Rumus Matriks – Perkalian, Penjumlahan, Pengurangan – Operasi Perhitungan Matriks – Contoh Soal dan Jawaban

4 min read

Perhitungan Matriks

Matriks

Adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku. Dibawah ini Anda dapat menemukan operasi perhitungan matriks, beserta contoh soal dan jaabannya.

Penulisan matriks:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}}}

atau

{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3\\1&4\end{bmatrix}}}

Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).

{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}} Matriks di atas berordo 3×2.

 

Matriks Identitas (I)

Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada diagonal utama selalu 1.

{\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}

 

Matriks Transpose (At)

Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}}

{\displaystyle A^{t}={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\\5&-7\end{pmatrix}}}

 


 

Operasi Perhitungan Matriks

Kesamaan 2 matriks

2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama.

Contoh: {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}}

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

{\displaystyle x={\frac {1}{2}}}
{\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}}
{\displaystyle z={\frac {9}{2}}}
{\displaystyle 2x-y+5z}
{\displaystyle =2\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}+5\left({\frac {9}{2}}\right)}
{\displaystyle =23}

Penjumlahan matriks

2 matriks bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.

Contoh: {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&3+6x&5+z-y\\2y+3&8&-14\end{pmatrix}}}

Pengurangan matriks

2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.

Contoh: {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3-6x&5-z-y\\-2y-1&0&0\end{pmatrix}}}

Perkalian bilangan dengan matriks

Contoh:

{\displaystyle 3{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&18x&3z-3y\\6y+6&12&-21\end{pmatrix}}}

Perkalian matriks

2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.

Definisi Perkalian Matriks

Jika A adalah matriks n × m dan B adalah matriks m × p,

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mp}\\\end{pmatrix}}}

Produk matriks C = AB adalah matriks n × p.

{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\cdots &c_{np}\\\end{pmatrix}}}

sehingga

{\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+\cdots +a_{im}b_{mj}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj},}

for i = 1, …, n dan j = 1, …, p.

2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.
Penghitungan perkalian matriks:

Misalkan:

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} dan {\displaystyle B={\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}}

maka {\displaystyle A\times B={\begin{pmatrix}ap+br&aq+bs\\cp+dr&cq+ds\end{pmatrix}}}

Contoh:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&6\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9&8\\2&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}30&76\\35&64\end{pmatrix}}}

Pembagian matriks

Sebenarnya kita tidak benar-benar membagi matriks, kita melakukannya dengan cara ini:

A/B = A × (1/B) = A × B-1

yang dimana B-1 berarti the “kebalikan” dari B.

Jadi kita tidak “membagi” dalam perhitungan matriks, malah kita kalikan dengan invers. Dan ada cara khusus untuk menemukan Invers yang dapat Anda temukan di baah ini.

 


 

Determinan suatu matriks

Matriks ordo 2×2

Misalkan:

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}

maka Determinan A (ditulis {\displaystyle \left\vert A\right\vert } ) adalah:

{\displaystyle \left\vert A\right\vert =a\times d-b\times c}

Matriks ordo 3×3

Cara Sarrus

Misalkan:

Jika {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}} maka tentukan {\displaystyle \left\vert A\right\vert }!

{\displaystyle \left\vert A\right\vert =\left\vert {\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{matrix}}\right\vert {\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}}}

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

{\displaystyle \left\vert A\right\vert =a.e.i+b.f.g+c.d.h-g.e.c-h.f.a-i.d.b}

Contoh:

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{pmatrix}}} maka tentukan {\displaystyle \left\vert A\right\vert }!

{\displaystyle \left\vert A\right\vert =\left\vert {\begin{matrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{matrix}}\right\vert {\begin{matrix}-2&0\\3&2\\1&-3\end{matrix}}}

{\displaystyle \left\vert A\right\vert =(-2.2.5)+(0.-1.-1)+(1.3.-3)-(1.2.1)-(-2.-1.-3)-(0.3.5)=-20+0-9-2+6-0=-25}

Cara ekspansi baris-kolom

Misalkan:

Jika {\displaystyle P={\begin{pmatrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{pmatrix}}} maka tentukan {\displaystyle \left\vert P\right\vert } dengan ekspansi baris pertama!

