Matematika Geometri

Barisan Geometri

Barisan geometri merupakan barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan satu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu sering disebut sebagai pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan r.

Barisan U₁ , U₂ , U₃ , U₄ , ….. , U_n disebut sebagai barisan geometri jika memenuhi

Contoh barisan geometri : 7, 21, 63, 189, ....

Rumus Suku ke-n

Jika suku pertama ( U1 ) dari suatu barisan geometri disimbolkan dengan a , maka rumus suku ke-n barisan geometri dapat ditentukan sebagai berikut:

Dari pernyataan diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah

Dimana r adalah rasio atau pembanding yang dapat dicari dengan cara berikut:

Tentukan suku ke tujuh dari barisan geometri 3, 6, 12, .....!

Pembahasan & Jawaban:

Dari Barisan 3, 6, 12, ... didapat a = 3 dan r = 6/3 = 2 sehingga

U_n = a.r^n-1

U₇  = 3.2^7-1

U₇  = 3.2⁶

U₇  = 3.64

U₇  = 192

Tentukan Rumus Suku ke-n dari barisan 48 , 24 , 12 , ……!

Pembahasan & Jawaban:

Dari barisan 48, 24, 12, .... didapat a = 48 dan r = 24/48 = 1/2 sehingga,

U_n = a.r^n-1

U_n = 48.(1/2)^n-1

U_n = 48.((2^-1)^n-1

U_n = 3.16.2^1-n

U₇ = 3.2⁴.2^1-n

U₇ = 3.2^5-n

Tentukan U12, dari barisan geometri diketahui bahwa U3 = 4 dan U9 = 256

Penjelasan & Jawaban:

1. Pertama, kita jabarkan terlebih dahulu U₃ dan U₉ kemudian kita cari nilai rasionya

U₃ = 4 → a.r² = 4

U₉ = 256 → a.r⁸ = 256



2. Substitusikan untuk mencari U₁ atau a!

→ a.r²      = 4

→ a.2²      = 4

→ a           = 1



3. Substitusikan nilai U₁₂ dengan memakai rumus Barisan umum geometri

U₁₂ = a.r^n-1

U₁₂ = 1.2¹¹

U₁₂ = 1.2048

U₁₂ = 2048

Diketahui sebuah barisan geometri a, b, c,…. Jika diketahui a x b x c = 1728 dan a + b + c = 36, maka nilai a, b dan c adalah…

 

Jawaban & Penjelasan:

Penyelesaian:

a x b x c = 1728           a.c = 1728/b

a + b + c = 36          a + c = 36 – b

Rasio = U2/U1 = U3/U2

b/a = c/b

b² = ac    —–> kali silang


b² – ac = 0


b² – 1728/b = 0

b³ – 1728 = 0


b³ = 1728


b = ³√1728 = 12.


Subtitusi nilai b.

a.c = 1728/b = 1728 /12 = 144.

a + c = 36 – b = 36 – 12 = 24.

Nilai a dan c yang paling memungkinkan jika nilai a.c = 144 dan a + c = 24 adalah a dan c = 12. Sebab,

12.12 = 144 dan 12 + 12 = 24.

Jadi nilai a, b dan c adalah 12, 12, 12. Rasionya = 1.

Pada sebuah deret geometri, rumus jumlah suku ke-n nya  adalah Sn = 2n² + 4n. Tentukan nilai suku ke-9 dari deret tersebut?

Pembahasan & Jawaban:

Untuk mencari suku ke-n, jika diketahui jumlah nilai suku-sukunya, maka rumus yang berlaku adalah:

Un = Sn – S(n – 1)

Jumlah nilai 9 suku pertama

Sn = 2n² + 4n

S9 = 2(9)² + 4(9)


S9 = 2.81 + 36

S9 = 198.

Jumlah nilai 8 suku pertama

Sn = 2n² + 4n

S8 = 2(8)² + 4(8)


S8 = 2.64 + 32

S8 = 160.

Maka nilai dari suku ke-9 adalah

Un = Sn – S(n – 1)

U9 = S9 – S8

U9 = 198 – 160 = 38.

Diketahui sebuah barisan geometri -192, 96, -48, 24, … . Tentukan nilai suku ke delapan dari barisan tersebut?

 

Jawaban & Penjelasan:

Untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, maka harus ditentukan terlebih dulu nilai rasionya. Rumus umum mencari rasio adalah:

r = U2/U1 = U3/U2 = U4/U3 dst….

r = U2/U1

= 96/(-192) = -1/2.

Subtitusikan nilai rasio ke rumus suku ke-n barisan geometri.

Un = U1.r^(n – 1)

U8 = (-192).(-1/2)^(8 – 1)

U8 = (-192).(-1/2)^7

U8 = (-192).(-1/-128)

U8 = (-192).(1/128)

U8 = -3/2.

Sebuah daerah pada tahun 3008 memiliki jumlah penduduk 24 orang. Tiap tahunnya jumlah penduduk bertambah dua kali lipatnya. Maka, jumlah penduduk pada tahun 3012 adalah…

 

Jawaban & Penjelasan:

Ini adalah bentuk barisan geometri dengan rumus suku ke n:

Un = U1.r^(n – 1)     —–> ( tanda ^ berarti pangkat).

Jumlah penduduk tahun 3008 (U1) = 24 orang.

Tiap tahun penduduk bertambah 2x lipat (rasio) = 2.

Maka, jumlah penduduk tahun 3012 (U5):

Un = U1.r^(n – 1)

U5 = 24.2^(5 – 1)

U5 = 24.2^4

U5 = 24.16 = 384 orang.

Jadi, jumlah penduduk daerah tersebut pada tahun 3012 adalah 384 orang.

Diketahui sebuah barisan geometri 4p, 2q, r, … . Maka nilai dari q² – pr adalah…

 

Jawaban & Penjelasan:

Penentuan rasio.

r = U2/U1 = U3/U2

2q/4p = r/2q

2q.2q =4p.r     —–> kali silang

4q² = 4pr


4q² – 4pr = 0


4(q² -pr) = 0


q² -pr = 0.

Dari barisan geometri dengan suku-suku positif, diketahui suku ke-3 adalah 4, dan besarnya suku ke-9 adalah 256,  besarnya suku ke-12 adalah….

 

Jawaban & Penjelasan:
U3 = 4      → ar2 = 4
U9 = 256  → ar8 = 256
ar8/ ar2 = 256/4
r6 = 64
r = 2,
maka  ar2 = 4  → a.22 = 4 → a = 1
Un   =  arn -1
U12 =  1 . 211 = 2048