PinterPandai PinterPandai adalah seorang penulis dan fotografer untuk sebuah blog bernama www.pinterpandai.com Mereka memiliki artikel tentang segalanya! Sains, hewan, bioskop / sinema, musik, artis, kesehatan, sejarah, olahraga, memasak, matematika, fisika, kimia, biologi, agama, geografi, dll. Selamat menikmati!===PinterPandai is a a writer and photographer for a blog called www.pinterpandai.com They have articles on everything! Science, animals, cinema, music, people, health, history, sport, cooking, math, physics, chemistry, biology, religions, geography, etc. Enjoy!

Teorema Binomial (Aljabar) | Binomial Newton

4 min read

Teorema binomial

Teorema Binomial

Binomial Newton adalah rumus matematika yang diberikan oleh Isaac Newton untuk menemukan perluasan pangkat bilangan bulat dari binomial. Ini juga disebut rumus binomial Newton, atau lebih sederhananya rumus teorema binomial.

Rumus binomial Newton adalah sebagai berikut: Untuk semua (a,b)∈K2 (dengan K himpunan real atau kompleks) dan untuk semua n∈N: (a+b)n=n∑k=0 (nk)akbn− k.

Bagaimana cara menghitung binomial Newton?

Jika a = b = 1, rumus binomial menjadi… ekspresi dari pangkat 2 (karena koefisien hanya dikalikan dengan 1). Kami juga memeriksanya di segitiga yang sangat ajaib ini. Ambil contoh n = 6 dan tambahkan nilai garisnya: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26.

Dalam Aljabar, ekspresi binomial berisi dua istilah yang digabungkan dengan tanda penjumlahan atau pengurangan. Misalnya, (x + y) dan (2 – x) adalah contoh ekspresi binomial.

Terkadang, kita mungkin perlu memperluas ekspresi binomial seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Anda menyadari bahwa memperluas ekspresi binomial dengan perkalian langsung seperti yang ditunjukkan di atas cukup rumit dan tidak dapat diterapkan untuk eksponen yang lebih besar.

Pada artikel ini, kita akan belajar bagaimana menggunakan teorema Binomial untuk memperluas ekspresi binomial tanpa harus mengalikan semuanya.

Baca juga: Teori Kategori (Matematika) | Pengertian, Penjelasan dan Contoh

Apa itu Teorema Binomial?

Jejak teorema binomial diketahui manusia sejak abad ke-4 SM. Binomial untuk kubus digunakan pada abad ke-6 M. Seorang matematikawan India, Halayudha, menjelaskan metode ini menggunakan segitiga Pascal pada abad ke-10.

Pernyataan yang jelas dari teorema ini dinyatakan pada abad ke-12. Para matematikawan membawa temuan ini ke tahap berikutnya sampai Sir Isaac Newton menggeneralisasi teorema binomial untuk semua eksponen pada tahun 1665.

Teorema Binomial menyatakan perluasan aljabar pangkat dari binomial, yang berarti polinomial (a+b)n dapat diekspansi menjadi beberapa suku.

Secara matematis, teorema ini dinyatakan sebagai:

(a + b) n = a+ (1) an – 1b1 + (2) an – 2b2 + (3) an – 3b+ ………+ b n

yang dimana (1), (2), … adalah koefisien binomial.

Berdasarkan sifat-sifat Teorema Binomial di atas, kita dapat menurunkan Rumus Binomial sebagai:

(a + b) n = a+ nan – 1b1 + [n (n – 1)/2!] an – 2b2 + [n (n – 1) (n – 2)/ 3!]an – 3b+ ………+ b n

Atau, kita dapat menyatakan rumus Binomial sebagai:

(a + b) n = nCanCan – 1b + nCan – 2bnCan – 3b3+ ………. + n

Yang dimana (r) = Cr = n! / {r! (n – r)!} dan (C) dan (!) adalah kombinasi dan faktorial masing-masing.

Contoh:

  • 3! = (3)(2)(1) =6
  • 5! = (5)(4)(3)(2)(1) =120
  • 4! /2! = (4)(3)(2)(1)/(2)(1) =12
  • 10C= 10! / (10 – 6)! 6! = 10! / 4! 6! = (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10) / 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 7 x 8 x 9 x 10 /1 x 2 x 3 x 4 = 7 x 3 x 10 = 210

Bagaimana cara menggunakan Teorema Binomial?

Ada beberapa hal yang perlu Anda ingat saat menerapkan Teorema Binomial.

Ini adalah:

  • Eksponen suku pertama (a) berkurang dari n ke nol
  • Eksponen dari suku kedua (b) meningkat dari nol menjadi n
  • Jumlah pangkat dari a dan b sama dengan n.
  • Koefisien suku pertama dan suku terakhir sama-sama 1.

Contoh soal dan jawaban Teorema Binomial

Contoh 1: Kembangkan (a + b)5

Jawaban:

⟹ (a + b) 5 = a+ (51) a5– 1b1 + (2) a5 – 2b2 + (53) a5– 3b+ (54) a5– 4b+ b5

a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Contoh 2: Kembangkan (x + 2)6 menggunakan rumus Binomial.

Jawaban:

Jika diberikan a = x;

b = 2 dan n = 6

Substitusikan nilai ke dalam rumus binomial

(a + b) n = a+ nan – 1b1 + [n (n – 1)/2!] an – 2b2 + [n (n – 1) (n – 2)/ 3!]an – 3b+ ………+ b n

⟹ (x + 2) 6 = x+ 6x5(2)1 + [(6)(5)/2!] (x4) (22) + [(6)(5)(4)/3!] (x3) (23) + [(6)(5)(4)(3)/4!] (x2) (24) + [(6)(5)(4)(3)(2)/5!] (x) (25) + (2)6

= x6 + 12x5 + 60x+160x3 + 240x+ 192x + 64

Baca juga: Rumus Aljabar | Operasi Rumus Perhitungan, Penjelasan, Contoh Soal dan Jawaban

Contoh 3: Gunakan teorema binomial untuk memperluas (2x + 3)4

Jawaban:

Dengan membandingkan dengan rumus binomial, kita dapatkan,

a = 2x, b =3 dan n = 4.

Substitusikan nilai-nilai dalam rumus binomial.

⟹ (2x + 3) 4 = x+ 4(2x)3(3) + [(4)(3)/2!] (2x)2 (3)2 + [(4)(3)(2)/4!] (2x) (3)3 + (3)4

= 16 x4 + 96x+216x+ 216x + 81

Contoh 4: Carilah perluasan dari (2x − y)4

Jawaban:

(2x − y)4 = (2x) + (−y)4 = (2x)4 + 4(2x)3 (−y) + 6(2x)2(−y)+ 4(2x) (−y)3+ (−y)4

= 16x4 − 32x3y + 24x2y2 − 8xy3 + y4

Contoh 5: Gunakan Teorema Binomial untuk memperluas (2 + 3x)3

Jawaban:

Dengan membandingkan dengan rumus Binomial,

a = 2; b = 3x dan n = 3

⟹ (2 + 3x) 3 = 2+ (31) 22(3x)1 + (32) 2(3x)2 + (3x)3

= 8 + 36x + 54x+ 27x3

Contoh 6: Kembangkan (x2 + 2)6

Jawaban:
(x2 +2)6 = 6C(x2)6(2)0 + 6C1(x2)5(2)1 + 6C2(x2)4(2)2 + 6C(x2)3(2)3 + 6C(x2)2(2)4 + 6C(x2)1(2)5 + 6C(x2)0(2)6

= (1) (x12) (1) + (6) (x10) (2) + (15) (x8) (4) + (20) (x6) (8) + (15) (x4) (16) + (6) (x2) (32) + (1)(1) (64)

= x12 + 12 x10 + 60 x8 + 160 x6 + 240 x4 + 192 x2 + 64

Contoh 7: Perluas ekspresi (√2 + 1)5 + (√2 − 1)menggunakan rumus Binomial.