{\displaystyle \left\vert P\right\vert =-2\left\vert {\begin{matrix}2&-1\\-3&5\end{matrix}}\right\vert -0\left\vert {\begin{matrix}3&-1\\1&5\end{matrix}}\right\vert +1\left\vert {\begin{matrix}3&2\\1&-3\end{matrix}}\right\vert }

{\displaystyle \left\vert P\right\vert =-2(10-3)-0+1(-9-2)=-25}

 


 

Matriks Singular

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.

Contoh:

{\displaystyle P={\begin{pmatrix}-4&5x\\-x&20\end{pmatrix}}}

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

{\displaystyle -80+5x^{2}=0}
{\displaystyle 5(x^{2}-16)=0}
{\displaystyle x=-4} vs {\displaystyle x=4}

 


 

Invers Matriks

Invers matriks 2×2

Misalkan:

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}

maka inversnya adalah:

{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\left\vert A\right\vert }}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}={\frac {1}{a.d-b.c}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}

Sifat-sifat invers matriks

{\displaystyle A.A^{-1}=I=A^{-1}.A}
{\displaystyle (AB)^{-1}B^{-1}.A^{-1}}
{\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A}
{\displaystyle AI=A=IA}

Persamaan matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

  • Jika diketahui matriks A.X=B
{\displaystyle A.X=B}
{\displaystyle A^{-1}.A.X=A^{-1}.B}
{\displaystyle I.X=A^{-1}.B}
{\displaystyle X=A^{-1}.B}
  • Jika diketahui matriks X.A=B
{\displaystyle X.A=B}
{\displaystyle X.A.A^{-1}=B.A^{-1}}
{\displaystyle X.I=B.A^{-1}}
{\displaystyle X=B.A^{-1}}

 


 

Contoh Soal dan Jawaban Matriks

1. Hasil kali semua nilai x sehingga matriks \begin{pmatrix}x^2+2x &x-10 \\ x+2 &x-6 \end{pmatrix} tidak mempunyai invers adalah…

Jawaban:

Matriks tidak mempunyai invers jika determinan dari matriks tersebut bernilai nol.

\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}\,x^2+2x &x-10 \,\\ x+2 &x-6 \end{vmatrix}&=0\\ (x^2+2x)(x-6)-(x+2)(x-10)&=0\\ x^3-5x^2-4x+20&=0 \end{aligned}

Bentuk terakhir adalah bentuk suku banyak derajat tiga. Dengan menggunakan Teorema Akar-akar Vieta, maka hasil kali semua nilai x yang memenuhi: x_1\cdot x_2\cdot x_3 = -20

catatan:

\boxed{\:\begin{vmatrix}\,a &b\,\\ c &d\end{vmatrix}=ad-bc\:}

Untuk suku banyak ax^3+bx^2+cx+d=0 maka

\boxed{\begin{array}{lcr}x_1+x_2+x_3&=&-\frac{b}{a}\\x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3 &=& \frac{c}{a}\\x_1\cdot x_2\cdot x_3 &=& -\frac{d}{a}\end{array}}

 

2. Jika matriks
\displaystyle V=\begin{pmatrix}-7&2\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2^p&2^p-4\\ 2&-2^p\end{pmatrix}
tidak mempunyai invers, maka nilai 2p^2-18=....

Jawaban:

Matriks V tidak mempunyai invers berarti det(V) = 0.
Dari sifat determinan matriks

\displaystyle \begin{aligned} \underbrace{|V|}_{=0}=\underbrace{\begin{vmatrix} -7 & 2\\ 0 & 1 \end{vmatrix}}_{\neq 0} \underbrace{\begin{vmatrix} 2^p&2^p-4\\ 2&-2^p\end{vmatrix}}_{=0} \end{aligned}

Nilai det(V) bernilai nol dan matriks pertama di ruas kanan tidak nol, akibatnya matriks ke dua di ruas kanan harus bernilai nol.
Misalkan a=2^p

\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a&a-4\\ 2&-a\end{vmatrix} &=0\\ a(-a)-(2)(a-4)&=0\\ a^2+2a-8&=0\\ (a-2)(a+4)&=0\\ \therefore\:a_1&=2\:\rightarrow\:2^p=2\:\rightarrow\:p=1\\ a_2&=-4\:\rightarrow\:p=\varnothing \text{ (tidak ada nilai p yang memenuhi)} \end{aligned}

