Deret (matematika)

Dalam matematika, jika ada suatu urutan bilangan infinite { a_n }, maka suatu deret secara informal adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a₁ + a₂ + a₃ + · · ·. Ini dapat ditulis lebih singkat menggunakan simbol summation ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots .

Elemen-elemen dalam suatu deret sering diproduksi menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritme. Mengingat tidak terbatasnya jumlah elemen, hasilnya sering disebut deret tak terhingga (infinite series). Berbeda dengan finite summations, deret tak terhingga membutuhkan bantuan dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

Sifat dasar deret matematika

Definisi

Untuk setiap urutan $\{a_{n}\}$ bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots

.

Urutan jumlah parsial $\{S_{k}\}$ bersangkutan dengan suatu deret $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ didefinisikan bagi setiap $a_{k}$

S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.

Berdasarkan definisi, deret $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ converges menjadi suatu limit $L$ jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial $\{S_{k}\}$ converges menjadi $L$ . Definisi ini biasanya ditulis sebagai

L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\Leftrightarrow L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}.

Deret fungsi matematika

Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks

\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)

converges pointwise pada suatu himpunan E, jika deret itu converges untuk setiap x dalam E sebagai suatu deret ordinari bilangan real atau bilangan kompleks. Ekuivalen dengan itu, jumlah parsial

s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)

converge menjadi ƒ(x) sebagai N → ∞ untuk setiap x ∈ E.

Deret pangkat matematika

Deret pangkat adalah suatu deret dalam bentuk

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.

Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan c. Misalnya, deret

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

adalah deret Taylor $e^{x}$ pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x.

Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Deret (matematika)

Sifat dasar deret matematika

Definisi

Deret fungsi matematika

Deret pangkat matematika

Contoh Soal dan Jawaban Deret Matematika

1. Diketahui untuk `n > 1`, berlaku $\displaystyle S_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}+\ldots$ , maka $S_2+S_3+S_4+\ldots=\ldots$

2. Urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu. Contohnya adalah 3,5,7,9,11,13, ….. Deret aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Nilai Pi 1 juta digit pertama | Analisis dan…

Menghitung Dimensi Balok dari Luas Jaring-Jaringnya

Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan