fbpx

Rumus Logaritma Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

 

Rumus Logaritma

ac = b → ª log b = c

a = basis
b = bilangan yang dilogaritma
c = hasil logaritma

Logaritma

Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda. merah adalah terhadap basis e, hijau adalah terhadap basis 10, dan ungu adalah terhadap basis 1.7. Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik (1,0)

 

Sifat Logaritma

ª log a = 1
ª log 1 = 0
ª log aⁿ = n
ª log bⁿ = n • ª log b
ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b
ª log b = 1 ÷ b log a
ª log b • b log c • c log d = ª log d
ª log b = c log b ÷ c log a

 

Penghitungan nilai logaritma

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

{\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}\qquad {\mbox{ atau }}\qquad \log _{b}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(b)}}}

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

 

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma:

 

Penghitungan dengan angka Penghitungan dengan eksponen Identitas Logaritma
{\displaystyle \!\,ab} {\displaystyle \!\,A+B} {\displaystyle \!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)}
{\displaystyle \!{\frac {a}{b}}} {\displaystyle \!\,A-B} {\displaystyle \!\,\log({\frac {a}{b}})=\log(a)-\log(b)}
{\displaystyle \!\,a^{b}} {\displaystyle \!\,Ab} {\displaystyle \!\,\log(a^{b})=b\log(a)}
{\displaystyle \!\,{\sqrt[{b}]{a}}} {\displaystyle \!\,{\frac {A}{b}}} {\displaystyle \!\,\log({\sqrt[{b}]{a}})={\frac {\log(a)}{b}}}

Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

 


 

Logaritma alami

Adalah logaritma yang berbasis e, di mana e adalah 2,718281828459… (dan seterusnya). Logaritma alami terdefinisikan untuk semua bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0.

  • Ahli matematika biasanya menggunakan “ln(x)” atau “log(x)” untuk menotasikan loge(x), atau logaritma alami dari x, dan menggunakan “log10(x)” untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.
  • Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya menggunakan “ln(x)” atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas) “loge(x)” untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan “log(x)” digunakan untuk logaritma berbasis 10, log10(x) atau, dalam konteks teknik komputer, log2(x).
  • Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC, “log” atau “LOG” berarti logaritma alami.
  • Pada kalkulator, tombol ln berarti logaritma alami, sedangkan tombol log adalah untuk logaritma berbasis 10

 

Secara formal, ln(a) dapat didefinisikan sebagai luas di bawah grafik (integral) dari 1/x dihitung dari 1 ke a, atau,

{\displaystyle \ ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}

Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental logaritma, yaitu:

{\displaystyle \ ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!}

Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan {\displaystyle \phi (t)=at}{\displaystyle \phi (t)=at} dan dengan menggunakan rumus substitusi:

{\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)}

Bilangan e, selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real yang unik a di mana {\displaystyle \ln(a)=1}{\displaystyle \ln(a)=1}.

 

Ln sebagai invers fungsi eksponensial alami

Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial:

{\displaystyle \ e^{\ln(x)}=x\,\!}      untuk semua x yang positif dan
{\displaystyle \ ln(e^{x})=x\,\!}      untuk semua x yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

 

Grafik algoritma alami

Grafik algoritma alami.

 


 

Logaritma biner

Logaritma biner (bahasa Inggris: binary logarithm) dalam matematika adalah , adalah logaritma dengan basis 2, yang biasanya dilambangkan dengan log2 n atau 2log n. Merupakan fungsi invers dari fungsi kuadrat atau fungsi pangkat dua. Logaritme biner nadalah kepangkatan bilangan dua untuk mendapatkan nilai  n. Jadi:
{\displaystyle x=\log _{2}n\quad \Longleftrightarrow \quad 2^{x}=n.}

Misalnya:

  • logaritme biner 1 adalah 0
  • logaritme biner 2 adalah 1
  • logaritme biner 4 adalah 2
  • logaritme biner 8 adalah 3
  • logaritme biner 16 adalah 4
  • logaritme biner 32 adalah  5

dan seterusnya

Logaritma biner terkait erat dengan “Sistem bilangan biner”. Dalam sejarahnya, aplikasi pertama logaritme biner adalah dalam teori musik, oleh Leonhard Euler. Bidang lain yang sering menggunakan logaritme biner termasuk teori informasi, combinatorics, computer science, bioinformatika, desain turnamen olahraga, dan fotografi.

Suatu cara mudah untuk menghitung 2log (n) pada kalkulator yang tidak mempunyai fungsi log2 adalah menggunakan fungsi logaritma natural (ln) atau logaritma umum (log), yang biasanya ada pada kebanyakan scientific calculator. Rumus perubahan basis logaritma adalah:[15][16]

{\displaystyle \log _{2}n={\frac {\ln n}{\ln 2}}={\frac {\log _{10}n}{\log _{10}2}},}

or approximately

{\displaystyle \log _{2}n\approx 1.442695\ln n\approx 3.321928\log _{10}n.}

 

Logaritma biner

Kurva log2 n

 


 

Contoh Soal dan Jawaban Logaritma

1. Jika log 2 = a
maka log 5 adalah…

Jawaban:

log 5 = log (10/2) = log 10 – log 2 = 1 – a (karena log 2 = a)

 

2. Sederhanakan bentuk berikut: 3 log 5 + log 8 – log 40

Jawaban:

= log 53 + log 8 – log 40
= log 125 + log 8 – log 40
= log
= log 25
= log 52 = 2 log 5

 

3. Nyatakan bentuk eksponen berikut dalam notasi logaritma 32 = 9

Jawaban:

32 = 9  3log 9 = 2

 

4. Nilai dari √5 log 625 adalah…

Jawaban:

5 log 625
(√5)x = 625
(√5)8 = 625
X = 8

 