Jadi nilai 2p^2-18=2(1)^2-18=-16

catatan:
Determinan matriks
\boxed{~\begin{vmatrix} ~a&b\\ c&d~\end{vmatrix}=ad-bc~}

Sifat determinan matriks
\boxed{~|AB|=|A|\;|B|~}

 

 

3. Jika \displaystyle A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{bmatrix}, maka (I+A)^5=...

Jawaban:

I adalah matriks identitas sehingga

\displaystyle \begin{aligned} I+A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 2 & 2\end{bmatrix} \end{aligned}

 

Diperlukan sedikit ketabahan untuk mengalikan matriks beberapa kali

\displaystyle \begin{aligned} I+A&=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 2 & 2\end{bmatrix}\\ (I+A)^2&=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 2 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 2 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 0\\ 8 & 4\end{bmatrix}\\ (I+A)^3&=\begin{bmatrix} 4 & 0\\ 8 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 2 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 & 0\\ 24 & 8\end{bmatrix}\\ (I+A)^4&=\begin{bmatrix} 8 & 0\\ 24 & 8\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 2 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 16 & 0\\ 64 & 16\end{bmatrix}\\ (I+A)^5&=\begin{bmatrix} 16 & 0\\ 64 & 16\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 2 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 32 & 0\\ 160 & 32\end{bmatrix}\\ \end{aligned}

 

 

4. Jika matriks \begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix} dan I matriks identitas berorder sama dengan P maka hasil kali akar persamaan \det(P-xI)=0 adalah….

Jawaban:

\displaystyle \begin{aligned} P-xI&=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}- x\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}1-x&2\\3&2-x\end{pmatrix} \end{aligned}

Sehingga

\displaystyle \begin{aligned} \det(P-xI)&=0\\ \begin{vmatrix}~1-x&2\\3&2-x~\end{vmatrix}&=0\\ (1-x)(2-x)-6&=0\\ x^2-2x-4&=0\\ \end{aligned}

Jadi hasil akar persamaan kuadrat terakhir x_1\cdot x_2=-4

catatan:
determinan matriks
\boxed{~\begin{vmatrix}~a&b\\c&d~\end{vmatrix}=ad-bc~}

Jika x_1 dan x_2 merupakan akar dari persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0 maka
\boxed{~x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}~}

 

 

5. Jika A=\begin{pmatrix}-2&-1&2\\a&b&c\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\\-1&0\end{pmatrix}, dan determinan matriks AB adalah 10, maka nilai 2b-a adalah….

Jawaban:

\displaystyle \begin{aligned} AB&=\begin{pmatrix}-2&-1&2\\a&b&c\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\\-1&0\end{pmatrix}\\ AB&=\begin{pmatrix}-5&0\\a+b-c&a-2b\end{pmatrix}\\ \det(AB)&=\begin{vmatrix}~-5&0\\a+b-c&a-2b~\end{vmatrix}\\ 10&=-5(a-2b)\\ 2b-a &= 2 \end{aligned}

 

catatan:
Determinan matriks 2×2
\boxed{~\begin{vmatrix}~a&b\\c&d~\end{vmatrix}=ad-bc~}

 

 

6. Jika Diketahui \displaystyle A=\begin{pmatrix}2&\:^z\log{b}\\\:^a\log{\frac{1}{z}}&1\end{pmatrix} merupakan matriks singular. Maka \:^a\log{b^3a}+\:^z\log{a}\cdot\:^b\log{z^2}=....

Jawaban:

A adalah matriks singular maka \det(A)=0:

\displaystyle \begin{aligned} 2-^a\log{\frac{1}{z}}\cdot\:^z\log{b}&=0\\ -^a\log{z^{-1}}\cdot\:^z\log{b}&=-2\\ ^a\log{z}\cdot\:^z\log{b}&=-2\\ ^a\log{b}&=-2 \end{aligned}

Maka

\displaystyle \begin{aligned} ^a\!\log{b^3a}+\:^z\log{a}\cdot\:^b\log{z^2} &=\:3\cdot ^a\!\log{b}+\:^a\!\log{a}+2\:^b\!\log{z}\cdot\:^z\!\log{a}\\ &=3(-2)+1+2\cdot^b\!\log{a}\\ &=-5+2\left(-\frac{1}{2}\right)\\ &=-6 \end{aligned}

catatan:
Determinan matriks
\boxed{~A=\begin{pmatrix}~a&b\\c&d~\end{pmatrix}\rightarrow \det(A)=ad-bc~}

Sifat logaritma:

\boxed{~^a\log{x}^n=n\cdot^a\log{x}~}

\boxed{~^a\log{b}\cdot^b\log{c}=\:^a\log{c}~}

\boxed{~^a\log{b}=p\rightarrow ^b\log{a}=\frac{1}{p}~}

Sifat eksponen
\boxed{~a^{-n}=\frac{1}{a^n}~}

 

 

7. Jika diketahui  A=\begin{pmatrix}2&0\\1&x\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&5\\ 0&-2\end{pmatrix}, dan \det(AB)=12, maka nilai x adalah…

Jawaban:

Gunakan sifat determinan matriks

\displaystyle \begin{aligned} |AB|&=12\\ |A||B|&=12\\ \begin{vmatrix}2&0\\1&x\end{vmatrix} \begin{vmatrix}1&5\\ 0&-2\end{vmatrix}&=12 \\ (2x)(-2)&=12\\ \therefore \: x&=-3 \end{aligned}

 

catatan:
Determinan matriks
\boxed{~\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc~}

Sifat determinan
\boxed{~|AB|=|A||B|~}

 

 

8. Apabila M = A^3 dan \displaystyle A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}\end{pmatrix} maka M\begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix} =  …

Jawaban:

\displaystyle \begin{aligned} M\begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}&=A^3 \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{pmatrix}^3 \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

 

Cara Alternatif:

Matriks A adalah matriks rotasi (\text{O}, 30^\circ), sehingga M = A^3 merupakan matriks rotasi (\text{O}, 90^\circ).

\displaystyle \begin{aligned} M\begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}&=A^3 \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}0&-1 \\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

catatan:

Pada matriks
\boxed{~A^n =\underbrace{A\cdot A\cdot A\cdot \cdots A}_n~}

Matriks rotasi terhadap pusat \text{O}(0, 0) sejauh \theta atau ditulis (\text{O}, \theta) adalah…
\boxed{~\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin\theta & \cos \theta \end{pmatrix}~}

 

 

9. Jika M adalah matriks sehingga
M \times \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix}
maka determinan matriks M adalah…

Jawaban:

Gunakan sifat determinan matriks

\displaystyle \begin{aligned} M \times \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix} \\ \det (M) (ad-bc) &= -d(a+c)-(-c)(b+d) \\ \det (M) (ad-bc) &= -ad-cd+bc+cd\\ \det (M) &= -1 \end{aligned}

Jadi determinan dari matrixk M adalah -1

catatan:
Sifat determinan matriks
\boxed{\det (AB) = \det(A) \cdot \det (B)}

Determinan matriks
\boxed{\begin{vmatrix}a&b \\ c&d\end{vmatrix}=ad-bc}

 

 

10. Jika A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix} maka A^6 B = ...

Jawaban:

Gunakan dari sifat matriks

\displaystyle \begin{aligned} A^6 \cdot B & = A^5 (AB) \\ &=A^5\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix} \\ &=A^5\begin{pmatrix} -12 \\ -24 \end{pmatrix} = A^5 4 B \\ &=A^4 (AB) 4 \\ &=A^3 (AB) 4^2 \\ &~~~~~~~~\vdots\\ &=4^6 B = 2^{12}B \end{aligned}

 

 

Tes Matematika Lainnya

 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Math is FunBrilliantCool Math

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Matematika adalah alat penting dalam berbagai aspek kehidupan kita, mulai dari keuangan pribadi hingga usaha profesional. Memahami dan menerapkan perhitungan matematis dapat secara signifikan...
PinterPandai
5 min read

One Reply to “Rumus Matriks – Perkalian, Penjumlahan, Pengurangan – Operasi Perhitungan…”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *