Teori Peluang Matematika (Probabilitas)

Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep peluang matematika telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau statistika, tetapi juga keuangan, sains dan filsafat.

Konsep Peluang Matematika

Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi.

Contohnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya sepasang kambing melahirkan seekor sapi.

Probabilitas/Peluang suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi P(A), p(A), atau Pr(A). Sebaliknya, probabilitas [bukan A] atau komplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah 1-P(A). Sebagai contoh, peluang untuk tidak munculnya mata dadu enam bila sebuah dadu bersisi enam digulirkan adalah $1-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}$

Rumus peluang matematika kejadian saling bebas

Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas apabila

\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)

atau

\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\Leftrightarrow \mathrm {P} (A)={\frac {\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)}{\mathrm {P} (B)}}={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (B)}}=\mathrm {P} (A\mid B)

setaranya

\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\Leftrightarrow \mathrm {P} (B)=\mathrm {P} (B\mid A)

Rumus peluang matematika frekuensi harapan

Rumus frekuensi harapan adalah:

\mathrm {F} (A)=\mathrm {n} (A)\mathrm {P} (A)

Contoh:

1. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola hitam. Tiga bola diambil sekaligus dari dalam kotak secara acak. Berapakah peluang bahwa bola yang terambil adalah 2 bola merah dan 1 bola hitam?

P={\frac {C_{2}^{5}\,C_{1}^{3}}{C_{3}^{12}}}={\frac {{\frac {5!}{2!\,3!}}\,{\frac {3!}{1!\,2!}}}{\frac {12!}{3!\,9!}}}={\frac {3}{22}}

2. Dalam sebuah keranjang terdapat 7 bola merah, 5 bola biru dan 8 bola hitam. Jika diambil 3 bola secara acak dengan syarat bola yang diambil dikembalikan lagi ke dalam keranjang, berapa peluang bahwa bola yang terambil secara berturut-turut berwarna merah,hitam dan biru?

P={\frac {7}{20}}\,{\frac {8}{20}}\,{\frac {5}{20}}={\frac {7}{200}}

3. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 6 bola hijau dan 4 bola kuning. Jika diambil 3 bola secara acak tanpa pengembalian, berapakah peluang bola yang terambil secara berturut-turut adalah merah, hijau, kuning?

P={\frac {5}{15}}\,{\frac {6}{14}}\,{\frac {4}{13}}={\frac {4}{91}}

Dua buah dadu dilempar undi bersama satu kali. Berapakah peluang muncul jumlah kedua mata dadu 4 atau 7?

\mathrm {P} (4)={\frac {3}{6^{2}}}\,={\frac {3}{36}}\,

\mathrm {P} (7)={\frac {6}{6^{2}}}\,={\frac {6}{36}}\,

\mathrm {P} (4\cup 7)=\mathrm {P} (4)+\mathrm {P} (7)={\frac {3}{36}}\,+{\frac {6}{36}}\,={\frac {1}{4}}

4. Ada sekelompok terdiri dari 3 anak. Berapakah peluang muncul lebih dari satu anak laki-laki?

\mathrm {P} (2L\cap 1P)={\frac {3}{2^{3}}}={\frac {3}{8}}

\mathrm {P} (3L)={\frac {1}{2^{3}}}={\frac {1}{8}}

\mathrm {P} (>1L)=\mathrm {P} (2L\cap 1P)+\mathrm {P} (3L)={\frac {3}{8}}\,+{\frac {1}{8}}\,={\frac {1}{2}}

Teori Peluang Matematika

Teori peluang adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan peluang, analisis fenomena acak. Objek utama teori peluang adalah variabel acak, proses stokastik, dan kejadian: abstraksi matematis non-deterministik peristiwa atau kuantitas terukur yang dapat berupa kejadian tunggal atau berkembang dari waktu ke waktu dalam mode tampaknya acak. Jika koin individu melemparkan atau gulungan dadu dianggap peristiwa acak, maka jika berkali-kali mengulangi urutan kejadian acak akan menunjukkan pola-pola tertentu, yang dapat dipelajari dan diprediksi. Dua hasil matematis representatif menggambarkan pola tersebut adalah hukum bilangan besar dan teorema limit pusat.