Jawaban:

(x + y)5 + (x – y)5 = 2[5C0 x5 + 5C2 x3 y2 + 5C4 xy4]

= 2(x+ 10 x3 y+ 5xy4)

= (√2 + 1)+ (√2 − 1)= 2[(√2)+ 10(√2)3(1)+ 5(√2) (1)4]

=58√2

Contoh 8: pembuktian kombinatorik

Apabila kita ingin menggunakan pembuktian kombinatorik untuk membuktikan teorema tersebut dan pada suku – suku dan hasil dari penjabaran (x+y)^n (x+y)^n dan berbentuk xn – jy jx^n – jy^j untuk j = 0,1,2, … ,nj = 0,1,2, … , n.

Cara menghitung banyaknya pada suku yang berbentuk xn – jy^j xn – jy^j, yang pertama kita perlu memilih (n-j) (n-j) xx dan dari nn faktor.

Oleh karena itu pada koeefisien dari xn-jy^ jx^n-jy^j ialah (nn-j) (n-jn) yang pada ekuivalen dengan (nj) (jn).

Dibawah ini merupakan contoh cara penyeleseian untuk mengilustrasikan pada teorema yaitu :

Contoh:

Ada berapakah nilai pada koefisien dari x^12 y^13 pada ekspansi (x+y)^25 ?

Jawaban:

Dari teorema binomial, nilai koefisien x^12 y^13 dapat dihitung dengan.
(25/13) = 25!/ 13! 12! = 5.200.300.

Contoh:

Ada berapakah nilai dari koefisien x^12 y^13 pada ekspansi (2x – 3y) 25 (2x-3y) 25 ?

Jawaban:

Pertama yang perlu diingat bahwasannya ekspresi (2x- 3y) 25 (2x-3y) 25 = (2x+(-3y)) 25 (2x + (-3y)) 25, dengan berdasarkan teorema binomial ini kita dapatkan :

(2x + (-3y)) 25 = ∑j = 025 (25j) (2x) 25 – j(−3y)j

Akibatnya, koefisien x12y13x12y13 pada ekspansi (2x+(−3y)) 25 (2x + (−3y)) 25 dan dapat diperoleh dengan j = 13^j = 13, yaitu :

(25/13) 2^12 (−3)^13 = − 25!/13! 12! 2^12 3^13


Rumus Aljabar – Operasi Rumus Perhitungan, Penjelasan, Contoh Soal dan Jawaban


Bacaan Lainnya

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: CleverlySmart, Cue Math, Math is Fun

Sumber foto: Author: Cmglee (CC BY-SA 3.0) via Wikimedia Commons

Penjelasan foto: visualisasi ekspansi binomial hingga pangkat ke-4.

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz |Matematika|IPA | Geografi & Sejarah |Info Unik|Lainnya | Business & Marketing

PinterPandai PinterPandai adalah seorang penulis dan fotografer untuk sebuah blog bernama www.pinterpandai.com Mereka memiliki artikel tentang segalanya! Sains, hewan, bioskop / sinema, musik, artis, kesehatan, sejarah, olahraga, memasak, matematika, fisika, kimia, biologi, agama, geografi, dll. Selamat menikmati!===PinterPandai is a a writer and photographer for a blog called www.pinterpandai.com They have articles on everything! Science, animals, cinema, music, people, health, history, sport, cooking, math, physics, chemistry, biology, religions, geography, etc. Enjoy!

Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Matematika adalah alat penting dalam berbagai aspek kehidupan kita, mulai dari keuangan pribadi hingga usaha profesional. Memahami dan menerapkan perhitungan matematis dapat secara signifikan...
PinterPandai
5 min read

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *