Pangkat Eksponen – Integer – Daftar eksponensial bilangan bulat dan contoh soal dan jawaban

4 min read

Pangkat eksponen

Pangkat Eksponen

Eksponensiasi (atau pangkat eksponen) adalah sebuah operasi matematika, ditulis sebagai bn, melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok b dan eksponenatau pangkat n. Ketika n adalah bilangan bulat positif, eksponensiasi adalah perkalian berulang dari basis: yaitu, bn adalah produk dari mengalikan basis n:

{\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}

Dalam kasus itu, bn disebut pangkat n dari b, atau b dipangkatkan n.

Eksponensiasi digunakan secara luas di berbagai bidang, termasuk ekonomi, biologi, kimia, fisika, dan ilmu komputer, dengan aplikasi seperti bunga berbunga, pertumbuhan penduduk, kinetika kimia, perilaku gelombang, dan kriptografi kunci publik.

an = a x a x a x ….. x a (a sejumlah n faktor)

contoh : 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

Pangkat eksponen
Grafik dari y = bx untuk beberapa basis b: basis 10 (hijau), basis e (merah), basis 2 (biru), dan basis
1
2
(cyan). Setiap kurva melalui titik (0, 1) karena setiap bilangan bukan nol dipangkatkan 0 adalah 1. Pada x = 1, nilai y sama dengan basis karena setiap bilangan dipangkatkan 1 adalah bilangan itu sendiri.

Pangkat Eksponen nol

Jika a ≠ 0 maka a0 = 1
contoh
20 =1
30 =1
1283840 =1
x0 =1

Pangkat Eksponen negatif dan pecahan

Jika m dan n adalah bilangan bulat positif maka
(i) a-n = 1/an
contoh
2-3 = 1/23 = 1/8
(ii) a1/n = n√a
contoh
21/2 = √2
21/3 = 3√2

Bentuk Persamaan Eksponen

1. af(x) = 1  ( Jika af(x) = 1 dengan a>0 dan a 0, maka f(x) = 0 )
2. af(x) = ap  ( Jika af(x) = ap  dengan a>0 dan a 0, maka f(x) = p )
3. af(x) = ag(x)  Jika af(x) = ag(x)  dengan a>0 dan a 0, maka f(x) = g(x) )
4. af(x) = bf(x)  Jika af(x) = bf(x)  dengan a>0 dan a 1, b>0 dan b 1, dan ab maka f(x) = 0 )
5. A(af(x))2 + B(af(x)) + C = 0 ( Dengan af(x) = p, maka bentuk persamaan diatas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat : Ap2 + Bp + C = 0 )


Latar Belakang Ekpresi Pangkat Eksponen

Ekspresi b2 = b·b disebut square dari b karena area suatu bujursangkar dengan panjang sisi b adalah b2. Diucapkan “b kuadrat” atau “b pangkat dua” (bahasa Inggris: b squared).

Ekspresi b3 = b·b·b disebut cube dari b karena volume suatu kubus dengan panjang sisi b adalah b3. Diucapkan “b pangkat tiga” (bahasa Inggris: b cubed).

Eksponen menyatakan berapa banyak salinan dari basis yang dilipatgandakan atau dikalikan bersama-sama.

Misalnya, 35 = 3·3·3·3·3 = 243. Basis 3 muncul 5 kali dalam perkalian berulang, karena eksponennya adalah 5. Di sini, 3 adalah basis, 5 adalah eksponen, dan 243 adalah (hasil) pangkat atau, lebih spesifik, pangkat lima dari 33 dipangkatkan lima atau 3 pangkat lima (bahasa Inggris: 3 to the power of 5).

Kata “dipangkatkan” biasanya disingkat hanya menjadi “pangkat”, sehingga 35 biasanya diucapkan “tiga pangkat lima” (bahasa Inggris: three to the fifth atau three to the five). Eksponensiasi bn dapat dibaca b dipangkatkan n kali, atau b dipangkatkan n, atau b dipangkatkan dengan eksponen n, atau singkatnya b pangkat n (bahasa Inggris: b to the n).

Eksponensiasi dapat digeneralisasi dari eksponen integer ke jenis-jenis umum bilangan lainnya.
Kata “eksponen” (exponent) diperkenalkan pada tahun 1544 oleh Michael Stifel.
Notasi eksponensiasi modern diperkenalkan oleh René Descartes dalam karyanya Géométrie pada tahun 1637.


Pangkat Eksponen integer

Bilangan {\displaystyle x} disebut bilangan pokok, dan bilangan {\displaystyle y} disebut eksponen. Sebagai contoh, pada 2^3, 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung 2^3 seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}. Hasilnya adalah {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8}. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

  • {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
  • {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
  • {\displaystyle 1^{x}=1} untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan {\displaystyle a^{2}}. Sehingga

{\displaystyle x^{2}} adalah persegi dari {\displaystyle x}

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan {\displaystyle a^{3}}. Sehingga

{\displaystyle x^{3}} adalah kubik }{\displaystyle x}

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung invers bilangan pokok. Sehingga: {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

{\displaystyle 2^{-3}=({\frac {1}{2}})^{3}={\frac {1}{8}}}

Jika eksponen sama dengan {\displaystyle {\frac {1}{2}}} hasilnya adalah akar persegi (akar kuadrat) bilangan pokok. Sehingga {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.} Contoh:

{\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

Dengan cara yang sama, jika eksponen {\displaystyle {\frac {1}{n}}} hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

Jika eksponen merupakan bilangan rasional  {\displaystyle {\frac {p}{q}}}, hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

{\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional (xi), yang limitnya adalah x:

{\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

seperti ini: {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

  • {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
  • {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
  • {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
  • {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
  • {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
  • {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
  • {\displaystyle a^{0}=1,\quad a\neq 0}: Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

Ekponen matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh: {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I}.


