Bilangan Duodesimal

Sistem duodesimal adalah sistem bilangan berbasis dua belas. Dasarnya, seperti halnya sistem desimal, adalah rasional.

Ini terutama digunakan dalam masyarakat Anglo-Saxon yang menggunakan besaran pengukuran atas dasar ini, seperti kaki, inci, ons, dll.

Di basis dua belas, kami menggunakan sepuluh digit dari 0 hingga 9, dan dua simbol variabel untuk mewakili sepuluh dan sebelas. Ada banyak situasi di mana A mewakili sepuluh dan B mewakili sebelas, tetapi simbol lain juga digunakan.

Contoh Bilangan Duodesimal

12₁₂ = 14₁₀ (sebenarnya, 1᛫12¹ + 2᛫12⁰)
26₁₂ = 30₁₀ (sebenarnya, 2᛫12¹ + 6᛫12⁰)
30₁₂ = 36₁₀ = 100₆ (sebenarnya, 3᛫12¹ + 0᛫12⁰)
50₁₂ = 60₁₀ (sebenarnya, 5᛫12¹ + 0᛫12⁰)
69₁₂ = 81₁₀ (sebenarnya, 6᛫12¹ + 9᛫12⁰)
76₁₂ = 90₁₀ (sebenarnya, 7᛫12¹ + 6᛫12⁰)
85₁₂ = 101₁₀ (sebenarnya, 8᛫12¹ + 5᛫12⁰)
100₁₂ = 144₁₀ (sebenarnya, 1᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
160₁₂ = 216₁₀ = 1000₆ (sebenarnya, 1᛫12² + 6᛫12¹ + 0᛫12⁰)
1A6₁₂ = 270₁₀ (sebenarnya, 1᛫12² + 10᛫12¹ + 6᛫12⁰)
265₁₂ = 365₁₀ (sebenarnya, 2᛫12² + 6᛫12¹ + 5᛫12⁰)
294₁₂ = 400₁₀ = 100₂₀ (sebenarnya, 2᛫12² + 9᛫12¹ + 4᛫12⁰)
400₁₂ = 576₁₀ (sebenarnya, 4᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
576₁₂ = 810₁₀ (sebenarnya, 5᛫12² + 7᛫12¹ + 6᛫12⁰)
6B4₁₂ = 1000₁₀ (sebenarnya, 6᛫12² + 11᛫12¹ + 4᛫12⁰)
900₁₂ = 1296₁₀ = 10000₆ (sebenarnya, 9᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
1000₁₂ = 1728₁₀ (sebenarnya, 1᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
11A8₁₂ = 2000₁₀ (sebenarnya, 1᛫12³ + 1᛫12² + 10᛫12¹ + 8᛫12⁰)
2454₁₂ = 4096₁₀ = 1000₁₆ (sebenarnya, 2᛫12³ + 4᛫12² + 5᛫12¹ + 4᛫12⁰)
3969₁₂ = 6561₁₀ = 10000₉ (sebenarnya, 3᛫12³ + 9᛫12² + 6᛫12¹ + 9᛫12⁰)
4600₁₂ = 7776₁₀ = 100000₆ (sebenarnya, 4᛫12³ + 6᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
4768₁₂ = 8000₁₀ = 1000₂₀ (sebenarnya, 4᛫12³ + 7᛫12² + 6᛫12¹ + 8᛫12⁰)
5000₁₂ = 8640₁₀ (sebenarnya, 5᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
789A₁₂ = 13366₁₀ (sebenarnya, 7᛫12³ + 8᛫12² + 9᛫12¹ + 10᛫12⁰)
10000₁₂ = 20736₁₀ (sebenarnya, 1᛫12⁴ + 0᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
23000₁₂ = 46656₁₀ = 1000000₆ (sebenarnya, 2᛫12⁴ + 3᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)

Penghitungan duodesimal dengan falang. Рыцарь поля, CC0, via Wikimedia Commons

Bilangan prima

Dalam basis apa pun, bilangan prima adalah bilangan bulat yang tidak dapat dibagi dengan bilangan bulat lain, kecuali 1 atau dirinya sendiri, dan menghasilkan bilangan bulat lain. Karena perkalian pada sistem basis 12 berbeda dengan pada basis 10 (sistem desimal), bilangan prima pada kedua basis berbeda. Jadi, pada basis 12 ternyata bilangan prima hanya bisa diakhiri dengan 1, 5, 7 atau B (kecuali bilangan 2 dan 3).

