Pangkat Eksponen

Eksponensiasi (atau pangkat eksponen) adalah sebuah operasi matematika, ditulis sebagai bⁿ, melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok b dan eksponenatau pangkat n. Ketika n adalah bilangan bulat positif, eksponensiasi adalah perkalian berulang dari basis: yaitu, bⁿ adalah produk dari mengalikan basis n:

b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}

Dalam kasus itu, bⁿ disebut pangkat n dari b, atau b dipangkatkan n.

Eksponensiasi digunakan secara luas di berbagai bidang, termasuk ekonomi, biologi, kimia, fisika, dan ilmu komputer, dengan aplikasi seperti bunga berbunga, pertumbuhan penduduk, kinetika kimia, perilaku gelombang, dan kriptografi kunci publik.

an = a x a x a x ….. x a (a sejumlah n faktor)
contoh : 3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

Pangkat Eksponen nol

Jika a ≠ 0 maka a⁰ = 1
contoh
2⁰ =1
3⁰ =1
128384⁰ =1
x⁰ =1

Pangkat Eksponen negatif dan pecahan

Jika m dan n adalah bilangan bulat positif maka
(i) a^-n = 1/aⁿ
contoh
2^-3= 1/2³ = 1/8
(ii) a^1/n = ⁿ√a
contoh
2^1/2 = √2
2^1/3 = ³√2

Bentuk Persamaan Eksponen

1. a^f(x)= 1 ( Jika a^f(x)= 1 dengan a>0 dan a ≠0, maka f(x) = 0 )
2. a^f(x)= a^p ( Jika a^f(x)= a^p dengan a>0 dan a ≠0, maka f(x) = p )
3. a^f(x)= a^g(x)( Jika a^f(x)= a^g(x) dengan a>0 dan a ≠0, maka f(x) = g(x) )
4. a^f(x)= b^f(x)( Jika a^f(x)= b^f(x) dengan a>0 dan a ≠1, b>0 dan b ≠1, dan a≠b maka f(x) = 0 )
5. A(a^f(x))² + B(a^f(x)) + C = 0 ( Dengan a^f(x) = p, maka bentuk persamaan diatas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat : Ap² + Bp + C = 0 )

Latar Belakang Ekpresi Pangkat Eksponen

Ekspresi b² = b·b disebut square dari b karena area suatu bujursangkar dengan panjang sisi b adalah b². Diucapkan “b kuadrat” atau “b pangkat dua” (bahasa Inggris: b squared).

Ekspresi b³ = b·b·b disebut cube dari b karena volume suatu kubus dengan panjang sisi b adalah b³. Diucapkan “b pangkat tiga” (bahasa Inggris: b cubed).

Eksponen menyatakan berapa banyak salinan dari basis yang dilipatgandakan atau dikalikan bersama-sama.

Misalnya, 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243. Basis 3 muncul 5 kali dalam perkalian berulang, karena eksponennya adalah 5. Di sini, 3 adalah basis, 5 adalah eksponen, dan 243 adalah (hasil) pangkat atau, lebih spesifik, pangkat lima dari 3, 3 dipangkatkan lima atau 3 pangkat lima (bahasa Inggris: 3 to the power of 5).

Kata “dipangkatkan” biasanya disingkat hanya menjadi “pangkat”, sehingga 3⁵ biasanya diucapkan “tiga pangkat lima” (bahasa Inggris: three to the fifth atau three to the five). Eksponensiasi bⁿ dapat dibaca b dipangkatkan n kali, atau b dipangkatkan n, atau b dipangkatkan dengan eksponen n, atau singkatnya b pangkat n (bahasa Inggris: b to the n).

Eksponensiasi dapat digeneralisasi dari eksponen integer ke jenis-jenis umum bilangan lainnya.
Kata “eksponen” (exponent) diperkenalkan pada tahun 1544 oleh Michael Stifel.
Notasi eksponensiasi modern diperkenalkan oleh René Descartes dalam karyanya Géométrie pada tahun 1637.