Sebagai dasar matematika untuk statistik, teori peluang adalah penting untuk kegiatan manusia banyak yang melibatkan analisis kuantitatif set besar data. Metode teori peluang juga berlaku untuk deskripsi sistem yang kompleks diberikan pengetahuan hanya sebagian dari negara mereka, seperti dalam mekanika statistik. Sebuah penemuan besar fisika abad kedua puluh adalah sifat peluang fenomena fisik pada skala atom, dijelaskan dalam mekanika kuantum.

Ruang Peluang

Misalkan $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ruang terukur, yaitu $\Omega$ suatu himpunan dan ${\mathcal {A}}$ sebuah aljabar σ pada $\Omega$ . Himpunan $\Omega$ disebut ruang sampel dan anggota aljabar σ disebut kejadian. Kemudian, misalkan $P$ suatu ukuran pada ${\mathcal {A}}$ , sedemikian sehingga $P(\Omega )=1$ , yaitu $P:{\mathcal {A}}\rightarrow [0,1]$ fungsi yang memenuhi sifat-sifat berikut:

$P(A)\geq 0$ untuk semua $A\in {\mathcal {A}}$ .
$P(\emptyset )=0$ .
$P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$ untuk semua $A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}$ yang saling asil.
$P(\Omega )=1$ .

Selanjutnya, $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ disebut ruang peluang.

Permutasi

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula.

Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai “adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari.” Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.

Rumus Permutasi

Cara yang paling mudah untuk menyusun rumus permutasi adalah menggunakan definisi aslinya.

nPr =	n!
nPr =	(n-r)

atau

nPr = n ! / (n-r)!

Sebenarnya definisi asli dari permutasi tersebut adalah:

nPr = n x (n-1) x (n-2) x … x (n-r+1)

Rumus tersebut adalah pengembangan dari aturan perkalian dalam menyusun banyak r unsur berbeda yang bisa dibuat dari n unsur.

Misalnya, menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur yang diberikan. Jadi kita akan membuat 3 kotak seperti ini:

Kotak pertama: 5
Kedua: 4
Ketiga: 3

Sehingga dari aturan perkalian diperoleh banyaknya cara menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:

5 x 4 x 3 = 60 cara

Dengan jelasnya, bahwa rumus permutasi 3 unsur dari 5 unsur adalah:

Perkalian mundur dimulai dari bilangan 5 sebanyak 3 faktor.

Penyimpulan: nPr = perkalian mundur dimulai dari bilangan n sebanyak r faktor.

Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

Untuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:

 Kartu            Kotak kosong
 -----------      ---------------
 a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]
                   ^ 4 pilihan: a, b, c, d

Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  c  d       [b] [ ] [ ] [ ]
                       ^ 3 pilihan: a, c, d

Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  c  *       [b] [d] [ ] [ ]
                           ^ 2 pilihan: a, c

Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  *  *       [b] [d] [c] [ ]
                               ^ 1 pilihan: a

Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 *  *  *  *       [b] [d] [c] [a]

Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak $n!$ .

Bilangan Inversi

Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:

Posisi	Unsur	Bilangan	Keterangan
0	d	3	Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d, yaitu a, b, dan c.
1	a	0	Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada sebelum a.
2	c	1	Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c, yaitu b.
3	f	2	Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f, yaitu e, dan d.
4	g	2	Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu e, dan b.
5	e	1	Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu b.
6	b	0	Tidak ada huruf setelah b.

Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

Faktoradik

Faktoradik adalah sebuah sistem bilangan yang setiap posisi angka memiliki basis sesuai dengan faktorial dari posisinya. Sistem bilangan ini memungkinkan untuk membangkitkan permutasi dalam urutan leksikografik.

Barisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya memiliki sifat:

a_{i}\in N

dan

0\leq a_{i}\leq i

Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-k dari sebuah untai.

Contoh Nilai Permutasi

20P5 = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 (perkalian mundur 5 angka terakhir dari 20)

15P4 = 15 x 14 x 13 x 12 (perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15)

10P3 = 10 x 9 x 8 (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10)

7 P2 = 8 x 7 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7)

5P2 = 5 x 4 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 5)

dan seterusnya…

Contoh Nilai Permutasi Berbentuk Kalimat

Soal: Di dalam kelas terdapat 12 pelajar. Banyak cara memilih ketua, wakil dan sekretaris dari 12 pelajar dalam kelas tersebut adalah sebanyak … cara.

Kita menyusun 3 pelajar dari total keseluruhan 12 pelajar dengan memperhatikan urutan, maka digunakan konsep permutasi 12P13

Jawaban:
Jadi banyak cara memilihnya sebanyak:
12P3 = 12 x 11 x 10 = 1320 cara (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 12)

Soal: Di peternakan Pak Anthony terdapat beberapa kambing, sapi dan ayam. Pada saat yang bersamaan banyaknya ayam sama seperti banyaknya sapi. Pak Anthony mendapatkan diantara binatang-binatang tersebut memiliki keseluruhan 32 kepala dan 92 kaki. Berapa banyaknya kambing Pak Anthony?

Jawaban:
Untuk menyelesaikan permasalahan di peternakan Pak Anthony, akan dilakukan dengan cara membuat pemisalan, yaitu: Misalkan 32 binatang tersebut tiap binatang mempunyai 4 kaki. Jumlah kaki seluruhnya = 4 x 32 = 128 kaki. Kaki yang ada = 92 kaki. Sisa kaki binatang = 128 – 92 = 36 kaki. Secara khusus tiap ayam hanya memiliki 2 kaki, jadi kurang dari 4. Sehingga banyaknya ayam = 36 – 2 = 18 ekor ayam; Banyaknya sapi = 18 : 3 = 6 ekor sapi; Sedangkan banyaknya kambing = 32- 18 – 6 = 8 ekor kambing. Jadi banyaknya kambing ada 8 ekor.

Soal: Di dalam garasi Ibu Ruth terdapat 20 sepeda dan kereta. Jumlah roda keseluruhan 56 roda. Berapa banyak sepeda atau kereta Ibu Ruth di dalam garasi tersebut?

Jawaban:
Untuk menyelesaikan masalah ini dilakukan dengan cara membuat pemisalan, kemudian dari pemisalan akan disusun kalimat matematikanya untuk dicari penyelesaiannya. Pengerjaan kalimat matematika dilakukan dengan cara substitusi, yang akhirnya didapatkan jawab dari pemisalan tersebut.

Seperti langkah berikut: Misalkan seluruh kendaraan adalah sepeda. Total banyaknya roda ada 2 x 20 = 40 roda, sehingga sisa roda = 56 – 40 = 16 roda. Penambahan 16 roda diperoleh dari roda kereta yang seperti sepeda, sehingga banyaknya kereta ada 16 : 2 = 8 kereta. Jumlah kendaraan sepeda dan kereta ada 20 kendaraan, dan banyak kereta ada 8 kereta, sehingga banyaknya sepeda ada 20 – 8 = 12 sepeda. Jadi banyaknya kendaraan Ibu Ruth 8 kereta dan 12 sepeda.

Soal: Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KUKUS”?

{\frac {5!}{({2!}{2!})}}=30cara

Soal: Ada berapa cara bila 4 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?

{4!}=24cara

Soal: Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?

{(10-1)!}=362,880cara

Soal: Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan?

${5!}{3!}{2!}=1440cara$

Soal: Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku, sehingga buku kimia bersama-sama, buku matematika bersama-sama, dan buku fisika bersama-sama. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan?

${5!}{3!}{2!}{3!}=8,640cara$

Contoh Soal Peluang Lainnya

Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 7 soal ulangan, tapi soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah….

