Nilai Pi 3,14 atau 22/7 atau 355/113 | Rumus Phi | Contoh Soal dan Jawaban

Pinter Pandai

6 tahun ago

Nilai Pi π

Nilai pi adalah 3,14159265358979323846, atau 22/7 atau 355/113. Temukan dibawah ini beberapa rumus pi yang sering digunakan!

Pi (π) adalah salah satu bilangan paling penting dan menarik dalam matematika. Sekitar 3,14 pi adalah konstanta yang digunakan untuk menghitung keliling sebuah lingkaran dari jari-jari atau diameter lingkaran tersebut.

Pi juga merupakan bilangan irasional, yang artinya adalah pi dapat dihitung hingga tempat desimal tak hingga tanpa mengalami pengulangan pola. Hal ini menyulitkan perhitungan pi, tetapi bukan berarti tidak mungkin menghitungnya dengan tepat. Baca juga: Nilai Pi 1 juta digit pertama π dan Nilai Pi Yang Tepat π – 100 000 digit pertama

Nilai Pi π

3,14 atau 22/7 atau 355/113

Rumus Pi π

Berikut rumus-rumus dengan Pi π

Bentuk	Rumus
Keliling lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1619839d3888c49ae35225bed5b5cad9426f84b" alt="{\displaystyle K=\pi d=2\pi r\,\!}" aria-hidden="true" width="6346.8" height="936.9">$
Luas lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcba8a9cdb3437026a0fc50590bb9477fb2c479" alt="{\displaystyle L=\pi r^{2}={\frac {1}{4}}\pi d^{2}\,\!}" aria-hidden="true" width="7407.5" height="2228.5">$
Volume bola dengan jari-jari r atau diameter d	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad95e7c14c21060d7ae8d87bfd12158936d9093d" alt="{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,\!}" aria-hidden="true" width="4609.6" height="2228.5">$ atau $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bdd571937929ad24656c1a003c3c26072b14508" alt="{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\pi d^{3}\,\!}" aria-hidden="true" width="4682.6" height="2228.5">$
Luas permukaan bola dengan jari-jari r atau diameter d	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f029974a64d4b9da9ddff6ab51136f99faa7c8f" alt="{\displaystyle L=4\pi r^{2}\,\!}" aria-hidden="true" width="4161.6" height="1152.1">$ atau $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a90eab44c605ebf8da7616851b0de61e626a402" alt="{\displaystyle L=\pi d^{2}\,\!}" aria-hidden="true" width="3734.1" height="1152.1">$
Volume silinder setinggi h dan berjari-jari r	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b3b36fbe719757e46222c6aee4f16cd063d469" alt="{\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\!}" aria-hidden="true" width="4325.6" height="1152.1">$
Luas permukaan silinder setinggi h dan berjari-jari r	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71fdb1c80952fb8b4942d25c9ca045b28074cc98" alt="{\displaystyle L=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!}" aria-hidden="true" width="14934.1" height="1367.4">$
Volume kerucut setinggi h dan berjari-jari r	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13aee8f9eaacb9a61619ddae79e47ce2e14010ed" alt="{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!}" aria-hidden="true" width="5186.1" height="2228.5">$
Luas permukaan kerucut setinggi h dan berjari-jari r	$<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2d9457639820324cf6cf0a6e815efe015217eb" alt="{\displaystyle L=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!}" aria-hidden="true" width="19040.1" height="1510.9">$

Pi π – Nilai pi 3,14 atau 22/7 atau 355/113 – Rumus dengan Pi – Soal Jawaban. Ilustrasi dan sumber foto: Pixabay

Rumus Pi pada Geometri dan trigonometri

Luas lingkaran di atas adalah sama dengan $π$ kali luas daerah yang diarsir.

$π$ muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya elips, bola, kerucut, dan torus.

Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan pi $π$ misalnya:

Keliling lingkaran dengan jari-jari $r$ adalah $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e811131a9c6c5f45e6657e0fc506e7e2a37f06" alt="{\displaystyle 2\pi r}" aria-hidden="true" width="1525.5" height="936.9">$
Luas lingkaran dengan jari-jari $r$ adalah $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd37db3982ad4e1157dcf8ddbfb280e7bae3b192" alt="{\displaystyle \pi r^{2}}" aria-hidden="true" width="1478.9" height="1152.1">$
Volume bola dengan jari-jari $r$ adalah $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5efab02bc19a1700cf12335952cda03bc9e20451" alt="{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}" aria-hidden="true" width="2192.8" height="1582.7">$
Luas permukaan bola dengan jari-jari $r$ adalah $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81fcce302776a01dc66fc186a1ce0a616b4d772" alt="{\displaystyle 4\pi r^{2}}" aria-hidden="true" width="1979.4" height="1152.1">$

$π$ muncul dalam integral tertentu yang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran.

Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb46b81871d2a6adc5dd4c35316b3c0ca31cf3d" alt="{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}" aria-hidden="true" width="9008.1" height="2730.8">

Dalam integral tersebut, fungsi $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f4bb6a9db61ecb948269ef7d71a0fe1d6e6c58" alt="{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {1-x^{2}}}}" aria-hidden="true" width="2374.7" height="1152.1">$ mewakili kurva setengah lingkaran, dan integralnya $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ef2e09a73d5419b306703418b4086d80802d65" alt="{\displaystyle \scriptstyle \int _{-1}^{1}}" aria-hidden="true" width="1139.1" height="1295.7">$ menghitung luas antara setengah lingkaran dengan sumbu x.

Fungsi sinus dan kosinus berulang dengan periode 2 $π$ .

Fungsi trigonometri bergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut. $π$ memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam radian, yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2 $π$ radian. Hal ini berarti 180° sama dengan $π$ radian, dan 1° = $π$ /180 radian.

Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari $π$ , sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2 $π$ , sehingga untuk sudut θ apapun dan bilangan bulat $k$ apapun, $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3fdf241c93fb854e1de44ca8bbf57b492b439f" alt="{\displaystyle \scriptstyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}" aria-hidden="true" width="5349.4" height="936.9">$ dan $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa301c958859b844627d59dcce2fc3329e055b9e" alt="{\displaystyle \scriptstyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}" aria-hidden="true" width="5701.9" height="936.9">$

Metode Monte Carlo

Jarum Buffon. Jarum a dan b dijatuhkan secara acak.

Noktah-noktah acak diletakkan pada kuadran persegi dengan satu lingkaran di dalamnya.

Metode Monte Carlo, berdasarkan percobaan acak, dapat digunakan untuk mengaproksimasi

π

Metode Monte Carlo, yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi $π$ .

Jarum Buffon adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang $ℓ$ dijatuhkan $n$ kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar $t$ satuan, dan jika dari $x$ kali ia jatuh melintasi garis ( $x$ > 0), maka aproksimasi $π$ dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8061e9c23c43baf32ef7052600d2cfe90c6a178" alt="{\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}}" aria-hidden="true" width="3786.1" height="2300.3">

Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung $π$ adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan $π/4$ .

Metode Monte Carlo untuk memperkirakan $π$ sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan $π$ ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.

Bilangan dan analisis kompleks

Asosiasi antara daya imajiner dengan bilangan $e$ dan titik-titik pada satuan lingkaran yang berpusat pada pusat bidang kompleks dinyatakan oleh formula Euler.

Bilangan kompleks apapun, sebut saja $z$ , dapat dinyatakan menggunakan pasangan bilangan nyata. Dalam sistem koordinat polar, satu bilangan (jari-jari atau r) digunakan untuk menyatakan jarak $z$ dari pusat bidang kompleks sedangkan (sudut atau $φ$ ) menyatakan a putaran berlawanan arah jarum jam dari garis nyata positif sebagai berikut:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e93279bb31b398ca08d16fb9d764fd1214174ab" alt="{\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}" aria-hidden="true" width="9980.9" height="1223.9">

dengan $i$ adalah satuan imajiner dari $i 2$ = −1. Setingnya penggunaan $π$ dalam analisis kompleks dapat dihubungkan dengan perilaku fungsi eksponential variabel kompleks, yang dijelaskan oleh formula Euler:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b85e2656dda51f900210b347fb30b65d3a26f11" alt="{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}" aria-hidden="true" width="8832.6" height="1367.4">

dengan tetapan $e$ adalah basis logaritma natural. Formula ini menghasilkan hubungan antara daya imajiner $e$ dan titik-titik pada satuan lingkaran yang berpusat pada pusat bidang kompleks. Pengaturan $φ$ = $π$ dalam formula Euler menghasilkan identitas Euler, disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima tetapan matematika paling penting:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76caf050d8bc37cd2350c40517face26de5ecb7" alt="{\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}" aria-hidden="true" width="5052.8" height="1223.9">