Jumlah bilangan prima, seperti pada basis tak terbatas lainnya (termasuk desimal), tak terbatas. Bilangan prima pertama dalam basis desimal dan duodesimal adalah:

Dalam basis duodesimal	2	3	5	7	B	11	15	17	1B	25	27	31	35	37	3B	45	4B	51	57	5B	61	67	6B	75	81	85	87	8B	91	95	A7	AB	B5	B7	…
Dalam basis desimal	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	…

Tabel perkalian dalam sistem duodesimal atau basis 12 adalah sebagai berikut:

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A	20
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47	50
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65	70
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92	A0
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1	B0
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	100

Contoh operasi aritmatika

Contoh operasi aritmatika
Senari (Basis 6)	Desimal (Basis 10)	Duodesimal (Basis 12)	Vigesimal (Basis 20)
140 + 50 = 230	60 + 30 = 90	50 + 26 = 76	30 + 1A = 4A
3430 – 213 = 3213	810 – 81 = 729	576 – 69 = 509	20A – 41 = 1G9
13132 – 140 = 12552	2000 – 60 = 1940	11A8 – 50 = 1158	500 – 30 = 4H0
1130 ᛫ 52 = 104000	270 ᛫ 32 = 8640	1A6 ᛫ 28 = 5000	DA ᛫ 1C = 11C0
2400 / 13 = 144	576 / 9 = 64	400 / 9 = 54	18G / 9 = 34
3430 / 13 = 230	810 / 9 = 90	576 / 9 = 76	20A / 9 = 4A
2²⁰ = 30544	2¹² = 4096	2¹⁰ = 2454	2^C = A4G

Pecahan dan bilangan irasional

Dalam setiap sistem bilangan posisional basis rasional (seperti desimal dan duodesimal), semua pecahan tak tereduksi yang penyebutnya berisi faktor prima selain faktor yang memfaktorkan basis, akan kekurangan representasi berhingga, memperoleh serangkaian digit tak terhingga dari nilai pecahan (umumnya disebut “desimal”, meskipun tidak masuk akal menggunakan istilah ini untuk basis selain desimal). Selanjutnya, deret angka tak terhingga ini akan menyajikan periode perulangan, memberikan perulangan murni ketika tidak ada faktor prima yang sama dengan basis, dan perulangan campuran (di mana di awal terdapat digit pecahan yang bukan bagian dari periode ) ketika setidaknya ada satu faktor prima yang sama dengan basis.

Jadi, dalam basis duodesimal, representasi dari semua pecahan yang penyebutnya mengandung faktor prima selain 2 dan 3 adalah tak terhingga dan rekursif; sedangkan dalam basis desimal ini terjadi ketika mereka berbeda dari 2 dan 5:

Basis Desimal Faktor prima dari basis: 2 , 5			Duodecimal / dozen basis Faktor prima dari basis: 2 , 3
Pecahan	Pecahan prima penyebut	representasi posisi	representasi posisi	Pecahan prima penyebut	Pecahan
1/2	two	0.5	0.6	two	1/2
1/3	3	0, 3 3333333…	0.4	3	1/3
1/4	two	0.25	0.3	two	1/4
1/5	5	0.2	0, 2497 24972497…	5	1/5
1/6	2 , 3	0.1 6 6666666…	0.2	2 , 3	1/6
1/7	7	0, 142857 142857142857…	0.186A35 186A35186A35 …	7	1/7
1/8	two	0.125	0.16	two	1/8
1/9	3	0, 1 1111111…	0.14	3	1/9
1/10	2 , 5	0.1	0.1 2497 24972497…	2 , 5	1/Y
11/1	eleven	0, 09 09090909…	0, 1 1111111…	B.	1 B
1/12	2 , 3	0.08 3 3333333…	0.1	2 , 3	1/10
1/13	13	0, 076923 076923076923…	0.0B 0B0B0B0B …	eleven	11/1
1/14	2 , 7	0.0 714285 714285714285…	0.0 A35186 A35186A35186…	2 , 7	1/12
1/15	3 , 5	0.0 6 6666666…	0.0 9724 97249724…	3 , 5	1/13
1/16	two	0.0625	0.09	two	1/14
1/17	17	0, 0588235294117647 0588235294117647…	0, 08579214B36429A7 08579214B36429A7…	fifteen	1/15
1/18	2 , 3	0.0 5 5555555…	0.08	2 , 3	1/16
1/19	19	0, 052631578947368421 052631578947368421…	0.076B45 076B45076B45 …	17	1/17
1/20	2 , 5	0.05	0.0 7249 72497249…	2 , 5	1/18
1/21	3 , 7	0, 047619 047619047619…	0.0 6A3518 6A35186A3518…	3 , 7	1/19
1/22	2 , 11	0.0 45 45454545…	0.0 6 6666666…	2 , B	1/1A
1/23	23	0, 0434782608695652173913 043478260869565…	0, 06316948421 06316948421…	1 B	1/1B
1/24	2 , 3	0.041 6 6666666…	0.06	2 , 3	1/20
1/25	5	0.04	0, 05915343A0B6 05915343A0B6…	5	1/21
1/26	2 , 13	0.0 384615 384615384615…	0.0 56 565656565…	2 , 11	1/22
1/27	3	0, 037 037037037…	0.054	3	1/23
1/28	2 , 7	0.03 571428 571428571428…	0.0 5186A3 5186A35186A3…	2 , 7	1/24
1/29	29	0, 0344827586206896551724137931 0344827586…	0.04B7 04B704B7 …	25	1/25
1/30	2 , 3 , 5	0.0 3 3333333…	0.0 4972 49724972…	2 , 3 , 5	1/26
1/31	31	0, 032258064516129 032258064516129…	0.0478AA093598166B74311B28623A55 0478AA …	27	1/27
1/32	two	0.03125	0.046	two	1/28
1/33	3 , 11	0, 03 03030303…	0.0 4 4444444…	3 , B	1/29
1/34	2 , 17	0.0 2941176470588235 2941176470588235…	0.0 429A708579214B36 429A708579214B36…	2 , 15	1/2A
1/35	5 , 7	0.0 285714 285714285714…	0.0414559B3931 0414559B3931 …	5 , 7	1/2B
1/36	2 , 3	0.02 7 7777777…	0.04	2 , 3	1/30

