fbpx

Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Deret (matematika)

Deret (bahasa Inggrisseries) adalah jumlah dari elemen-elemen (term; jamak: terms) dalam suatu urutanUrutan dan deret finit (atau terhingga) mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan Urutan dan deret infinit (atau tak terhingga) berlangsung terus menerus tak terbatas.

Dalam matematika, jika ada suatu urutan bilangan infinite { an }, maka suatu deret secara informal adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a1 + a2 + a3 + · · ·. Ini dapat ditulis lebih singkat menggunakan simbol summation ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots .}

Elemen-elemen dalam suatu deret sering diproduksi menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritme. Mengingat tidak terbatasnya jumlah elemen, hasilnya sering disebut deret tak terhingga (infinite series). Berbeda dengan finite summations, deret tak terhingga membutuhkan bantuan dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

 


 

Sifat dasar deret matematika

Definisi

Untuk setiap urutan{\displaystyle \{a_{n}\}}bilangan rasionalbilangan realbilangan kompleksfungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }.

Urutan jumlah parsial{\displaystyle \{S_{k}\}} bersangkutan dengan suatu deret {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} didefinisikan bagi setiap {\displaystyle a_{k}}

{\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.}

Berdasarkan definisi, deret {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}converges menjadi suatu limit {\displaystyle L} jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial {\displaystyle \{S_{k}\}}converges menjadi {\displaystyle L}. Definisi ini biasanya ditulis sebagai

{\displaystyle L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\Leftrightarrow L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}.}

 


 

Deret fungsi matematika

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}

converges pointwise pada suatu himpunan E, jika deret itu converges untuk setiap x dalam E sebagai suatu deret ordinari bilangan real atau bilangan kompleks. Ekuivalen dengan itu, jumlah parsial

{\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}

converge menjadi ƒ(x) sebagai N → ∞ untuk setiap x ∈ E.

 

Deret pangkat matematika

Deret pangkat adalah suatu deret dalam bentuk

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}

Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan c. Misalnya, deret

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

adalah deret Taylor {\displaystyle e^{x}} pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x.

 


Contoh Soal dan Jawaban Deret Matematika

1. Berikan satu contoh deret konvergen \sum x_n dan deret divergen \sum y_n sedemikian sehingga \sum (x_n + y_n) konvergen.

Penyelesaian:

Ambil \sum x_n = \sum \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots merupakan deret harmonik yang divergen (pembuktiannya bisa dilihat pada referensi lain). Ambil \sum y_n = \sum \dfrac{1}{n^2} = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \cdots, yang jelas merupakan deret konvergen sebab rumus barisan u_n = \dfrac{1}{n^2} konvergen ke-0 untuk n menuju tak hingga. Sekarang,
\sum (x_n + y_n) = \sum \left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right) = \sum \dfrac{n+1}{n^2}
Deret ini konvergen, sebab rumus barisan u_n = \dfrac{n+1}{n^2} konvergen ke-0 untuk nmenuju tak hingga.

 


 

2. Misalkan didefinisikan S = 1 + r + \dfrac{1}{2}r^2 + \dfrac{1}{3}r^3 + \dfrac{1}{4}r^4 + \cdots
a) Ubah S menjadi bentuk notasi sigma.
b) Kapan S konvergen?

Penyelesaian:

(Jawaban a) S = 1 + \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}r^n
(Jawaban b) Dengan menggunakan uji banding (ratio test), yang redaksinya:
“misalkan \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = L. Deret akan konvergen apabila L < 1 atau divergen apabila L > 1“. Sekarang, misalkan u_n = \dfrac{1}{n}r^n, sedangkan u_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}r^{n+1}, sehingga
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n+1}r^{n+1}}{\dfrac{1}{n}r^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{nr}{n+1} = r. Jadi, agar konvergen, maka L = r < 1.

 




3. Berikan dua contoh deret divergen \sum x_n dan deret divergen \sum y_n sedemikian sehingga \sum (x_n + y_n) konvergen.

Penyelesaian:

Ambil \sum x_n = \sum (-1)^n dan \sum y_n = \sum (-1)^{n+1}. Kedua deret ini merupakan deret divergen (berosilasi pada angka 1 dan -1). Tetapi,
\sum (x_n + y_n) = \sum((-1)^n + (-1)^{n+1}) \\ = (-1 + 1) + (1 - 1) + (-1 + 1) + \cdots konvergen ke-0.
Contoh lain adalah: ambil \sum x_n = \sum n, sedangkan \sum y_n = \sum (-n). Jelas kedua deret ini divergen (divergen tak sejati). Tetapi,
\sum (x_n + y_n) = \sum (n + (-n)) = \sum 0 = 0 jelas konvergen ke-0.
Anda bisa mencari contoh lain dengan memanipulasi bentuk seperti ini (memainkan tanda plus dan minus).

 


 

4. Hitung nilai dari \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n

Penyelesaian

\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n= \left(\dfrac{2}{9}\right)^2 +\left(\dfrac{2}{9}\right)^3 +\left(\dfrac{2}{9}\right)^4 +\left(\dfrac{2}{9}\right)^5 + \cdots
Ekspresi pada ruas kanan dari persamaan di atas adalah deret geometri dengan suku pertama a = \dfrac{4}{81} dan rasio r = \dfrac{2}{9}, sehingga dengan menggunakan formula S_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}, diperoleh
S = \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n = \dfrac{\dfrac{4}{81}}{1 - \dfrac{2}{9}} = \dfrac{4}{63}
Jadi, nilai dari \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{2}{9}\right)^n adalah \boxed{\dfrac{4}{63}}

 


 

5. Hitung nilai dari \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n}

Penyelesaian:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^4 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^6 + \cdots
Ekspresi pada ruas kanan dari persamaan di atas merupakan deret geometri dengan suku pertama a = \dfrac{1}{9} dan rasio r = \dfrac{1}{9}. Dengan menggunakan formula S_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}, diperoleh
S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n} = \dfrac{\dfrac{1}{9}}{1-\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{8}
Jadi, nilai dari \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2n} adalah \boxed{\dfrac{1}{8}}

 



6. Carilah rumus dari deret \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{2n}

Penyelesaian:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{2n} = r^2 + r^4 + r^6 + \cdots merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasionya sama, yaitu r^2. Dengan formula S_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}, diperoleh rumus deret ini adalah
S_{\infty} = \dfrac{r^2}{1-r^2}

 


 

7. Hitunglah 
\dfrac{7}{6} + \dfrac{7}{12} + \dfrac{7}{20} + \cdots + \dfrac{1}{690}

Penyelesaian

Pertama-tama, kita harus mencari pola deret ini lebih dulu. Hal yang patut dicurigai adalah pembilangnya, yang untuk 3 suku pertamanya selalu bernilai 7, tetapi mungkin ada keraguan ketika kita melihat pembilang suku terakhirnya 1. Bagaimana kalau kita ubah pembilangnya juga menjadi 7 seperti berikut.
\dfrac{7}{6} + \dfrac{7}{12} + \dfrac{7}{20} + \cdots + \dfrac{7}{4830}
Selanjutnya, tinjau posisi penyebutnya.
Kita akan menemukan pola berikut.
6 = 2 \times 3
12 = 3 \times 4
20 = 4 \times 5
\vdots~~\vdots~~\vdots
4830 = 69 \times 70
Jadi, deret tersebut dapat ditulis
7\left(\dfrac{1}{2.3} + \dfrac{1}{3.4} + \dfrac{1}{4.5} + \cdots + \dfrac{1}{69.70}\right)
Sekarang, kita akan menerapkan prinsip deret teleskopik.
7\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \cdots + \dfrac{1}{69} - \dfrac{1}{70}\right)
= 7\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{70}\right)
= \dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{17}{5}
Jadi, hasil dari deret itu adalah \boxed{\dfrac{17}{5}}

 


8. Hitunglah 
\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{48} + \cdots + \dfrac{1}{10200}

Penyelesaian

Kita harus mencari pola penyebutnya. Cobalah Anda mencarinya terlebih dahulu dengan Try and Error (memang untuk menemukan polanya, kita harus menguras banyak waktu dan pikiran ^_^)
——–
Perhatikan bahwa,
8 = 2 \times 4
24 = 4 \times 6
48 = 6 \times 8
\vdots~~\vdots~~\vdots
10200 = 100 \times 102
Jadi, deretnya dapat ditulis
\dfrac{1}{2.4} + \dfrac{1}{4.6} + \dfrac{1}{6.8} + \cdots + \dfrac{1}{100.102}
= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}\right) + \cdots + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{100} - \dfrac{1}{102}\right)
= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{102}\right) = \dfrac{25}{102}
Jadi, hasil dari deret tersebut adalah \boxed{\dfrac{25}{102}}


9. Buktikan bahwa deret harmonik \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} divergen.

Penyelesaian

Kita akan membuktikannya dengan kontradiksi. Andaikan \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} konvergen ke bilangan S, sehingga.
S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{2n-1} + \dfrac{1}{2n} + \cdots
= \left(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{2n-1} + \dfrac{1}{2n}\right) + \cdots
> \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{2n}\right) + \cdots
= \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{n} + \cdots = S
Berarti, diperoleh S > S. Tentu saja, ketaksamaan itu kontradiksi (tidak mungkin suatu bilangan lebih besar darinya sendiri). Jadi, pengandaian salah sehingga harus diingkari. Terbukti bahwa deret harmonik divergen.