Sebanyak $n$ bilangan kompleks $z$ yang berbeda dalam persamaan $z n = 1$ , disebut “akar persatuan (root of unity) ke $n$ “. Mereka dinyatakan dalam persamaan:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74d8393eb2cf4d7a3e5ef0dd9ab50a9fe58389f" alt="{\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}" aria-hidden="true" width="14575.9" height="1439.2">

Formula integral Cauchy mengelola fungsi integral kompleks dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7338b264eaaff5d17cb231560c6d35a67815958f" alt="{\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz}" aria-hidden="true" width="10866.1" height="2802.6">

$Agar π$ dapat dihitung dari himpunan Mandelbrot, dengan menghitung jumlah iterasi yang diperlukan sebelum titik divergen (-0,75, ε).

Keberadaan $π$ dalam fraktal himpunan Mandelbrot ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991.

Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat “leher” pada (-0,75, 0). Jika dianggap titik dengan koordinat (-0,75, ε), dengan ε cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan ε konvergen menuju $π$ . Titik (0,25, ε) di titik puncak “lembah” besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat ε cenderung mendekati $π$ .

Fungsi gama memperluas konsep faktorial (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat non-negatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat nyata negatif. Ketika fungsi gama dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi $π$ ; sebagai contoh

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75337a521eb1fcd407b39db28c38ca6f559ab3b2" alt="{\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}" aria-hidden="true" width="5647.1" height="1295.7">

dan

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77e555672bd3e01395a2b5da42d6ef5b7f62ff8" alt="{\displaystyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}" aria-hidden="true" width="6507.6" height="2515.6">

Fungsi gama dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti $n!$ untuk $n$ besar:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/977732acd9d1c6bbe89c54fc956f3c16d2feade9" alt="{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}" aria-hidden="true" width="7401.2" height="2085">

yang dikenal sebagai aproksimasi Stirling.

Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann

Fungsi zeta Riemann $ζ (s)$ digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi pada $s = 2$ fungsi ini dapat ditulis sebagai:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581714c279e80acf87edfb221004f575d4770e97" alt="{\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }" aria-hidden="true" width="11869.6" height="2443.8">

Menemukan penyelesaian sederhana untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut masalah Basel. Leonhard Euler memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan $π 2 /6$ .

Hasil Euler mengarah pada teori bilangan yaitu probabilitas dua angka acak yang bersifat prima relatif (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan $6/π 2$ .

Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang dapat dibagi dengan suatu bilangan prima $p$ adalah $1/ p$ (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah $1/ p 2$ , dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah $1-1/ p 2$ . Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87dbab3680f2993c18e60d8b467f6b29cd5d53c8" alt="{\displaystyle \prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%}" aria-hidden="true" width="33434.8" height="3735.5">

Probabilitas ini dapat digunakan bersamaan dengan generator bilangan acak untuk memperkirakan $π$ menggunakan pendekatan Monte Carlo.

Probabilitas dan statistik

Sebuah grafik fungsi Gauss
ƒ(x) = e^−x2. Wilayah berwarna di antara fungsi dan sumbu x memiliki luas $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627b4c2006f11e2b8a9cfad94a675db7026cbac3" alt="{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}}" aria-hidden="true" width="994.9" height="1008.6">$ .

Bidang probabilitas dan statistik seringkali menggunakan distribusi normal sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan pengamatan dalam kebanyakan percobaan mengikuti sebuah distribusi normal.

Fungsi Gauss (yang merupakan fungsi kepekatan probabilitas distribusi normal) dengan rata-rata $μ$ dan simpangan baku $σ$ , pada dasarnya adalah $π$ :

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfc455fe10eee9f5b46e86c23b6face7127025d" alt="{\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}}" aria-hidden="true" width="11672.4" height="2659.1">

Agar ini dapat menjadi kepekatan probabilitas, wilayah di bawah grafik f harus sama dengan satu. Hal ini diperoleh dari perubahan variabel dalam integral Gauss:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44592478ca6a48493154e57210fcedd304814e3a" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}" aria-hidden="true" width="7964.7" height="2587.3">

sehingga luas daerah yang berada di bawah kurva lonceng sederhana sama dengan akar kuadrat π.

Penggunaan Pi di luar matematika

Penggambaran fenomena fisika

Meskipun bukan konstanta fisika, $π$ hadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antara $π$ dengan lingkaran dan dengan sistem koordinat sferis.

Rumus sederhana dari bidang mekanika klasik memberikan aproksimasi periode $T$ pendulum sederhana dengan panjang $L$ , yang mengayun dengan amplitudo $g$ adalah percepatan gravitasi bumi):

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5fddcc66103489971fdd20437f9db6d3bf3dab6" alt="{\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}" aria-hidden="true" width="5154.6" height="3233.2">

Salah satu rumus kunci dalam mekanika kuantum adalah Prinsip ketidakpastian Heisenberg, yang menunjukkan bahwa ketidakpastian dalan pengukuran posisi suatu partikel (Δ $x$ ) dan momentum (Δ $p$ ) keduanya tidak dapat sama persis pada saat yang bersamaan (dengan $h$ adalah tetapan Planck):

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f087fdd1d383ff415f6d3b2e599e34da04fcc7c6" alt="{\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}" aria-hidden="true" width="5677.7" height="2300.3">

Persamaan medan Einstein

Dalam ranah kosmologi, $π$ muncul dalam persamaan medan Einstein, suatu formula fundamental yang menjadi dasar teori relativitas umum dan menjelaskan interaksi fundamental gravitasi sebagai hasil pelengkungan ruang waktu oleh materi dan energi:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68aca76f9317443625820882e7f71f4c33532ff" alt="{\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}}" aria-hidden="true" width="12965.7" height="2443.8">

dengan $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ee22d1a052bee0115efb8b5ffdaf10b04e42aa" alt="{\displaystyle R_{\mu \nu }}" aria-hidden="true" width="1661.4" height="1223.9">$ adalah tensor lengkungan Ricci, $R$ adalah lengkungan skalar, $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bf4140993a891f5782167dc8a0c236dc7667b8" alt="{\displaystyle g_{\mu \nu }}" aria-hidden="true" width="1379.4" height="1008.6">$ adalah tensor metrik, $Λ$ adalah tetapan kosmologi, $G$ adalah tetapan gravitasi Newton, $c$ adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa, dan $<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463ab8cef859ece28e33b8460ebd4a6699834dd0" alt="{\displaystyle T_{\mu \nu }}" aria-hidden="true" width="1486.4" height="1223.9">$ adalah tensor energi tegangan.

Permitivitas ruang hampa (Konstanta Magnetik)

Hukum Coulomb, dari disiplin ilmu elektromagnetisme, menjelaskan medan listrik antara dua muatan listrik ( $q 1$ dan $q 2$ ) yang dipisahkan oleh jarak $r$ (dengan $ε 0$ mewakili permitivitas ruang hampa:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bfe85ffd05e8f3309fbd85577ca2018deeca84f" alt="{\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}" aria-hidden="true" width="5343.4" height="2730.8">

Fakta bahwa nilai $π$ mendekati 3 memainkan peran dalam ortopositronium dalam waktu yang relatif panjang. Kebalikannya hingga orde paling rendah dalam tetapan struktur halus $α$ adalah

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb56ed1dcfe3f400120917777abf6e806bb364d" alt="{\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m\alpha ^{6},}" aria-hidden="true" width="8075.3" height="2443.8">

dengan $m$ adalah massa elektron.

$π$ hadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumus buckling yang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksial $F$ maksimum dengan panjang kolom $L$ , elastisitas modulus $E$ , dan momen inersia area $I$ dapat mengangkut tanpa buckling:

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97116ed451f91c3859a84f703e9f3d0896e37006" alt="{\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}}" aria-hidden="true" width="4740.9" height="2515.6">

Dinamika fluida

Bidang dinamika fluida menyertakan $π$ dalam hukum Stokes, yang mengaproksimasi gaya friksi $F$ yang muncul pada objek sferis kecil dengan radius $R$ , bergerak dengan kecepatan $v$ dalam fluida yang mempunyai viskositas dinamis $η$ :

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb4e5cd80edff97273df014fbe7fe791af3fcff" alt="{\displaystyle F=6\,\pi \,\eta \,R\,v}" aria-hidden="true" width="5572.7" height="1152.1">

Transformasi Fourier

Transformasi Fourier, dijelaskan di bawah, adalah operasi matematika yang menyatakan waktu sebagai fungsi dari frekuensi, dikenal karena spektrum frekuensinya. Ini mempunyai banyak aplikasi dalam fisika dan rekayasa, terutama dalam pemrosesan sinyal.

<img decoding="async" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdc6bd458a8a3439711a13ecdc062f46ea7435a" alt="{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx}" aria-hidden="true" width="11623" height="2587.3">

***********************************************************

Apa itu Bilangan π (Pi) di dalam Matematika?

“Jika suatu lingkaran memiliki jari-jari sebesar , maka berapakah luas lingkaran tersebut?”, tanya guru SD kita saat itu. Spontan saja langsung kita jawab

, yang didapat dari penghitungan rumus luas lingkaran

. Guru kita mengajarkan kepada kita bahwa nilai dari

(dibaca: pi) adalah sebesar

atau

. Kita mengiakan saja tanpa bertanya apa sebenarnya bilangan

itu dan dari mana asal-usulnya. Padahal dari sejarahnya sendiri, Archimedes telah membuktikan bahwa

dan

. Jadi rentang nilai

adalah

Perlu digaris bawahi, bukanlah suatu bilangan rasional. Artinya, nilai dari tidak dapat dituliskan ke dalam bentuk pecahan dan keduanya bilangan bulat.

Jadi, apa sebenarnya bilangan itu?

merupakan rasio atau perbandingan dari keliling suatu lingkaran dengan panjang diameternya . Jadi sebesar atau sekecil apa pun lingkaran yang kita punya, jika keliling lingkaran tersebut dibagi dengan panjang diameternya maka akan menghasilkan suatu bilangan konstan yang disebut ,

Dari perbandingan tersebut, kita bisa peroleh rumus keliling lingkaran sebagai . Karena diameter lingkaran merupakan dua kali jari-jarinya, jadi dapat dituliskan . Nah, permasalahan sekarang adalah; bagaimana matematikawan terdahulu menaksir nilai ? mengingat kalkulator scientific saat itu masih menjadi khayalan semata.

Archimedes merupakan ilmuwan pertama yang mampu menaksir nilai dengan cukup akurat. Meskipun saat itu ia tidak tahu berapa panjang keliling lingkaran, namun dia mencoba untuk menghampiri panjang keliling lingkaran dengan keliling suatu segi- beraturan. Bagaimana caranya?

Pertama kita harus mencari rumus keliling dari segi- beraturan. Karena rumus keliling lingkaran adalah , maka agar , haruslah . Jadi kita akan bekerja pada lingkaran dengan jari-jari sebesar , tentu dengan tujuan agar lebih mudah. Sekarang perhatikan lingkaran yang dihampiri oleh segi- berikut

Kita buat garis dan sehingga merupakan segitiga siku-siku dan merupakan segitiga sama kaki,

Dari sana dapat terlihat bahwa dan . Selanjutnya misalkan garis dan memiliki panjang .

Tujuan kita sekarang adalah mencari nilai dari . Caranya; perhatikan nilai sinus dari sudut , yaitu perbandingan dari sisi depan dengan sisi miringnya,

Jadi kita punya rumus untuk menentukan panjang sisi sebagai

Karenanya keliling dari segi- tersebut adalah

Keliling segi- Jumlah sisi

Keliling segi-

Kita sudah bisa mendapatkan rumus mencari keliling segi- beraturan. Sentuhan terakhir, kita perlu mencari nilai dari sudut . Karena jumlah sudut satu lingkaran penuh adalah sebesar ,

maka

Jadi diperoleh

Keliling segi –

Nah, sekarang kita bisa menghampiri nilai berdasarkan rumus di atas. Konsepnya begini, misalkan kita ingin menghampiri keliling lingkaran berjari-jari oleh keliling suatu segi enam (artinya segi- dengan ). Jadi kita cukup menghitung

Keliling segi enam

Karena keliling lingkarannya bernilai , maka keliling lingkaran tersebut dapat dihampiri oleh keliling segi enam, yang berarti

Agar nilai aproksimasinya lebih baik lagi, maka kita harus menghampiri lingkaran tersebut dengan segi- untuk yang cukup besar. Misalnya dengan segi seribu sehingga diperoleh nilai hampirannya

Soal dan Jawaban Pi

Hitunglah jari jari pada lingkaran berikut! (π = 3,14)
A. K= 628CM
B. K= 50CM
C. K= 132CM

Jawaban:

A. r = 100 cm
B. r = 7,96 cm
C. r = 21,02 cm

Pembahasan:
Ingat kembali rumus keliling lingkaran

keliling lingkaran = \pi × d

keliling lingkaran = 2 × \pi × r

Keterangan:

r = jari-jari lingkaran
d = diameter lingkaran

Pada soal diatas:

Dik : \pi = 3,14
Dit : jari – jari (r) jika:

A. K= 628CM
B. K= 50CM
C. K= 132CM

Penyelesaian :

A) K = 2 × \pi × r
628 = 2 × 3,14 × r
628 = 6,28 × r
r = 628/6,28
r = 100 cm

B) K = 2 × \pi × r
50 = 2 × 3,14 × r
50 = 6,28 × r
r = 50/6,28
r = 7,96 cm

C) K = 2 × \pi × r
132 = 2 × 3,14 × r
132 = 6,28 × r
r = 132/6,28
r = 21,02 cm.

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari sebesar 10 cm. Berapakah luas lingkaran tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

r = 10 cm

Ditanyakan: Luas lingkaran?

Jawab:

Luas = π × r²
Luas = 3,14 × 100
Luas = 314 cm²

Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 314 cm².

Jika diketahui sebuah lingkaran mempunyai diameter 14 cm. Berapakah luas lingkaran tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

d = 14 cm

karena d = 2 × r maka:

r = d/2
r = 14/2
r = 7 cm

Ditanyakan: Luas lingkaran?

Jawab:

Luas = π × r²
Luas = 22/7 × 7²
Luas = 154 cm²

Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 154 cm².

Hitunglah keliling lingkaran dengan jari-jari 20 cm.

Penyelesaian:

Diketahui:

r = 20 cm
π = 3,14

Ditanyakan: Keliling lingkaran?

Jawab:

Keliling = 2 × π × r
Keliling = 2 × 3,14 × 20
Keliling = 125,6 cm

Jadi, keliling lingkaran tersebut adalah 125,6 cm.

Hitunglah keliling lingkaran dengan diameter 20 cm?

Penyelesaian:

Diketahui:

d = 20 cm
π = 3,14

Ditanyakan: Keliling lingkaran?

Jawab:

Keliling = π × d
Keliling = 3,14 × 20
Keliling = 62,8 cm

Jadi, keliling lingkaran tersebut adalah 62,8 cm.

Diketahui sebuah lingkaran memiliki keliling sebesar 66 cm. Hitunglah berapa diameter lingkaran tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

Keliling = 66 cm

Ditanyakan: Diameter lingkaran?

Jawab:

Keliling = π × d

untuk mencari diameter, maka dibutuhkan rumusnya.

Rumus mencari diamter adalah d = keliling / π

d = 66 / (22/7)
d = (66 × 7) / 22
d = 21 cm

Jadi, diameter lingkaran tersebut adalah 21 cm.

Bacaan Lainnya

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Live Science

Nilai Pi π

Nilai Pi π

Rumus Pi π

Rumus Pi pada Geometri dan trigonometri

Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan pi π misalnya:

Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:

Metode Monte Carlo

Bilangan dan analisis kompleks

Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann

Probabilitas dan statistik

Penggunaan Pi di luar matematika

Penggambaran fenomena fisika

Rumus sederhana dari bidang mekanika klasik memberikan aproksimasi periode T pendulum sederhana dengan panjang L, yang mengayun dengan amplitudo g adalah percepatan gravitasi bumi):

Persamaan medan Einstein

Permitivitas ruang hampa (Konstanta Magnetik)

Dinamika fluida

Transformasi Fourier

Apa itu Bilangan π (Pi) di dalam Matematika?

Jadi, apa sebenarnya bilangan <img decoding="async" title="Rendered by QuickLaTeX.com" src="https://belajarkalkulus.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26d6788550ffd50fe94542bb3e8ee615_l3.png" alt="\pi" width="11" height="8"> itu?

Soal dan Jawaban Pi

Hitunglah jari jari pada lingkaran berikut! (π = 3,14) A. K= 628CM B. K= 50CM C. K= 132CM

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari sebesar 10 cm. Berapakah luas lingkaran tersebut?

Jika diketahui sebuah lingkaran mempunyai diameter 14 cm. Berapakah luas lingkaran tersebut?

Hitunglah keliling lingkaran dengan jari-jari 20 cm.

Hitunglah keliling lingkaran dengan diameter 20 cm?

Diketahui sebuah lingkaran memiliki keliling sebesar 66 cm. Hitunglah berapa diameter lingkaran tersebut?

Bacaan Lainnya

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan pi $π$ misalnya:

Rumus sederhana dari bidang mekanika klasik memberikan aproksimasi periode $T$ pendulum sederhana dengan panjang $L$ , yang mengayun dengan amplitudo $g$ adalah percepatan gravitasi bumi):

Jadi, apa sebenarnya bilangan itu?

Hitunglah jari jari pada lingkaran berikut! (π = 3,14)
A. K= 628CM
B. K= 50CM
C. K= 132CM