Di sisi lain, dalam sistem bilangan posisional apa pun dengan basis rasional, setiap bilangan irasional tidak hanya tidak memiliki representasi berhingga, tetapi juga deret digit tak terhingganya tidak memiliki periode perulangan. Beberapa digit pertama representasi duodesimal dasar dari beberapa bilangan irasional terpenting diberikan di bawah ini:

bilangan irasional	dalam basis desimal	dalam basis duodecimal
π (pi, the ratio of lingkaran to diameter atau garis tengah)	3.141592653589793238462643… (~ 3.1416)	3.184809493B918664573A6211… (~ 3.1848)
e (dasar dari basisnya logaritma natural atau natural)	2.718281828459… (~ 2.718)	2.875236069821… (~ 2.875)
φ (fi, the golden number or golden ratio )	1.618033988749… (~ 1.618)	1.74BB67728022… (~1.75)
√2 (the length of the diagonal of a unit square )	1.414213562373… (~ 1.414)	1.4B79170A07B7…(~1.4B8)
√3 (the length of the diagonal of a unit cube , or twice the height of an equilateral triangle )	1.732050807568… (~ 1.732)	1,894B97BB967B… (~ 1,895)
√5 (the length of the diagonal of a 1×2 rectangle )	2,236067977499… (~ 2,236)	2.29BB13254051…(~2.2A)

Digit pertama dalam basis duodesimal dari angka penting lainnya, konstanta Euler-Mascheroni, tetapi saat ini tidak diketahui apakah rasional atau irasional:

Number	in decimal base	in duodecimal base
γ (the limiting difference between the harmonic series and the natural logarithm)	0.577215664901… (~ 0.577)	0.6B15188A6758… (~0.7)

Sumber bacaan: CleverlySmart, MathIsFun

Bilangan Duodesimal (Berbasis 12) | Contoh soal dan jawaban

Bilangan Duodesimal

Contoh Bilangan Duodesimal

Bilangan prima

Tabel perkalian dalam sistem duodesimal atau basis 12 adalah sebagai berikut:

Contoh operasi aritmatika

Pecahan dan bilangan irasional

Digit pertama dalam basis duodesimal dari angka penting lainnya, konstanta Euler-Mascheroni, tetapi saat ini tidak diketahui apakah rasional atau irasional:

Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Heuristik Matematika adalah metode komputasi yang cepat memberikan solusi

Panjang keliling Bumi | Berapa Panjanganya? Siapa Yang Menghitung…

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A	20
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47	50
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65	70
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92	A0
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1	B0
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	100

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A	20
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47	50
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65	70
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92	A0
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1	B0
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	100

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A	20
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47	50
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65	70
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92	A0
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1	B0
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	100