5. Sederhanakan bentuk berikut: Log 7 + log 2 + log 1/40 + log 1/7

Jawaban:

= log (7 x 2 x 1/10 x 1/7)
= log 1/5
= log 1 – log 5
= log 100 – log 5
= 0 – log 5
= – log 5

 

6. Nilai dari √15 + √60 – √27 = …

Jawaban:

√15 + √60 – √27
= √15 + √(4×15) – √(9×3)
= √15 + 2√15 – 3√3
= 3√15 – 3√3
= 3(√15 – √3)

 

7. Log 9 per log 27 =…

Jawaban:

log 9 / log 27
= log 3² / log 3³
= (2. log 3) / (3 . log 3) <– ingat sifat log a^n = n. log a
= 2/3

 

8. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, maka log 600 =…

Jawaban:

Diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771
Log 600 = log 2.3.100
= log 2 + log 3 + log 100
= 0,3010 + 0,4771 + 2 = 2,7781

 

9. Jika  2log 3 = a dan  3log 5 = b, maka  15log 20 =…

Jawaban:

15log 20 = 15log 3 .  3log 20 = 3log 20 / 3log 15,
kita pisah jadi 2 untuk memudahkan mengerjakan
–> 3log 20 = 3log 4 + 3log 5 = 2. 3log 2 + 3log 5
–> karena 2log 3 = a maka 3log 2 = 1/a
–> 2/a + b = (2+ab)/a ……. (1)–> 3log 15 = 3log 3 + 3log 5 = 1+b ……. (2)jadi hasilnya = (2+ab)/a : (1+b) = 2a+ab/ a (1+b)

 

10. Jika log 2 = 0,301 dan log 3 = 0,477 maka nilai dari log 225 ?

Pembahasan= 1/3 log 225 = 1/3 log  152 = 2/3 log 15 = 2/3 (log 3 + log 5 )
log 3 sudah diketahui, sekarang bagaimanan dengan log 5 ? .
log 5 bisa didapat dari log 10/2 = log 10 – log 2
= 2/3 (log 3 +  log 10 – log 2)
= 2/3 . (0.477 + 1 – 0,301)
= 2/3 . 1,176
= 0,784

 

11. Persamaan kuadrat 2×2-px+1=0 dengan p>0,mempunyai akar-akar a dan b ,jika x2-5x+q=0 mempunyai akar-akar 1/a2 dan 1/b2 maka p-q=…

pada persamaan 2×2-px+1=0 –> a = 2 b = -p c = 1
a + b = -b/a = p/2 …(1)
a.b = c/a = 1/2 …(2)

pada persamaan
x2-5x+q=0 –> a = 1 b= -5 c = q
1/a2 + 1/b2 =  5/1 = 5 …(3)
1/a2 . 1/b2 = q…(4)
sekarang kita punya 4 persamaan

1/a2 + 1/b2 =  5
a2 + b2 /(ab)2 = 5
(a+b)2 – 2ab / (ab)2 = 5 (kita masukkan persamaan 1 dan 2)
(p/2)2 – 2.(1/2) / (1/2)2 = 5
(P2/4 – 1) 4 = 5
P2 – 4 = 5
p2 = 9
p = 3 atau -3

1/a2 . 1/b2 = q (kita masukkan persamaan 2)
1/(ab)2 = q
1/(1/2)2 = q
q = 4

Jadi p-q
bisa 3 – 4 = -1
atau
-3 -4 = -7

 

12. Jika diketahui 2log 3 = x dan 2log 5 = y, maka 2log 45 √15 sama dengan…

Jawaban:

2log 45√(15)= 2log 32.5.(3.5)1/2
2log 32.5.31/2.51/2
2log 35/2 + 2log 53/2
= (5/2) 2log 3 + (3/2)2log 5
= ½(5x + 3y)

 

13. Jika 3log 5 = 1,465 dan 3log 7 = 1,771, maka 3log 105 adalah…

Jawaban:

3log5 = 1,465 dan 3log7 = 1,771, maka:
3log105 = 3log3.5.7
=3log3 + 3log5 +3log7
= 1 + 1,465 + 1,771
=4,236

 

14. Nilai dari √5 -3 per √5 +3 =…

Jawaban:

(√5 – 3)/(√5 + 3)
= (√5 – 3)/(√5 + 3) x (√5 – 3)/(√5 – 3) <– kali akar sekawan
= (√5 – 3)²/(5 – 9)
= -1/4 (5 – 6√5 + 9)
= -1/4 (14 – 6√5)
= -7/2 + 3/2√5
= (3√5 – 7)/2

 

15. Jika a log 3 = -0,3 tunjukkan bahwa a = 1/81 3√9

Jawaban:

ª log 3 = -0,3
log 3/log a = -0.3
log a = -(10/3)log 3
log a = log [3^(-10/3)]
a = 3^(-10/3) = 3^(-4) (3²)^(⅓ )
a= 1/81 3√9

 

16. Nilai dari 3log 6 + 2. 3log 2 adalah…

Jawaban:

3log 6 + 2. 3log 2
3log + 2. 3 log3
3log 3 + 2 . 1
= 1 + 2
= 3

 

17. Log (3a – √2) dengan basis 1/2. Tentukan nilai a!

Jawaban:

[log (3a – √2)]/log(0.5) = -0.5
log (3a – √2) = -0.5 log 0.5 = log (1/√½)
3a – √2 = 1/√½
a = (2/3) √2

18. Jika diketahui log x = a dan log y = b, maka log log1 ….

Jawaban:

log  log1log 10x3 – log y2
= log 10 + 3 log x – 2log y
= 1 + 3a – 2b

 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Math Insight

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2018-07-05T19:04:40+07:00 Juli 5th, 2018|Matematika|0 Comments

Leave A Comment