Daftar eksponensial bilangan bulat

nn2n3n4n5n6n7n8n9n10
2481632641282565121,024
3927812437292,1876,56119,68359,049
416642561,0244,09616,38465,536262,1441,048,576
5251256253,12515,62578,125390,6251,953,1259,765,625
6362161,2967,77646,656279,9361,679,61610,077,69660,466,176
7493432,40116,807117,649823,5435,764,80140,353,607282,475,249
8645124,09632,768262,1442,097,15216,777,216134,217,7281,073,741,824
9817296,56159,049531,4414,782,96943,046,721387,420,4893,486,784,401
101001,00010,000100,0001,000,00010,000,000100,000,0001,000,000,00010,000,000,000

Contoh Soal dan Jawaban Pangkat Exponen

Contoh Soal Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk af(x) = 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

    • 5x-10= 1

  • 2x²+3x-5= 1

Jawaban:

  • 5x-10 = 1

5x-10  = 30
5x-10 = 0
5x      = 10
x        = 2

  • 2x²+3x-5= 1

2x²+3x-5 = 20
2x2+2x-5 = 0
(2x+5) (x-1) = 0
2x+5 = 0  |    x-1 = 0
X = -²⁄₅     |    x = 1

Contoh Soal Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk af(x)= ap

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

    • 2x-1= 625

    • 2x-7= ⅓₂

  • √33x-10= ½₇√3

Jawaban:

  • 2x-1= 625

2x-1 = 54
2x-1 = 4
2x    = 4+1
2x      = 5
x= 5/2

Alternatif: x= 2 ½, x= 2,5

  • 2x-7= ⅓₂

2x-7 = 2-5
2x-7 = -5
2x    = 2
x      = 1

  • √33x-10= ½₇√3

33x-10⁄2 = 3-3.3½
33x-10⁄2 = 3-⁵⁄₂
3x-10⁄2 = -⁵⁄₂
3x-10     = -5
3x           = 5
x             = ⁵⁄₃

Contoh Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk af(x)= ag(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

    • x²+x= 27 x²-1

  • 25 x+2= (0,2) 1-x

Jawaban:

  • x²+x= 27 x²-1

2(x²+x) = 3 3(x²-1)

2 (x2+x) = 3 (x2-1)

2x2 + 2x = 3x2 – 3

x2 – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x = 3           x = -1       Jadi HP = { –1,3 }

  • 25 x+2= (0,2) 1-x

52(x+2) = 5 -1(1-x)

2x + 4 = -1 + x

2x – x = -1 – 4

x         = -5              Jadi HP = { -5 }

Contoh Persamaan Eksponen Bentuk A(af(x))2+ B(af(x)) + C

Tentukan himpunan penyelesaian dari: 22x– 2x+3 + 16 = 0

Jawaban:

22x– 2x+3 + 16 = 0
22x – 2x.23 + 16 = 0

Misalkan 2x = p, maka persamaannya menjadi

P2 – 8p + 16 = 0
(p-4) p-4)     = 0
p                   = 4

Untuk p = 4, jadi

2x = 4
2x = 22
x   = 2
Jadi HP = { 2 }

Contoh Persamaan Pangkat Eksponen Bentuk af(x)= bf(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

    • x-3= 9 x-3

  • 7x²-5x+6= 8x²-5x+6

Jawaban:

  • x-3= 9 x-3

x-3  = 0
x   = 3
Jadi HP = { 3 }

  • 7x²-5x+6= 8x²-5x+6

x²-5x+6 = 0
(x-6) (x+1) = 0
x = 6      x = -1
Jadi HP = { -1,6 }

  • Jika x1.x2 adalah akar-akar 252x – 52x+1 – 2.52x+3 + a = 0 dimana x1 + x2 = 2.5log 2, maka a =
\displaystyle \begin{aligned} 25^{2x}-5^{2x+1}-2\cdot 5^{2x+3}+a&=0\\ (25^x)^2-5\cdot 25^x -2\cdot 125\cdot 25^x + a &=0\\ (25^x)^2-255\cdot 25^x+a&=0 \end{aligned}

Persamaan terakhir bisa diperlakukan seperti persamaan kuadrat dimana 25x1 dan 25x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Diketahui dari soal x1+x2 = 2.5log 2 → x1+x2 = 5log 4.

\displaystyle \begin{aligned} 25^{x_1}\cdot 25^{x_2} &= a\\ 25^{x_1+x_2}&=a\\ 25^{\;^5\!\log 4} &= a\\ \left(5\;^{^5\log 4}\right)^2&=a\\ 4^2&=a\\ \therefore \:a&=16 \end{aligned}

catatan:
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari ax2 + bx + c = 0
\boxed{~\begin{array}{l}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}\end{array}~}

\boxed{~a^m\cdot a^n = a^{m+n}~}

\boxed{~(a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}~}

\boxed{~a^{^a\!\log b}=b~}

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Rapid TablesPurple Math

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing

Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Matematika adalah alat penting dalam berbagai aspek kehidupan kita, mulai dari keuangan pribadi hingga usaha profesional. Memahami dan menerapkan perhitungan matematis dapat secara signifikan...
PinterPandai
5 min read

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *