fbpx

Persamaan Linear 1,2,3,4 – Variabel Matematika – Contoh Soal dan Jawaban

Variabel Matematika

Variabel adalah nilai yang dapat berubah dalam suatu cakupan soal atau himpunan operasi yang diberikan. Sebaliknya, konstanta adalah nilai yang tidak berubah, meskipun seringkali tidak diketahui atau tidak ditentukan. Temukan di bawah ini persamaan linear 1,2,3,4 – variabel matematika beserta contoh soal dan jawabannya.

Konsep konstanta dan variabel adalah fundamental bagi banyak cabang matematika dan terapannya. Suatu “konstanta” dalam konteks ini janganlah dikaburkan dengan konstanta matematika, yakni suatu bilangan tertentu yang tidak bergantung kepada cakupan soal yang diberikan.

Variabel terikat dan variabel lepas

Variabel kemudian dibedakan sebagai variabel terikat dan variabel lepas. Variabel lepas dipandang sebagai masukan (input) bagi suatu sistem dan dapat diambil pada sembarang nilai secara lepas. Variabel terikat yaitu nilai-nilai yang berubah sebagai akibat dari perubahan nilai-nilai lain dalam sistem tersebut.

Ketika satu nilai sepenuhnya dipilihkan oleh nilai lain, maka nilai yang dipilihkan itu disebut fungsi dari nilai lain. Dalam kasus ini nilai fungsi adalah variabel terikat dan nilai lain yaitu variabel lepas. Notasi f(x) digunakan untuk nilai fungsi fdengan x mengemukakan variabel lepas. Sesuai halnya, notasi seperti f(xyz) dapat digunakan ketika beberapa variabel lepas beda satu dengan yang lainnya.
 

Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan Linear satu variabel adalah kalimat pembuka yang dihubungkan tanda sama dengan ( = ) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat 1. Bentuk umum persamaan linear satu variabel yaitu ax + b = 0. Contoh persamaan linear satu variabel diantaranya:
x + 2 – 6
4a + 3 = 15
5b – 2 = 17

x, a dan b adalah variabel (peubah) yang dapat digantikan dengan sembarang bilangan yang memenuhi.

Cara Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Terdapat dua cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu persamaan linier satu variable yaitu:
1. Subtitusi
2.Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen
Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen, yaitu dengan cara :
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama
b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.

Contoh persamaan linear 1 variabel

Diketahui persamaan 3x-1=14; jika x Merupakan anggota himpunan P = ( 3,4,5,6) !
Jawab :

3x-1+14 x Є P = (3,4,5,6)

a. Cara subtitusi :
3x-1= 14; jika x = 3 = maka 3(3) – 1 = 8 (salah)
3x-1= 14; jika x = 4 = maka 3(4) – 1 = 11 (salah)
3x-1= 14; jika x = 5 = maka 3(5) – 1 = 14 (benar)
3x-1= 14; jika x = 6 = maka 3(6) – 1 = 17 (salah)

Jadi , penyelesaian dari 3x-1+14 adalah 5

b. Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen

Dari table diatas, Jika x = 5, disubtituskan pada (a),(b) dan (c) maka persamaan tersebut menjadi suatu kesamaan .
(a).
3x-1=14
3(5) – 1 = 14
14 = 14 (ekuivalen)
(b).
3x =15
3 (5) = 15
15 = 15 (ekuivalen)
(c).
x = 5
5 = 5 (ekuivalen)
Artinya 3x – 1 = 14 dan 3x = 15 merupakan persamaan yang ekuivalen.
 

Persamaan Linear 2 Variabel

Persamaan linear dua variabel ialah sebuah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat pada tiap – tiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk umum persamaan linear dua variabel ialah:
ax + by = c
yang mana = x dan y ialah variabel

Selanjutnya yaitu:

Sistem persamaan linear 2 variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ialah dua persamaan linear dua variabel yang memiliki hubungan diantara keduanya dan memiliki satu penyelesaian.

Bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel ialah:
ax + by = c
px + qy = d
Keterangan : x dan y disebutnya variabel
a, b, p dan q disebutnya koefisien
c dan r disebutnya konstanta

Suku, Koefisien, Konstanta dan Variabel

Suku ialah sebuah bagian dari bentuk aljabar yang dapat terdiri dari variabel dan koefisien atau dalam bentuk konstanta bahwa setiap suku dipisahkan oleh tanda operasi suatu penjumlahan.
Contoh:
5x-y + 8,

Suku: maka sukunya ialah: 5x, -t dan 8

Variabel adalah variabel adalah suatu pengganti dari suatu nilai atau angka yang biasanya ditunjukkan oleh huruf atau simbol.
Contoh:
Ando memiliki 6 ekor kambing dan 3 ekor sapi.

Apabila ada tertulis, katakan: a = kambing dan b = sapi
Maka: 6a + 3b, dengan a dan b ialah variabel

Koefisien ialah suatu angka yang menunjukkan jumlah variabel serupa. Koefisien juga bisa disebut sebagai angka di depan variabel karena menulis untuk suku yang mempunyai variabel adalah koefisien di depan variabel.
Contoh:
Anto memiliki 7 ekor kambing dan 3 ekor sapi.

Apabila ada tertulis, katakan: a = kambing dan b = sapi
Maka: 7a + 3b, dengan 7 dan 3 koefisien
Dengan 7 koefisien a dan 3 ialah koefisien b

Konstanta ialah angka yang tidak diikuti oleh sebuah variabel sehingga nilainya tetap (konstan) untuk nilai variabel apa pun.
Contoh:
5p + 3q – 10.
– 10 ialah konstanta karena apa pun nilai p dan q ialah, nilai -10 tidak terpengaruh, sehingga tetap (konstan)

Cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear 2 Variabel

1. Metode Eliminasi

Pada metode eliminasi ini untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya ialah dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut.

Baca Juga :   Pengertian Himpunan Dan Macam – Macamnya Lengkap

Apabila variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. Coba perhatikan bahwa apabila koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut. selanjutnya perhatikan contoh berikut ini:

Contoh:

Dengan metode eliminasi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 !

Penyelesaian: 

2x + 3y = 6 dan x – y = 3

Langkah pertama I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan yaitu: 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan
x – y = 3 dikalikan dengan 3.
2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y  = 6
x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9
5x = 15
x = 15/5
x = 3
Langkah kedua II (eliminasi variabel x)
Seperti langkah pertama I, untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan
x – y = 3 dikalikan 2.
2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6
x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6
5y = 0
y = 0/5
y = 0
Maka, himpunan penyelesaiannya ialah {(3,0)}.

2. Metode Substitusi

Metode Substitusi adala suatu metede untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita nyatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, selanjutnya menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.

Contoh:
Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut 2x +3y = 6 dan x – y = 3

Penyelesaiannya:
Persamaan x – y = 3 ialah ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 maka dapat diperoleh sebagai berikut:
2x + 3y = 6
ó 2 (y + 3) + 3y = 6
ó     2y + 6 + 3y = 6
ó             5y + 6 = 6
ó      5y + 6 – 6 = 6 – 6
ó                  5y = 0

ó                    y = 0
Kemudian untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga diperoleh:
x = y + 3
ó x = 0 + 3
ó x = 3
Maka, himpunan penyelesaiaanya ialah {(3,0)}

Baca Juga :   Cara Mengerjakan Limit Trigonometri Beserta Penerapannya

3.  Metode Gabungan

Adalah suatu untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode gabungan, kita menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.

Contoh:
Dengan metode gabungan diatas, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !
Penyelesaiannya:

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, maka diperoleh:
2x – 5y = 2 ×1 2x – 5y = 2
x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12
-15y = -10
y = (-10)/(-15)
y = 2/3
Selanjutnya, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh:
x + 5y = 6
ó x + 5 (2/3) = 6
ó   x + 10/15 = 6
ó                 x = 6 – 10/15
ó                 x = 22/3
Maka, himpunan penyelesaiaanya ialah {(2 2/3,2/3)}

4. Metode grafik

Pada metode grafik ini, langkah-langkah yang dilakukan pertama adalah menentukan grafik garis dari masing-masing persamaan kemudian menentukan titik potong dari kedua garis. Titik potong dari kedua garis tersebut adalah penyelesaian dari SPLDV.

Pada metode grafik ini, terdapat beberapa jenis himpunan penyelesaian berdasarkan grafik persamaan, yaitu:

    • Jika kedua garis berpotongan, maka perpotonga kedua garis adalah penyelesaian dari SPLDV dan memiliki satu penyelesaian.
    • Jika kedua garis sejajar, maka SPLDV tidak memiliki penyelesaian
    • Jika kedua garis saling berhimpit, maka SPLDV memiliki tak berhingga himpunan penyelesaian.

 

Sistem persamaan linear 3 variabel

Adalah suatu sistem persamaan linear dengan memuat tiga variabel. Ada beberapa cara yang sering digunakan dalam menyelesaikannya yakni diantaranya adalah cara eliminasi, substitusi, gabungan eliminasi-substitusi, maupun grafik.

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) yang lebih mudah dan singkat yaitu dengan menggunakan gabungan eliminasi dan subsitusi. Dalam pelaksanaannya lebih baik dikerjakan dengan eliminasi terlebih dahulu, baru kemudian menggunakan subsitusi.

Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel      

Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel merupakan pasangan terurut tripel bilangan (x, y, z) yang memenuhi ketiga persamaan tersebut.

            Penentuan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan  cara yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Yakni:

  • Metode eliminasi
  • Metode subsitusi
  • Metode eliminasi-subsitusi

Umumnya penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diselesiakam dengan metode gabungan eliminasi dan subsitusi. Berikut penjelasannya:

1. Metode Eliminasi – Subsitusi

Yaitu menyatakan suatu variabel dalam variabel lainnya yang selanjutnya digunakan untuk mengganti variabel yg sama dalam persamaan lainnya.

2.  Metode eliminasi

Yaitu mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel untuk mendapatkan nilai variabel lainnya.

3.  Metode gabungan eliminasi dan subtitusi

Yaitu menentukan nilai salah satu variabel dengan metode eliminasi, selanjutnya nilai variabel itu disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan linear sehingga diperoleh nilai variabel lainnya.
 

Sistem Persamaan Linear 4 Variabel

Sistem persamaan linear 4 variabel adalah himpunan 4 persamaan yang memiliki 4 variabel. Jika kurang dari 4 persamaan tentunya persamaan memiliki tak terhingga penyelesaian, dan jika ada 5 persamaan atau lebih, bisa jadi tidak memiliki penyelesaian dan terjadi kontadiksi.

Untuk meyelesaiakan sistem persamaan linear 4 variabel maka bentuk ini kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 3 variabel (tentunya ada 3 persamaan), baru kemudian kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel.
 

Contoh Soal dan Jawaban Persamaan Linear Variabel Matematika

1. Pak Rudy memiliki sebidang tanah berbentuk persegi panjang, Lebar tanah yang dimilikinya adalah 5 meter lebih pendek dari panjangnya. Keliling tanah pak Sarif adalah 50 meter. Berapakah ukuran panjang dan lebar tanah Pak Rudy?

Cara Penyelesaiannya:

Diketahui : keliling tanah = 50 m

Misalkan ukuran panjang tanah = x, maka lebar tanah =  x -5

Keliling tanah = keliling persegi panjang

50 = 2 ( p + l)
50 = 2 ( x + x – 5)
50 = 2 ( 2x – 5)
50 = 4x – 10
50 + 10 = 4x
60 = 4x
60 : 4 = x
15 = x

Jadi:

Panjang tanah : x = 15 meter
Lebar tanah : x – 5 = 15 – 5 = 10 meter
Jadi, panjang tanah pak sarif adalah 15 meter dan lebar tanah adalah 10 meter.
 

2. Nilai x yang memenuhi persamaan  5x- 7 = 3x + 5 adalah ?

Jawaban:

5x- 7 = 3x + 5
5x – 3x = 5 + 7
2x = 12
x = 6
 

3. Untuk persamaan 4x + y = 12, bila x = -1 maka y adalah ?

Jawaban:

4( -1) + y = 12
-4 + y = 12
y = 12 + 4
y = 16
 

4. Nilai x yang memenuhi persamaan 3x + 5 = 14 adalah?

Jawaban:

3x + 5 = 14
3x = 14 – 5
3x = 9
x  = 9 : 3
x = 3
 

5. Yang manakah persamaan dibawah ini yang dianggap sebagai persamaan linear satu variabel?

a. 2x+ 5 = 10
b. x2+ 3x = 18
c. 2x + 2y = 8
d. x1/2+ 5 = 10
e. 2x +5 = 4x – 7

Penyelesaian: 
a. Variabel pada persamaan 2x+ 5 = 10 adalah x dan berpangkat satu, maka persamaan linear satu variabel.

b. Variabel pada persamaan x2+ 3x = 18 adalah x yang memiliki pangkat satu dan dua, maka tidak termasuk persamaan linear satu variabel.

c. Variabel pada persamaan 2x + 2y = 8 adalah x dan y, karena terdapat dua variabel, maka tidak termasuk persamaan linear satu variabel.

d. Variabel pada persamaan  x1/2+ 5 = 10 adalah x namun bukan berpangkat satu (berpangkat 1/2), maka tidak termasuk persamaan linear satu variabel.

e. Variabel pada persamaan 2x +5 = 4x – 7 adalah x. Walaupun terdapat variabel x pada ruas kiri dan ruas kanan, namun dianggap satu variabel yaitu :x. Oleh karena itu dianggap sebagai persamaan satu variabel juga.
 

6. Tentukan nilai x dari persamaan : 3(x – 1) + x = –x + 7

Jawaban:

3(x – 1) + x = –x + 7
  3x - 3 + x = -x + 7
      4x - 3 = -x + 7
      4x + x =  7 + 3
          5x =  10
           x =  10/5
           x =  2


 

7. Diketahui jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 66. Tentukanlah bilangan yang paling kecil!

Jawaban:

Diketahui: Tiga bilangan genap berjumlah 66.

Bilangan genap mempunyai pola + 2, misalkan bilangan genap yang pertama = x, maka bilangan genap kedua dan ketiga berturut-turut  = x + 2, dan x + 4, sehingga:

Bil.1 + Bil.2 + Bil. 3 = 66
x + (x+2) + (x+4) = 66
3x + 6 = 66
3x =  60
x = 20

Jadi:

BACA JUGA :  Trik Rahasia Belajar Hitung Cepat Matematika Dengan Mudah dan Menyenangkan

bilangan genap pertama adalah  x = 20
bilangan genap kedua adalah  x + 2 = 20 + 2 =22
bilangan genap ketiga adalah x + 4 = 20 + 4 = 24
 

8. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan metode substitusi:
x + y = 8
2x + 3y = 19

Jawaban:
x + y = 8…. (1)
2x + 3y = 19 … (2)
x + y = 8
x = 8- y
 

9. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode campuran:
x + y = -5
x – 2y = 5

Jawaban:Eliminasi x
x + y = -5
x – 2y = 5 –
3y = -9
y = -3

Substitusi y
x + (-3) = -5
x = -2

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = -2 dan y = -3

 

10. Subtitusikan x = y – 8 ke dalam persamaan 2

Jawaban:

2 (8- y) + 3y = 19
16 – 2y + 3y = 19
16 + y = 19
y = 3

 

11. Subtitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1

Jawaban:
x + 3 = 8
x = 5Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 5 dan y = 3

 

12. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
2x – y = 7
x + 2y = 1

Jawaban:Eliminasi x
2x – y = 7 | x1 –> 2x – y = 7 … (3)
x + 2y = 1 | x2 –> 2x – 4y = 2 … (4)

2x – y = 7
x + 2y = 1 –
-5y = 5
y = -1

Eliminasi y
2x – y = 7 | x2 –> 4x – 2y = 14 … (5)
x + 2y = 1 | x1 –> x + 2y = 1 … (6)

4x – 2y = 14
x – 2y = 1 –
5x =15
x = 3

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = -1

 

13. Jessica 7 tahun lebih muda dari umur Mella. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah umur mereka masing-masing !

Jawab :
Misalkan umur Jessica = x dan umur Mella= y, maka
y – x = 7… (1)
y + x = 43… (2)y = 7 + x

 

Subtitusikan y = 7 + x kedalam persamaan 2

Jawaban:
7 + x + x = 43
7 + 2x = 43
2x = 36
x = 18
y = 7 + 18 = 25
Jadi, umur Jessica adalah 18 tahun dan umur Mella 25 tahun.

 

14. Sebuah taman memiliki ukuran panjang 8 meter lebih panjang dari lebarnya. Keliling taman tersebut adalah 44 m. tentukan luas taman !

Jawab :Luas taman = p x l
P = panjang taman
L = lebar taman

Model matematika :
P = 8 + l
k = 2p + 2l
2 ( 8 + l) + 2l = 44
16 + 2l + 2l = 44
16 + 4l = 44
4l = 28
l = 7

P = 7 + 8 = 15
Luas = 7 x 15 = 105 m2Jadi, luas taman tersebut adalah 105 m².

 

15. Penyelesaian sistem persamaan 3x –2y= 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q.
Nilai 4p + 3q adalah…

a. 17
b. 1
c. -1
d. -17

Pembahasan Soal 1:
3x – 2y = 12 ……………………………….( 1)
5x + y = 7 à y = 7 – 5x ……………..(2 )
Subsitusikan persamaan ( 2) ke (1 )
3x – 2y = 12
3x – 2( 7 – 5x = 12
3x – 14 +10x = 12
13x = 12 + 14
x = 2…………….p = 2

Subsitusikan nilai x = 2 ke persamaan (2)
y = 7 – 5x
y = 7 – 5( 2)
y = 7 – 10 = -3 ………………q = -3

maka :
Nilai 4p + 3q = 4( 2) + 3(-3)
= 8 – 9
= -1
Jadi, jawaban yang benar = -1 ……( C )
 

16. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2 adalah…

a. {(-2, -4 )}
b. {(-2 ,4)}
c. {(2, -4)}
d. {(2, 4)}

Pembahasan Soal 2:
x – 2y = 10 à x = 2y + 10 …….. (1)
3x + 2y = -2 ………………………………. (2)

Subsitusikan persamaan (1) ke (2)
3x + 2y = -2
3( 2y + 10 ) + 2y = -2
6y + 30 + 2y = – 2
8y = -32
y = – 4

 

17. Subsitusikan nilai y = -4 ke persamaan (1)

x = 2y + 10
x = 2(-4) + 10
x = -8 + 10
x = 2
Jadi, HP adalah {( 2, -4 )}.
 

18. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier 2y – x = 10 dan 3x + 2y = 29 adalah…

a. {(7, 4)}
b. {(7,-4)}
c. {(-4, 7)}
d. {(4, 7)}

Pembahasan soal 3:
Gunakan cara eliminasi :
Eliminasi y kalikan dengan koefisien y
2y – x = 10 x 3 à 6y – 3x = 30
3y + 2x = 29 x 2 à 6y + 4x = 58 –
-7x = -28
x = -28: (-7)
x = 4

Eliminasi x kalikan dengan koefisien x
2y – x = 10 x 2 à 4y – 2x = 20
3y + 2x = 29 x 1 à 3y + 2x = 29 +
7y = 49
y = 7
Himpunan penyelesaiannya = {( 4, 7 )}
 

19. Jika 2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17, Maka nilai dari 2x – y =…

a. -7
b. -5
c. 5
d. 7

Gunakan cara eliminasi : Eliminasi x kalikan dengan koefisien x
2x + 5y = 11 x 2 à 4x +10y = 22
4x – 3y = -17 x 1 à 4x – 3y = -17 –
13y = -39
y = 3

Gunakan cara eliminasi : Eliminasi x kalikan dengan koefisien x
2x + 5y = 11 x 3 à 6x +15y = 33
4x – 3y = -17 x 5 à 20x -15y = -85 +
26x = -52
x = -2
Nilai : 2x – y = 2(-2) – 3 = – 7

 

20. Contoh soal:
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20
x + 4y + 2z = 15

Jawab :

Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)

2x + 3y – z = 20 ………………………..(1)
3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)
x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)

Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z

Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan

2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20_____   +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ………………….(4)

Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh

6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15____  _
5x = 25
x = 5

Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga

x + y = 8
5 + y = 8
y = 3

selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)

3x + 2y + z = 20
3.5 + 2.3 + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}
 

21. Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21
5x + 2y + 6z = 46

Jawaban:

Supaya lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)

3x + 4y – 3z = 3  …………………………….(1)
2x – y + 4z = 21  …………………………….(2)
5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3)

Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 4, sehingga diperoleh

3x + 4y – 3z = 3    |1| → 3x + 4y – 3z = 3

2x – y + 4z = 21    |4| → 8x – 4y+16z = 84    +

.                                  11x + 13z = 87 ……………..(4)

Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 2, sehingga diperoleh

5x + 2y + 6z = 46    |1| → 5x + 2y + 6z = 46

2x – y + 4z = 21      |2| → 4x – 2y + 8z = 42     +

.                                    9x + 14z = 88 …………..(5)

Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4) dikali 9 sehingga diperoleh

9x + 14z = 88   |11|   99x +154z = 968

11x + 13z = 87  |9|    99x + 117z=783       _

.                                      37z = 185

.                                          z = 5

Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4)

11x + 13z = 87
11x + 13.5 = 87
11x + 65 = 87
11x = 22
x = 2

Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga

5x +2y +6z = 46
5.2 +2y +6.5 = 46
10 + 2y + 30 = 46
2y = 6
y = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}
 

22. Himpunnan penyelesaian sistem persamaan
2x + 5y + 4z = 28
3x – 2y + 5z = 19
6x + 3y – 2z = 4
adalah…

Jawaban:

Mari kita berikan setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3) agar lebih mudah.

2x + 5y + 4z = 28 ……………………………………..(1)
3x – 2y + 5z = 19……………………………………….(2)
6x + 3y – 2z = 4…………………………………………(3)

Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut

2x + 5y + 4z = 28
4z = 28 – 2x – 5y
………………………………………..(4)

Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (2) sehingga

3x – 2y + 5z = 19

Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh

12x – 8y + 140 – 10x – 25y = 76
2x -33y = -64 ……………………………………….(5)

Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga

6x + 3y – 2z = 4

Jika kedua ruas dikali 4 maka

24x + 12y – 56 + 4x + 10y = 16
28x + 22y = 72
14x + 11y = 36
11y = 36 – 14x
…………………………………………(6)

Sekarang persamaan (6) kita subtitusikan ke persamaan (5) sehingga

2x -33y = -64
2x – 108 + 42x = -64
44x = 44
x=1

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(1, 2, 4)}
 

23. Ibu Olivia membeli 5 kg telur, 2 kg daging, dan 1 kg udang dengan harga Rp 265.000. Ibu Emilia membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dengan harga Rp 126.000. Ibu Isabella membeli 3 kg daging dan 2 kg udang dengan harga Rp 320.000. Jika Ibu Madonna membeli 2 kg telur, 1 kg daging, dan 1 kg udang ditempat yang sama, ia harus membayar sebesar…

A.  Rp 102.000
B.  Rp 139.000
C.  Rp 174.000
D.  Rp 218.000
E.  Rp 310.000

Pembahasan :

Misalkan :
harga 1 kg telur = x
harga 1 kg daging = y
harga 1 kg udang = z

dari pernyataan soal kita buat persamaannya.

5x + 2y + z = 265.000    … pers I
3x + y = 126.000            … pers II
3y + 2z = 320.000          … pers III

Eliminasikan y dari persamaan I dan II

5x + 2y + z = 265.000   |×1|
3x + y         = 126.000   |×2|

5x + 2y + z = 265.000
6x + 2y       = 252.000
—————————–  —
-x        + z   = 13.000    … pers IV

Eliminasikan y dari persamaan I dan III

5x + 2y + z = 265.000   |×3|
3y + 2z = 320.000   |×2|

15x + 6y + 3z = 795.000
6y + 4z = 640.000
——————————–  —
15x      –  z      = 155.000    … pers V

Eliminasikan z dari persamaan IV dan V

-x + z =   13.000
15x – z = 155.000
———————– +
14x      = 168.000
x = 168.000 / 14
x = 12.000

subtitusikan x = 12.000 ke dalam persamaan IV

-x + z = 13.000
-12.000 + z = 13.000
z = 13.000 + 12.000
z = 25.000

subtitusikan x = 12.000 ke dalam persamaan II

3x + y = 126.000
3 (12.000) + y = 126.000
36.000 + y = 126.000
y = 126.000 – 36.000
y = 90.000

diperoleh
x = 12.000
y = 90.000
z = 25.000

Harga 2 kg, 1 kg daging, dan 1 kg udang
= 2x + y + z
= 2 (12.000) + 90.000 + 25.000
= 24.000 + 90.000 + 25.000
= 139.000

Jadi Ibu Madonna harus membayar sebesar Rp 139.000
 

24. Tentukan himpunan penyelesaian dari:

2a + 3b + c + d = 12
a + b + 5c – d = 15
3a + 2b + 2c + 4d = 9
4a – b + 3c + 2d = 5

Jawaban:

Sekarang kita coba menyelesaiakan dengan metoda eliminasi

Setiap persamaan kita beri nama persamaan (1), (2) , (3) dan (4)

2a + 3b + c + d = 12 ……………………………………(1)

a + b + 5c – d = 15 ………………………………………(2)
3a + 2b + 2c + 4d = 9 ……………………………………(3)
4a – b + 3c + 2d = 5 ……………………………………..(4)

Langkah awal kita harus membuat 3 persamaan dengan 3 variabel. Untuk itu kita harus mengeliminasi salah saru variabel. Untuk contoh ini misalnya saya akan mengeliminasi d

Sekarang kita pilih persamaan (1) dan (2) untuk dijumlahkan

2a + 3b + c + d = 12
a +    b + 5c – d = 15__________  +
3a + 4b + 6c = 27 …………………………………….(5)

Selanjutnya persamaan (2) dengan (3)

a + b + 5c – d = 15      |4|→ 4a + 4b + 20c – 4d = 60
3a + 2b + 2c + 4d = 9  |1|→ 3a + 2b + 2c + 4d = 9 ______ +

.                                      7a + 6b + 22c = 69 …………………….(6)

Sekarang persamaan (2) dengan (4)

a + b + 5c – d = 15    |2|→ 2a + 2b + 10c – 2d = 30
4a – b + 3c + 2d = 5   |1|→ 4a – b + 3c + 2d = 5           +

.                                      6a + b + 13c = 35 …………………….(7)

Sekarang kita telah memiliki sistem persamaan linear 3 variabel, yaitu persamaan (5), (6), dan (7). Dari sini akan kita bentuk menjadi 2 persamaan tanpa variabel b

sekarang kita pilih persamaan (7) dan (5)

6a + b + 13c = 35   |4| → 24a + 4b + 52c = 140
3a + 4b + 6c = 27   |1| →  3a + 4b  + 6c  =  27      _

.                                    21a        + 46c = 113  …………….(8)

sekarang kita ambil persamaan (7) dan (6)

6a + b + 13c = 35   |6| → 36a + 6b + 78c = 210
7a + 6b + 22c = 69  |1|→ 7a   + 6b + 22c = 69        _

.                                          29a + 56c = 141 ……………..(9)

Langkah terakhir kita eliminasi persamaan (8) dan (9)

21a + 46c = 113   |29| → 609a + 1334c = 3277

29a + 56c = 141   |21| → 609a + 1176c = 2961        _

.                                              158c = 316

.                                                   c = 2

21a + 46c = 113
21a + 46.2 = 113
21a + 92 = 113
21a = 21 → a = 1

6a + b + 13c = 35
6.1 + b + 13.2 = 35
6 + b + 26 = 35
32 + b = 35 → b = 3

2a + 3b + c + d = 12
2.1 + 3.3 + 2 + d = 12
2 + 9 + 2 + d = 12
13 + d = 12
d = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 3, 2, -1)}
 

25. Berapa a + b + c + d = …?
a + 3b + 2d = 14
6a + 2b = 4
6c + 3d = 12

Jawaban

a + 3b + 2d = 14 … (i)
6a + 2b = 4 … (ii)
6c + 3d = 12 … (iii)

ii dan iii bisa disederhanakan:
3a + b = 2 … (ii)
2c + d = 4 … (iii)

jumlahkan ii dan iii:
3a + b + 2c + d = 6 … (iv)
maka:
a + b + c + d = 6 – (2a + c) … (v)
kita simpan dulu persamaan v ini.

kurangi ii dengan i:
2a – 2b – 2d = -12
sederhanakan
a – b – d = -6 … (vi)

jumlahkan iv dan vi:
4a + 2c = 0
sederhanakan:
2a + c = 0 … (vii)

nah, ketemu sudah!
masukkan vii ke v:
a + b + c + d = 6 – 0
a + b + c + d = 6
 

Bacaan Lainnya

 

Pasang iklan gratis di toko pinter

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

 

Cara daftar pasang iklan gratis

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

 
Sumber bacaan: Math Insight, Math4Teaching.com, Lamar University – TexasWolfram Research, Inc.Machine Learning Mastery

                       
 
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2019-05-25T18:39:39+07:00 Mei 25th, 2019|Matematika|0 Comments

Leave A Comment