fbpx

Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Bersama Contoh Soal dan Jawaban

Jenis-Jenis Persamaan Matematika

Jenis-jenis persamaan matematika sebagai berikut:

1. Persamaan Linear

Adalah persamaan matematika aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal.

  • Tentukan nilai x dari persamaan {\displaystyle 6x-7=5x+3}!
{\displaystyle 6x-7=5x+3}
{\displaystyle 6x-5x=3+7}
{\displaystyle x=10}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{10\},x\in R\}}

Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta dan x dan y adalah variabelnya.

Bentuk Umum

{\displaystyle Ax+By+C=0,\,}
di mana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera di atas. Bila A≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.

Bentuk standar

{\displaystyle ax+by=c,\,}
di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tetapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol.

Bentuk titik potong gradien

Sumbu-y

{\displaystyle y=mx+c,\,}
di mana m merupakan gradien dari garis persamaan dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, di mana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat xyang anda taruh di grafik.

Sumbu-x

{\displaystyle x={\frac {y}{m}}+c,\,}
di mana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, di mana nilai y sudah diberikan.

Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel

Sebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:

{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b.}

di mana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a1 adalah koefisien untuk variabel pertama, x1, dan n merupakan jumlah variabel total, serta b adalah konstanta.

 

2. Persamaan Kuadrat

adalah suatu persamaan polinomial berorde dua atau suku banyak. Bentuk umum dari persamaan kuadrat.

  • Tentukan nilai x dari persamaan {\displaystyle x^{2}-7x=10-4x}{\displaystyle x^{2}-7x=10-4x}!
{\displaystyle x^{2}-7x=10-4x}
{\displaystyle x^{2}-3x-10=0}
{\displaystyle x=-2\lor x=5}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-2,5\},x\in R\}}

 

3. Persamaan Akar

  • Tentukan nilai x dari persamaan {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}={\sqrt {10-x}}}!
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}={\sqrt {10-x}}}
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}=({\sqrt {10-x}})^{2}}
{\displaystyle x^{2}-4x=10-x}
{\displaystyle x^{2}-3x-10=0}
{\displaystyle (x+2)(x-5)=0}
{\displaystyle x=-2\lor x=5}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-2,5\},x\in R\}}

 

4. Persamaan Pecahan

  • Tentukan nilai x dari persamaan {\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}={\frac {x+1}{x-2}}}!
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}={\frac {x+1}{x-2}}}
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}-{\frac {x+1}{x-2}}=0}
{\displaystyle {\frac {(x-4)(x-2)-(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-2)}}=0}
{\displaystyle {\frac {x^{2}-6x+8-(x^{2}-2x-3)}{(x+1)(x-2)}}=0}
{\displaystyle {\frac {-4x+11}{(x+1)(x-2)}}=0}
{\displaystyle -4x+11=0}
{\displaystyle x={\frac {11}{4}}}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{{\frac {11}{4}}\},x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari persamaan {\displaystyle {\frac {x^{2}-2x-8}{x^{2}+x-20}}=0}!
{\displaystyle {\frac {x^{2}-2x-8}{x^{2}+x-20}}=0}
{\displaystyle {\frac {(x+2)(x-4)}{(x+5)(x-4)}}=0}
{\displaystyle {\frac {x+2}{x+5}}=0}
{\displaystyle x+2=0}
{\displaystyle x=-2}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{2\},x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari persamaan {\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}=1}!
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}=1}
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}-1=0}
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3}{3x-8}}-{\frac {3x-8}{3x-8}}=0}
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x-3-(3x-8)}{3x-8}}=0}
{\displaystyle {\frac {x^{2}-6x+5}{3x-8}}=0}
{\displaystyle {\frac {(x-1)(x-5)}{3x-8}}=0}
{\displaystyle (x-1)(x-5)=0}
{\displaystyle x=1\lor x=5}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{1,5\},x\in R\}}

 

5. Persamaan Mutlak

Dalam bentuk persamaan mutlak sebagai berikut:

{\displaystyle |f(x)|=g(x)}

haruslah mempunyai dua nilai yaitu

{\displaystyle |f(x)|=\left\{{\begin{matrix}f(x),&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)\geq 0\\\\-f(x),&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)<0\end{matrix}}\right.}

Persamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan – karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

  • Tentukan nilai x dari persamaan {\displaystyle |x^{2}+x|=12}!
{\displaystyle |x^{2}+x|=12}
batasan f(x)
{\displaystyle x^{2}+x=12}
{\displaystyle x^{2}+x-12=0}
{\displaystyle (x+4)(x-3)=0}
{\displaystyle x=-4\lor x=3}
batasan -f(x)
{\displaystyle x^{2}+x=-12}
{\displaystyle x^{2}+x+12=0} definit +
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-4,3\},x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari persamaan {\displaystyle |x^{2}-4x-12|-|7-6x|=5}!
terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada
untuk | x^2 – 4x – 12 |
{\displaystyle |x^{2}-4x-12|=\left\{{\begin{matrix}x^{2}-4x-12,&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12\geq 0\\\\-(x^{2}-4x-12),&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12<0\end{matrix}}\right.}
batasan f(x)
{\displaystyle x^{2}-4x-12\geq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}-4x-12=0}
{\displaystyle (x+2)(x-6)=0}
{\displaystyle x=-2\lor x=6}

dibuat irisan

-2 6
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle x\leq -2\lor x\geq 6}
batasan -f(x)
{\displaystyle x^{2}-4x-12<0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}-4x-12=0}
{\displaystyle (x+2)(x-6)=0}
{\displaystyle x=-2\lor x=6}

dibuat irisan

-2 6
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle -2<x<6}
untuk | 7 – 6x |
{\displaystyle |7-6x|=\left\{{\begin{matrix}7-6x,&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x\geq 0\\\\-(7-6x),&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x<0\end{matrix}}\right.}
batasan f(x)
{\displaystyle 7-6x\geq 0}
{\displaystyle x\leq {\frac {7}{6}}}
batasan -f(x)
{\displaystyle 7-6x<0}
{\displaystyle x>{\frac {7}{6}}}

keempat batas-batas akan dibuat irisan

irisan -2 7/6 6
pertama x^2 – 4x – 12 N/A N/A N/A x^2 – 4x – 12
kedua N/A -(x^2 – 4x – 12) N/A -(x^2 – 4x – 12) N/A
ketiga 7 – 6x N/A 7 – 6x N/A N/A
keempat N/A N/A -(7 – 6x) N/A -(7 – 6x)
untuk x <= -2
{\displaystyle x^{2}-4x-12-(7-6x)=5}
{\displaystyle x^{2}-4x-12-7+6x-5=0}
{\displaystyle x^{2}+2x-24=0}
{\displaystyle (x+6)(x-4)=0}
{\displaystyle x=-6\lor x=4}
hanya {\displaystyle x=-6} dipenuhi
untuk -2 < x <= 7/6
{\displaystyle -(x^{2}-4x-12)-(7-6x)=5}
{\displaystyle -x^{2}+4x+12-7+6x-5=0}
{\displaystyle x^{2}-10x=0}
{\displaystyle x(x-10)=0}
{\displaystyle x=0\lor x=10}
hanya {\displaystyle x=0} dipenuhi
untuk 7/6 < x < 6
{\displaystyle -(x^{2}-4x-12)-(-(7-6x))=5}
{\displaystyle -x^{2}+4x+12+7-6x-5=0}
{\displaystyle x^{2}+2x=0}
{\displaystyle x(x+2)=0}
{\displaystyle x=0\lor x=-2}
tidak memenuhi

untuk x >= 6

{\displaystyle x^{2}-4x-12-(-(7-6x))=5}
{\displaystyle x^{2}-4x-12+7-6x-5=0}
{\displaystyle x^{2}-10x-10=0} definit +
tidak memenuhi
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-6,0\},x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari persamaan {\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|=|{\frac {1}{x-2}}|}!
{\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|=|{\frac {1}{x-2}}|}
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}=({\frac {1}{x-2}})^{2}}
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}-({\frac {1}{x-2}})^{2}=0}
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}}+{\frac {1}{x-2}})({\frac {x+4}{10-x}}-{\frac {1}{x-2}})=0}
{\displaystyle ({\frac {(x+4)(x-2)+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {(x+4)(x-2)-(10-x)}{(10-x)(x-2)}})=0}
{\displaystyle ({\frac {x^{2}+2x-8+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+2x-8-10+x}{(10-x)(x-2)}})=0}
{\displaystyle ({\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}})=0}
akar dari {\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}}
{\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}=0}
{\displaystyle x^{2}+x+2=0} definit +
akar dari {\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}}
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}=0}
{\displaystyle x^{2}+3x-18=0}
{\displaystyle (x+6)(x-3)=0}
{\displaystyle x=-6\lor x=3}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{-6,3\},x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari persamaan {\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|=|{\sqrt {3x-10}}|}!
{\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|=|{\sqrt {3x-10}}|}
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}=({\sqrt {3x-10}})^{2}}
{\displaystyle x^{2}-4x=3x-10}
{\displaystyle x^{2}-7x+10=0}
{\displaystyle (x-2)(x-5)=0}
{\displaystyle x=2\lor x=5}
{\displaystyle HP=\{x|x=\{2,5\},x\in R\}}

 

Persamaan matematika

Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak

 

Persamaan matematika adalah

Persamaan matematika adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis sama. Persamaan matematika ditulis dengan tanda sama dengan (=), seperti berikut:
x + 3 = 5, yang menyatakan bahwa nilai x = 2.
2x + 3 = 5, yang menyatakan bahwa nilai x = 1.

Pernyataan di atas adalah suatu kesamaan. Persamaan dapat digunakan untuk menyatakan kesamaan dua ekspresi yang terdiri dari satu atau lebih variabel. Sebagai contoh, untuk xanggota bilangan nyata, persamaan berikut selalu benar:

x(x – 1) = x2 x.

Persamaan di atas adalah contoh dari identitas: persamaan yang selalu benar, tak peduli berapa pun nilai variabel yang ada di dalamnya. Persamaan berikut bukanlah suatu identitas:

x2 – x = 0.

Persamaan di atas adalah salah untuk sejumlah tak hingga x, dan hanya benar untuk satu nilai; nilai akar unik dari persamaan, x=1. Karenanya, jika suatu persamaan diketahui bernilai benar, persamaan tersebut membawa informasi mengenai nilai x. Secara umum, nilai variabel di mana suatu persamaan menjadi benar disebut dengan solusi atau penyelesaian. Menyelesaikan suatu persamaan berarti menemukan solusinya.

Banyak pengarang yang menggunakan istilah persamaan untuk kesamaan yang bukan identitas. Perbedaan antara kedua konsep tersebut kadang sulit dibedakan; sebagai contoh,

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1

adalah identitas, sedangkan

(x + 1)2 = 2x2 + x + 1

adalah persamaan yang memiliki akar x=0 dan x=1. Apakah suatu pernyataan dimaksudkan sebagai suatu identitas atau suatu persamaan, menentukan informasi mengenai variabelnya sering dapat ditentukan berdasarkan konteksnya.

Huruf-huruf awal alfabet seperti abc, … sering kali digunakan sebagai konstanta (konstanta atau tetapan adalah suatu nilai tetap), dan huruf-huruf di akhir alfabet, seperti x, y, z, umumnya digunakan sebagai lambang variabel.

 

Persamaan matematika

Persamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak

Contoh Soal dan Jawaban Persamaan Matematika

1. Diketahui untuk bilangan real positif a, b, c, p, q, dan r berlaku \displaystyle \frac{a}{p}=\frac{b}{p}=\frac{c}{q}. Nilai dari \displaystyle \frac{abc(p+q)(q+r)(r+p)}{pqr(a+b)(b+c)(c+a)} adalah…

Jawaban:

Untuk memudahkan gunakan pemisalan \displaystyle \frac{a}{p}=\frac{b}{p}=\frac{c}{q}=k sehingga a = kp, b = kq, dan c = kr.

\displaystyle \begin{aligned} &\frac{abc(p+q)(q+r)(r+p)}{pqr(a+b)(b+c)(c+a)}\\ &=\frac{(kp)(kq)(kr)(p+q)(q+r)(r+p)}{pqr\{(kp)+(kq)\}\{(kq)+(kr)\}\{(kr)+(kp)\}}\\ &=\frac{pqrk^3(p+q)(q+r)(r+p)}{pqrk^3(p+q)(q+r)(r+p)}\\ &=1 \end{aligned}

Cara Alternatif: :

Pilih a = b = c = p = q = r = 1

\displaystyle \begin{aligned} &\frac{abc(p+q)(q+r)(r+p)}{pqr(a+b)(b+c)(c+a)}\\ &=\frac{(1)(1)(1)(1+1)(1+1)(1+1)}{(1)(1)(1)(1+1)(1+1)(1+1)}\\ &=1 \end{aligned}

Dapat dicoba dengan a = b = c = 1 dan p = q = r = 2

 

 

2. Salah satu nilai x yang memenuhi sistem persamaan xy+y^2=0 dan x-2y=3 adalah
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3

Jawaban:

Persamaan x-2y=3 bisa ditulis x=2y+3.
Lakukan subtitusi ke persamaan yang lainnya.

\displaystyle \begin{aligned} (2y+3)y+y^2&=0\\ y(3y+3)&=0\\ y_1&=0~\rightarrow~x_1=3;~~\text{atau}\\ y_2&=-1~\rightarrow~x_2=1 \end{aligned}

Jawaban : C

Cara Alternatif: :

Persamaan x-2y=3 bisa ditulis 2y=x-3.
Uji nilai x pada pilihan jawaban

\displaystyle \begin{aligned} &x=-1\:\rightarrow\:y=-2\:\rightarrow\:(-1)(-2)+(1)^2 \neq 0&~~~~~\text{(Salah)}\\ &x=1\:\rightarrow\:y=-1\:\rightarrow\:(1)(-1)+(-1)^2 = 0&~~~~~\text{(Benar)} \end{aligned}

Jadi x = 1 (C) adalah pilihan yang benar

 

 

3. Jika x dan y memenuhi \displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2} dan x-3y=1 maka 5x + 5y =…

Jawaban:

Persamaan x-3y=1 bisa ditulis sebagai x=3y+1. Lakukan subtitusi ke persamaan lainnya.

\displaystyle \begin{aligned} \frac{3y+1}{y}+\frac{y}{3y+1}&=\frac{5}{2}\\ \frac{(3y+1)^2+y^2}{y(3y+1)}&=\frac{5}{2}\\ 2(9y^2+6x+1+y^2)&=5(3y^2+y)\\ 5y^2+12y+2&=0\\ \tfrac{1}{5}(5y+5)(5y+2)&=0\\ y_1&=-1\:\rightarrow\:x_1=-2\\ y_2&=-\frac{2}{5}\:\rightarrow\:x_2=-\frac{1}{5} \end{aligned}

Jadi

  • y_1=-1, x_1=-2\:\rightarrow\:5(x+y)=-15
  • y_2=-\frac{2}{5}, x_2=-\frac{1}{5}\:\rightarrow\:5(x+y)=-3

 

 

4. Diketahui x dan y adalah bilangan bulat yang memenuhi xy+x+y=-33 dan x^2y+xy^2=162. Nilai |x-y| adalah…

Jawaban:

\displaystyle \left\{\begin{array}{rcr} (xy)+(x+y)&=&-33\\ (xy)(x+y)&=&162 \end{array}\right.

Misalkan A=xy dan B=x+y

\displaystyle \left\{\begin{array}{rcr} A+B&=&-33\\ AB&=&162 \end{array}\right.

Sama artinya dengan mencari 2 bilangan kalau dijumlahkan -33 dan dikalikan 162. Bilangan tersebut  A=-27  dan  B=-6.  Sehingga

\displaystyle \left\{\begin{array}{rcr} xy&=&-27\\ x+y&=&-6 \end{array}\right.

Akan didapat  x=-9  dan  y=3.
Jadi  |x-y|=12

 

 

5. Jika akar-akar persamaan \displaystyle \frac{x^2+ax}{bx-2}=\frac{m+2}{m-2} berlawanan dan a\neq b maka nilai m adalah…

Jawaban:

\displaystyle \begin{aligned} \frac{x^2+ax}{bx-2}&=\frac{m+2}{m-2}\\ (m-2)(x^2+ax)&=(m+2)(bx-2)\\ (m-2)x^2+a(m-2)x&=b(m+2)x-2(m+2)\\ (m-2)x^2+\left\{a(m-2)-b(m+2)\right\}x+2(m+2)&=0 \end{aligned}

Akar persamaan kuadrat akan berlawanan jika koefisien x bernilai nol.

\displaystyle \begin{aligned} \left\{a(m-2)-b(m+2)\right\}&=0\\ am-2a-bm-2b&=0\\ m(a-b)&=2(a+b)\\ m&=\frac{2(a+b)}{a-b} \end{aligned}

catatan:
Persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0 akan mempunyai akar yang saling berlawanan jika:
\boxed{~x_1+x_2=0\:\rightarrow\:b=0~}

 

 

6. Pada tahun 2010 populasi sapi di kota A adalah 1.600 ekor dan di kota B 500 ekor. Setiap bulan terjadi peningkatan pertumbuhan 25 ekor di kota A dan 10 ekor di kota B. Pada saat populasi sapi di kota A tiga kali populasi sapi di kota B, populasi di kota B adalah…

Jawaban:

 

Misalkan populasi sapi di kota A sama dengan tiga kali populasi di kota B terjadi pada bulan ke n, maka

\displaystyle \begin{aligned} A&=3B\\ 1600+25n&=3(500+10n)\\ n&=20 \end{aligned}

Jadi kondisi tersebut dicapai setelah 20 bulan, dan populasi sapi di kota B= 500 + 10(20) = 700 ekor.

 

 

8. Jika selisih akar-akar ~x^2+2cx+(19+c)=0~ adalah 2, maka nilai ~30+c-c^2~ adalah…

Jawaban:

Misalkan x_1 dan x_2 akar-akar persamaan kuadrat ~x^2+2cx+(19+c)=0~

\displaystyle \begin{aligned} (x_1-x_2)^2&=\frac{(2c)^2-4(1)(19+c)}{(1)^2}\\ 2^2&=4c^2-4(19)-4c\\ c^2-c&=20 \end{aligned}

Jadi

\displaystyle \begin{aligned} 30+c-c^2&=30-(c^2-c)\\ &=10 \end{aligned}

Jawaban : D

catatan:
Misalkan x_1 dan x_2 adalah akar persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0
\boxed{~(x_1-x_2)^2=\frac{D}{a^2}=\frac{b^2-4ac}{a^2}~}

 

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2018-07-11T21:52:02+00:00 Juni 19th, 2018|Matematika|0 Comments

Leave A Comment