 


 

10. Dengan menggunakan pecahan parsial (partial fractions), tunjukkan bahwa
a) \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = 1
b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{4}
c) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a} > 0~\text{jika}~ a > 0

Penyelesaian:

(Jawaban a) Tinjau rumus barisannya.
\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{a}{n+1} + \dfrac{b}{n+2} = \dfrac{(a + b)n + (2a + b)}{(n+1)(n+2)}
Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh a + b = 0 dan 2a + b = 1. Gunakan metode penyelesaian SPLDV sehingga didapat a = 1 dan b = -1. Jadi, bentuk notasi sigma di atas dapat ditulis menjadi
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}\right)
= \left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \cdots = 1
Terbukti bahwa \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = 1
(Jawaban b) Tinjau rumus barisannya,
\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n+1} + \dfrac{c}{n+2} \\ = \dfrac{a(n+1)(n+2)+b(n)(n+2)+c(n)(n+1)}{(n)(n+1)(n+2)} \\ = \dfrac{(a+b+c)n^2 + (3a+2b+c)n + 2a}{(n)(n+1)(n+2)}
Dengan meninjau posisi pembilangnya, diperoleh a+b+c=0, 3a+2b+c=0, dan 2a=1. Selesaikan a,b,c sehingga diperoleh a = \dfrac{1}{2}, b = -1, c = \dfrac{1}{2}. Jadi,
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{n} - \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{\dfrac{1}{2}}{n+2}\right)\\ = \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{2}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}\right) \\ = \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \left[\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right) + \left(-\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}\right)\right] \\ = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} (terbukti)
(Jawaban c) Tinjau rumus barisannya.
\dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{x}{a+n} + \dfrac{y}{a+n+1} \\ = \dfrac{(x+y)a + (x+y)n + x}{(a+n)(a+n+1)}
Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh x + y = 0 dan x = 1. Akibatnya y = -1. Berarti, \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a+n} - \dfrac{1}{a+n+1}
Bentuk notasi sigmanya adalah
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{a+n} - \dfrac{1}{a+n+1}\right) \\ = \left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a+1}\right) + \left(\dfrac{1}{a+1} - \dfrac{1}{a+2}\right)+ \left(\dfrac{1}{a+2} - \dfrac{1}{a+3}\right) + \cdots = \dfrac{1}{a}
dengan syarat a > 0. Jadi, terbukti bahwa
\boxed{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a} > 0~\text{jika}~ a > 0}

 


 

11. Diketahui untuk n > 1, berlaku \displaystyle S_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}+\ldots, maka S_2+S_3+S_4+\ldots=\ldots

Jawaban:

Dari tanda “titik tiga (…)” diduga deretnya adalah deret geometri tak hingga, tetapi deret S_2+S_3+S_4+\ldots=\ldots bukan deret geometri. Dengan menguraikan beberapa suku diharapkan dapat ditemukan pola deretnya.

\displaystyle \begin{aligned}     &S_2=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots\\     &S_3=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\ldots\\     &S_4=\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\ldots\\     &\vdots\\     &S_2+S_3+S_4+\ldots =\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\ldots\right)+ \left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+\ldots\right)+ \left(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\ldots\right)+\ldots   \end{aligned}

Bentuk terakhir menunjukkan bahwa deret yang ditanyakan terdiri dari deret-deret geometri takhingga.

\displaystyle \begin{aligned}     S_2+S_3+S_4+\ldots &=\frac{\dfrac{1}{2^2}}{1-\dfrac{1}{2}}+\frac{\dfrac{1}{3^2}}{1-\dfrac{1}{3}}+\frac{\dfrac{1}{4^2}}{1-\dfrac{1}{4}}+\ldots\\     &=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\ldots     \end{aligned}

Ehmmmm … sayangnya deret terakhir bukan deret geometri takhingga.
Terpaksa menggunakan teknik telescoping series (jarang ditemui disoal latihan sma)

\displaystyle \begin{aligned}     S_2+S_3+S_4+\ldots &=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\ldots  \\     &=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots  \\     &=\left[\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right]+\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right]+\ldots\\     &=1  \end{aligned}

Jadi S_2+S_3+S_4+\ldots=\ldots = 1

Cara Alternatif: :

Jawaban : A

catatan :
Deret Geometri Tak Hingga dengan suku awal a dan rasio r
\boxed{~S_\infty=\frac{a}{1-r}~}

Kesamaan yang digunakan pada deret Teleskoping pada soal ini
\boxed{~\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}~}

 


 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2018-07-11T19:09:20+00:00 Maret 31st, 2018|Matematika|0 Comments

Leave A Comment