungsi dari sebuah sudut yang digunakan untuk menghubungkan antara sudut-sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut.

Turunan fungsi hiperbolik

Fungsi Hiperbolik adalah salah satu hasil kombinasi dari fungsi-fungsi eksponen. Fungsi Hiperbolik memiliki rumus atau formula. Selain itu memiliki invers serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya. e x e− x.


Rumus turunan fungsi khusus

Fungsi gamma

fungsi gamma (disajikan oleh huruf kapital Yunani Γ) merupakan ekstensi atau perluasan dari fungsi faktorial, dengan argumennya digeser turun oleh 1, ke bilangan real dan kompleks.

Fungsi Riemann Zeta

Fungsi zeta Riemann menyajikan jembatan antara bilangan prima dengan dunia geometri. Dalam eksplorasinya, Riemann menemukan fungsi Zeta dengan keluaran nol (dianalogikan memiliki ketinggian yang sama dengan permukaan laut) yang memegang peranan penting tentang perilaku natural bilangan prima. Sepuluh keluaran nol yang pertama memunculkan pola berupa garis lurus.

Garis singgung pada (x, f(x))

Soal dan Jawaban Turunan Matematika

1. Fungsi f(x) = 2x³ -9x² +12x naik untuk nilai x yang memenuhi?

Penjelasan: jika y = f(x) maksimum atau minimum, maka f ’(x) = y’ = 0

Jawaban: f(x) = 2x -9×2 +12x
6x² -18x +12 > 0
x² -3x +2 > 0 (x -1)(x -2) >0
Jadi : x < 1 atau x > 2

2. Jika nilai stasioner dari f(x) = x³–px² –px -1 adalah x = p, maka p =…

Jawaban: Stasioner → arahkan pikiran ke : “TURUNAN = 0”

f(x) = x³ –px² –px -1
3x² -2px –p =0 → x = p
3p² -2p² –p = 0
p² -p =0
p(p -1) = 0
p = 0 atau p = 1

2. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan  dari 

 (karena )

3. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan  dari 

Jawaban: 

4. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan dari

5. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan  dari 

6. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan  dari 

7. Turunan pertama dari f(x) = 4 cos (5 – 7x) adalah f ‘ (x) =…

Jawaban:

f(x) = 4 cos (5 – 7x)
f’(x) = (-4)×(-7) × sin (5 – 7x)
f’(x) =28 sin (5 – 7x)

8. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan  dari 

9. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x2 + 4x)
b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Pembahasan
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x2 + 4x)
f(x) = 10x2 + 20x
f ‘ (x) = 20x + 20

b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Urai terlebih dahulu hingga menjadi
f (x) = 10x2 + 8x + 15x + 12
f (x) = 10x2 + 13x + 12

Sehingga
f ‘ (x) = 20x + 13

10. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari  ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?

Jawaban:

biaya dalam 1 hari 
biaya dalam x hari 

biaya minimum tercapai saat turunannya = 0

 hari

11. Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?

Jawaban:

Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
hasil kali: 

nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0

karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x

nilai terbesar hasil kali: 

12. Hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva  di titik 

Jawaban:

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

13. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar  ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?

Jawaban:

laba = total penjualan – total biaya
laba 

laba maksimum tercapai saat turunannya = 0

 ribu Rupiah

14. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x
b) f(x) = 2x3 + 7x

Pembahasan

Rumus turunan fungsi aljabar bentuk axn

f(x) = axn → f'(x) = anxn-1
y = axn → y’ = anxn-1

Sehingga:
a) f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x
f ‘(x) = 4⋅3x4− 1 + 2⋅2x2−1 − 5x1-1
f ‘(x) = 12x3 + 4x1 − 5x0
f ‘(x) = 12x3 + 4x − 5

b) f(x) = 2x3 + 7x
f ‘(x) = 6x2 + 7

15. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 10x
b) f(x) = 8
c) f(x) = 12

Pembahasan
a) f(x) = 10x
f(x) = 10x1
f ‘(x) = 10x1−1
f ‘(x) = 10x0
f ‘(x) = 10

x0 = 1

b) f(x) = 8
f(x) = 8x0
f ‘(x) = 0⋅ 8x0−1
f ‘(x) = 0

ax0 = a

c) f(x) = 12
f ‘(x) = 0


Contoh soal dan jawaban dalam aplikasi turunan

NB
hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai.

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

biaya dalam 1 hari 
biaya dalam x hari 

biaya minimum tercapai saat turunannya = 0

 hari
laba = total penjualan – total biaya
laba 

laba maksimum tercapai saat turunannya = 0

 ribu rupiah
Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
hasil kali: 

nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0

karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x

nilai terbesar hasil kali: 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Lamar University – TexasColumbia university – New YorkMath Works

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing

Exit mobile version