Pangkat Eksponen integer

Bilangan $x$ disebut bilangan pokok, dan bilangan $y$ disebut eksponen. Sebagai contoh, pada $2^3$ , 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung $2^3$ seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Hasilnya adalah $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

$5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
$x^{2}=x\cdot {}x$
$1^{x}=1$ untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan $a^{2}$ . Sehingga

x^{2}

adalah persegi dari

x

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan $a^{3}$ . Sehingga

x^{3}

adalah kubik

x

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung invers bilangan pokok. Sehingga: $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

2^{-3}=({\frac {1}{2}})^{3}={\frac {1}{8}}

Jika eksponen sama dengan ${\frac {1}{2}}$ hasilnya adalah akar persegi (akar kuadrat) bilangan pokok. Sehingga $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Contoh:

4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2

Dengan cara yang sama, jika eksponen ${\frac {1}{n}}$ hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}

Jika eksponen merupakan bilangan rasional ${\frac {p}{q}}$ , hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional (x_i), yang limitnya adalah x:

x=\lim _{n\to \infty }x_{n}

seperti ini: $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

$\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
$a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
$\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
$a^{0}=1,\quad a\neq 0$ : Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

Ekponen matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh: $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Daftar eksponensial bilangan bulat

n	n²	n³	n⁴	n⁵	n⁶	n⁷	n⁸	n⁹	n¹⁰
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1,024
3	9	27	81	243	729	2,187	6,561	19,683	59,049
4	16	64	256	1,024	4,096	16,384	65,536	262,144	1,048,576
5	25	125	625	3,125	15,625	78,125	390,625	1,953,125	9,765,625
6	36	216	1,296	7,776	46,656	279,936	1,679,616	10,077,696	60,466,176
7	49	343	2,401	16,807	117,649	823,543	5,764,801	40,353,607	282,475,249
8	64	512	4,096	32,768	262,144	2,097,152	16,777,216	134,217,728	1,073,741,824
9	81	729	6,561	59,049	531,441	4,782,969	43,046,721	387,420,489	3,486,784,401
10	100	1,000	10,000	100,000	1,000,000	10,000,000	100,000,000	1,000,000,000	10,000,000,000

Contoh Soal dan Jawaban Pangkat Exponen

Contoh Soal Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk a^f(x) = 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

- 3 ^5x-10= 1

2 ^2x²+3x-5= 1

Jawaban:

3 ^5x-10 = 1

3 ^5x-10 = 3⁰5x-10 = 0
5x = 10
x = 2

2 ^2x²+3x-5= 1

2 ^2x²+3x-5 = 2⁰2x²+2x-5 = 0
(2x+5) (x-1) = 0
2x+5 = 0 | x-1 = 0
X = -²⁄₅ | x = 1

Contoh Soal Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk a^f(x)= a^p

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

- 5 ^2x-1= 625

- 2 ^2x-7= ⅓₂

√3^3x-10= ½₇√3

Jawaban:

5 ^2x-1= 625

5 ^2x-1 = 5⁴2x-1 = 4
2x = 4+1
2x = 5
x= 5/2

Alternatif: x= 2 ½, x= 2,5

2 ^2x-7= ⅓₂

2 ^2x-7 = 2^-52x-7 = -5
2x = 2
x = 1

√3^3x-10= ½₇√3

3^3x-10⁄2 = 3^-3.3^½3^3x-10⁄2 = 3^-⁵⁄₂3x-10⁄2 = -⁵⁄₂
3x-10     = -5
3x           = 5
x             = ⁵⁄₃

Contoh Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk a^f(x)= a^g(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

- 9 ^x²+x= 27 ^x²-1

25 ^x+2= (0,2) ^1-x

Jawaban:

9 ^x²+x= 27 ^x²-1

3 ^2(x²+x) = 3 ^3(x²-1)

2 (x²+x) = 3 (x²-1)

2x² + 2x = 3x² – 3

x² – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x = 3 x = -1 Jadi HP = { –1,3 }

25 ^x+2= (0,2) ^1-x

5^2(x+2) = 5 ^-1(1-x)

2x + 4 = -1 + x

2x – x = -1 – 4

x = -5 Jadi HP = { -5 }

Contoh Persamaan Eksponen Bentuk A(a^f(x))²+ B(a^f(x)) + C

Tentukan himpunan penyelesaian dari: 2^2x– 2^x+3 + 16 = 0

Jawaban:

2^2x– 2^x+3 + 16 = 0
2^2x – 2^x.2³ + 16 = 0

Misalkan 2^x = p, maka persamaannya menjadi

P² – 8p + 16 = 0
(p-4) p-4) = 0
p = 4

Untuk p = 4, jadi

2^x = 4
2^x = 2²x = 2
Jadi HP = { 2 }

Contoh Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk a^f(x)= b^f(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

- 6 ^x-3= 9 ^x-3

7^x²-5x+6= 8^x²-5x+6

Jawaban:

6 ^x-3= 9 ^x-3

x-3 = 0
x = 3
Jadi HP = { 3 }

7^x²-5x+6= 8^x²-5x+6

x²-5x+6 = 0
(x-6) (x+1) = 0
x = 6 x = -1
Jadi HP = { -1,6 }

Jika x₁.x₂ adalah akar-akar 25^2x – 5^2x+1 – 2.5^2x+3 + a = 0 dimana x₁ + x₂ = 2.⁵log 2, maka a =

$\displaystyle \begin{aligned} 25^{2x}-5^{2x+1}-2\cdot 5^{2x+3}+a&=0\\ (25^x)^2-5\cdot 25^x -2\cdot 125\cdot 25^x + a &=0\\ (25^x)^2-255\cdot 25^x+a&=0 \end{aligned}$

Persamaan terakhir bisa diperlakukan seperti persamaan kuadrat dimana 25^x₁ dan 25^x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Diketahui dari soal x₁+x₂ = 2.⁵log 2 → x₁+x₂ = ⁵log 4.

$\displaystyle \begin{aligned} 25^{x_1}\cdot 25^{x_2} &= a\\ 25^{x_1+x_2}&=a\\ 25^{\;^5\!\log 4} &= a\\ \left(5\;^{^5\log 4}\right)^2&=a\\ 4^2&=a\\ \therefore \:a&=16 \end{aligned}$

catatan:
Jika x₁ dan x_{2 adalah akar-akar dari ax² + bx + c = 0}

$\boxed{~a^m\cdot a^n = a^{m+n}~}$

$\boxed{~(a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}~}$

$\boxed{~a^{^a\!\log b}=b~}$

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Rapid Tables, Purple Math

Pangkat Eksponen – Integer – Daftar eksponensial bilangan bulat dan contoh soal dan jawaban

Pangkat Eksponen

Pangkat Eksponen nol

Pangkat Eksponen negatif dan pecahan

Bentuk Persamaan Eksponen

Latar Belakang Ekpresi Pangkat Eksponen

Pangkat Eksponen integer

Daftar eksponensial bilangan bulat

Contoh Soal dan Jawaban Pangkat Exponen

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

3 ^5x-10= 1

2 ^2x²+3x-5= 1

Contoh Soal Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk a^f(x)= a^p

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

5 ^2x-1= 625

2 ^2x-7= ⅓₂

√3^3x-10= ½₇√3

Contoh Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk a^f(x)= a^g(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

9 ^x²+x= 27 ^x²-1

25 ^x+2= (0,2) ^1-x

Contoh Persamaan Eksponen Bentuk A(a^f(x))²+ B(a^f(x)) + C

Tentukan himpunan penyelesaian dari: 2^2x– 2^x+3 + 16 = 0

Contoh Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk a^f(x)= b^f(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

6 ^x-3= 9 ^x-3

7^x²-5x+6= 8^x²-5x+6

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Nilai Pi 1 juta digit pertama | Analisis dan…

Menghitung Dimensi Balok dari Luas Jaring-Jaringnya

Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Pangkat Eksponen – Integer – Daftar eksponensial bilangan bulat dan contoh soal dan jawaban

Pangkat Eksponen

Pangkat Eksponen nol

Pangkat Eksponen negatif dan pecahan

Bentuk Persamaan Eksponen

Latar Belakang Ekpresi Pangkat Eksponen

Pangkat Eksponen integer

Daftar eksponensial bilangan bulat

Contoh Soal dan Jawaban Pangkat Exponen

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

3 5x-10= 1

2 2x²+3x-5= 1

Contoh Soal Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk af(x)= ap

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

5 2x-1= 625

2 2x-7= ⅓₂

√33x-10= ½₇√3

Contoh Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk af(x)= ag(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

9 x²+x= 27 x²-1

25 x+2= (0,2) 1-x

Contoh Persamaan Eksponen Bentuk A(af(x))2+ B(af(x)) + C

Tentukan himpunan penyelesaian dari: 22x– 2x+3 + 16 = 0

Contoh Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk af(x)= bf(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

6 x-3= 9 x-3

7x²-5x+6= 8x²-5x+6

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Nilai Pi 1 juta digit pertama | Analisis dan…

Menghitung Dimensi Balok dari Luas Jaring-Jaringnya

Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

3 ^5x-10= 1

2 ^2x²+3x-5= 1

Contoh Soal Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk a^f(x)= a^p

5 ^2x-1= 625

2 ^2x-7= ⅓₂

√3^3x-10= ½₇√3

Contoh Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk a^f(x)= a^g(x)

9 ^x²+x= 27 ^x²-1

25 ^x+2= (0,2) ^1-x

Contoh Persamaan Eksponen Bentuk A(a^f(x))²+ B(a^f(x)) + C

Tentukan himpunan penyelesaian dari: 2^2x– 2^x+3 + 16 = 0

Contoh Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk a^f(x)= b^f(x)

6 ^x-3= 9 ^x-3

7^x²-5x+6= 8^x²-5x+6