1) 4
2) 5
3) 6
4) 7
5) 10

Penyelesaian & jawaban:
No. 1 dan 2 harus dikerjakan, maka sisa nomor yang dipilih : 3 ,4 ,5 ,6 ,7

Dipilih 3 soal lagi, maka menjadi:
C53 = (5.4) /(2.1) = 10

Contoh Kombinasi Dalam Peluang Pengambilan Bola

Dalam sebuah kotak box terdapat 8 buah bola kecil yang besarnya sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih.

Dari dalam kotak box diambil 1 buah bola secara acak.

Tentukan peluang terambilnya 1 bola berwarna merah.

Penyelesaian & jawaban:
Diketahui jumlah semua bola ada 8. Yang merah ada 5 buah.
Peluang terambilnya 1 bola warna merah adalah: P(1 bola merah)= 5/8

Contoh Soal Peluang Kaidah Pencacahan Aturan Perkalian

Suatu keluarga yang berada di Samarinda ingin liburan ke Bali via Surabaya. Jika rute dari Samarinda ke Surabaya sebanyak 5 rute penerbangan, seedangkan Surabaya ke Bali ada 6 rute, maka banyaknya semua pilihan rute penerbangan dari Samarinda ke Bali pergi pulang dengan tidak boleh memiliki rute yang sama adalah… (pilih salah satu)

a) 700
b) 600
c) 500
d) 400

Penyelesaian & jawaban:

Pergi 5 x 6 = 30
Pulang 4 x 5 = 20
Jadi 30 x 20 = 600 (jawaban yang benar “b”)

Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi

Dalam suatu regu pramuka terdiri dari 7 orang. Jika dipilih ketua, sekretaris dan bendahara, maka banyak pasangan yang mungkin akan terpilih adalah…

a) 100
b) 110
c) 210
d) 310

Penyelesaian & jawaban:
7 x 6 x 5 = 210 (jawaban yang benar “c”)

Tes Matematika Undangan Ulang Tahun

Berapa orang yang harus diundang ke pesta ulang tahun Anda untuk memiliki peluang menjumpai seseorang yang lahir pada tanggal yang sama?

TIPS: gunakan Rumus Permutasi

Penjelasan Tes Matematika Undangan Ulang Tahun

Dalam sebuah pesta ulang tahun, jika hanya 2 orang, kemungkinan untuk menjumpai seseorang yang lahir pada tanggal yang sama dengan Anda adalah minim sekali, karena: (365/365) x (364/365) = 0,997

Jika 3 orang yang diundang:

(365/365) x (364/365) x (363/365) = 0,992

Dan seterusnya… sampai mendapatkan peluang probabilitas 0,5 (yang memiliki peluang 1 dari 2 atau 50%), jadi 23 orang yang harus diundang (Anda termasuk).

Jawabannya adalah 22.

Membangkitkan Permutasi

Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:

Diberikan sebuah untai S, tentukan:

Semua permutasi dari S
Semua permutasi n-elemen dari S
Permutasi berikutnya setelah S
Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)

Jenis-jenis Permutasi Lainnya

1. Permutasi-k dari n benda

Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:

 ab  ac  ad
 ba  bc  bd
 ca  cb  cd
 da  db  dc

Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:

 abc  abd  acb  acd  adb  adc
 bac  bca  bad  bda  bcd  bdc
 cab  cba  cad  cda  cbd  cdb
 dab  dba  dac  dca  dbc  dcb

Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah

P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}

2. Permutasi dengan elemen yang identik

Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur amuncul sebanyak dua kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12:

 aabc  aacb  abac  abca
 acab  acba  baac  baca
 bcaa  caab  caba  cbaa

Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a₀ dan a₁:

   a₀a₁bc  a₁a₀bc  =  aabc
   a₀a₁cb  a₁a₀cb  =  aacb
   a₀ba₁c  a₁ba₀c  =  abac
   a₀bca₁  a₁bca₀  =  abca
   a₀ca₁b  a₁ca₀b  =  acab
   a₀cba₁  a₁cba₀  =  acba
   ba₀a₁c  ba₁a₀c  =  baac
   ba₀ca₁  ba₁ca₀  =  baca
   bca₀a₁  bca₁a₀  =  bcaa
   ca₀a₁b  ca₁a₀b  =  caab
   ca₀ba₁  ca₁ba₀  =  caba
   cba₀a₁  cba₁a₀  =  cbaa

Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi a₀ dan a₁ yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur: a₀ dan a₁). Dengan demikian jika dianggap a₀ = a₁ maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:

Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

{\frac {n!}{k!}}

**Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k₁, k₂, …, k_m, maka:**

{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!...k_{m}!}}

atau

{\frac {n!}{\prod _{i=1}^{m}{k_{i}!}}}

**Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:**

{\frac {16!}{5!2!3!6!}}=20180160

**Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga**

{\frac {4!}{1!1!1!1!}}=4!

Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf A dan huruf abisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.

Diagram Venn (hubungan antara himpunan) – Rumus, Cara Gambar, Contoh Soal dan Jawaban

3. Permutasi siklis

Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.

Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:

 abcdefgh
 bcdefgha
 cdefghab
 defghabc
 efghabcd
 fghabcde
 ghabcdef
 habcdefg

Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.

 a bcdefgh
   --------
   ^ bagian yang dipermutasikan

Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak $(n-1)!$

Tes Matematika Lainnya

Bacaan Lainnya

Sumber bacaan: Sumber bacaan: Wikipedia, Probability Formula

Siapa Penemu Kalkulator Pertama?

Teori Peluang Matematika, Permutasi, Rumus, Ruang Peluang, Contoh Soal dan Jawaban

Teori Peluang Matematika (Probabilitas)

Konsep Peluang Matematika

Rumus peluang matematika kejadian saling bebas

Rumus peluang matematika frekuensi harapan

Teori Peluang Matematika

Ruang Peluang

Permutasi

Rumus Permutasi

Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.

Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.

Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

Bilangan Inversi

Faktoradik

Contoh Nilai Permutasi

Contoh Nilai Permutasi Berbentuk Kalimat

Soal: Di dalam kelas terdapat 12 pelajar. Banyak cara memilih ketua, wakil dan sekretaris dari 12 pelajar dalam kelas tersebut adalah sebanyak … cara.

Soal: Di peternakan Pak Anthony terdapat beberapa kambing, sapi dan ayam. Pada saat yang bersamaan banyaknya ayam sama seperti banyaknya sapi. Pak Anthony mendapatkan diantara binatang-binatang tersebut memiliki keseluruhan 32 kepala dan 92 kaki. Berapa banyaknya kambing Pak Anthony?

Soal: Di dalam garasi Ibu Ruth terdapat 20 sepeda dan kereta. Jumlah roda keseluruhan 56 roda. Berapa banyak sepeda atau kereta Ibu Ruth di dalam garasi tersebut?

Soal: Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KUKUS”?

Soal: Ada berapa cara bila 4 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?

Soal: Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?

Soal: Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan?

Contoh Soal Peluang Lainnya

Contoh Kombinasi Dalam Peluang Pengambilan Bola

Contoh Soal Peluang Kaidah Pencacahan Aturan Perkalian

Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi

Tes Matematika Undangan Ulang Tahun

Penjelasan Tes Matematika Undangan Ulang Tahun

Membangkitkan Permutasi

Jenis-jenis Permutasi Lainnya

1. Permutasi-k dari n benda

2. Permutasi dengan elemen yang identik

Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a0 dan a1:

Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k1, k2, …, km, maka:

Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:

Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga

3. Permutasi siklis

Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:

Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.

Tes Matematika Lainnya

Bacaan Lainnya

Nilai Pi 1 juta digit pertama | Analisis dan…

Menghitung Dimensi Balok dari Luas Jaring-Jaringnya

Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a₀ dan a₁:

**Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k₁, k₂, …, k_m, maka:**

**Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:**

**Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga**