Rumus Trigonometri dan Hubungan Fungsi

Berikut adalah rumus trigonometri dan hubungan fungsi:

Fungsi dasar rumus trigonometri:

Identitas Trigonometri

Baca selanjutnya tentang identitas rumus trigonometri di ? Identitas Trigonometri – Rumus, Penjelasan, Pembuktian, Contoh Soal dan Jawaban

Rumus jumlah dan selisih sudut

Rumus perkalian trigonometri

2sinAcosB = sin(A+B) + sin(A-B)
2cosAsinB = sin(A+B) – sin(A-B)
2cosAcosB = cos(A+B) + cos(A-B)
2sinAsinB = -cos(A+B) + cos(A-B)

Rumus turunan fungsi trigonometri

1. Jika f(x) =  sin x maka f'(x) = cos x
2. Jika f(x) = cos x maka f'(x) = -sin x
3. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec²x
4. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = -cosec²x
5. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x.tan x
6. Jika f(x) = cosec x maka f'(x) = -cosec x.cot x

Baca selanjutnya tentang turunan fungsi trigonometri di ? Turunan Trigonometri – Rumus Turunan Fungsi Trigonometri – Contoh Soal dan Jawaban

Rentang Sudut Kuadran Trigonometri

• Kuadran 1 memiliki rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangent positif.
• Kuadran 2 memiliki rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.
• Kuadran 3 memiliki rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.
• Kuadran 4 memiliki rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.

Sudut Istimewa Rumus Trigonometri

Sudut istimewa sendiri merupakan sudut-sudut yang mempunyai nilai derajat tertentu seperti 0°, 30°, 45°, 60°, 90° dan lain-lain; dapat di tentukan oleh tabel yang ada di bawah ini.

Sudut Istimewa Kuadran I

Baca selanjutnya tentang sudut istimewa di ? Sudut Istimewa Sampai 360 – Trigonometri – Soal dan Jawaban

Rumus trigonometri perbandingan untuk sudut-sudut berelasi

Hanya ada beberapa aturan yang harus diingat:
⇒ Untuk sudut (90  ± a) dan (270 ± a) berlaku: sin = cos, cos = sin,
tan = cot, cot = tan, sec = cosec, cosec = sec ; dengan tanda positif
dan negatif disesuaikan berdasarkan ASTC.

⇒ Untuk sudut (180 ± a) dan (360 ± a) berlaku: sin = sin, cos = cos,
tan = tan, cot = cot, sec = sec, cosec = cosec ; dengan tanda positif
dan negatif disesuaikan berdasarkan ASTC.

Persamaan trigonometri

x = α + k360 atau x = (180 – α) +k360
x = ± α + k360
x = α + k180

Identitas Trigonometri – Rumus Dasar Identitas

Rumus rumus dasar identitas trigonometri sebagai berikut:

Untuk membuktikan suatu persamaan mempakan identitas atau bukan maka persamaan itu diubah dengan salah satu dari cara-cara berikut:

• Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi bentuk ruas kanan.
• Mengubah bentuk ruas kanan, sehingga menjadi bentuk ruas kiri.
• Mengubah bentuk ruas kiri maupun ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang sama.

Perkalian, Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

• 2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B)
• 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B)
• 2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B)
• 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

• sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
• sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B)
• cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B)
• cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
• tan A + tan B = 
• tan A – tan B =

Kegunaan Triginometri Dalam Kehidupan Sehari-Hari

1.  Sebagai teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat.

2. Dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu dan dalam sistem navigasi satelit.

3. Dalam kriminologi, trigonometri dapat membantu menghitung lintasan proyektil, untuk memperkirakan apa yang mungkin menyebabkan tabrakan dalam kecelakaan mobil atau bagaimana benda jatuh dari suatu tempat atau di mana sudut tembakan peluru, dll.

4. Dalam konstruksi kita membutuhkan trigonometri untuk menghitung? Mengukur bidang, banyak dan area? Membuat dinding sejajar dan tegak lurus? memasang ubin keramik, kecenderungan atap, tinggi bangunan, panjang lebar dan sebagainya. Banyak hal lain lainnya yang menjadi kebutuhan untuk menggunakan trigonometri.

5. Arsitek menggunakan trigonometri untuk menghitung beban struktural, lereng atap, permukaan tanah dan banyak aspek lainnya, termasuk naungan matahari dan sudut cahaya.

6. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri:

• Termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara dan angkasa)
• Teori musik, akustik
• Teori optik
• Analisis pasar finansial
• Elektronik
• Teori probabilitas
• Statistika
• Biologi
• Pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound)
• Farmasi
• Kimia
• Teori angka (dan termasuk kriptologi)
• Seismologi
• Meteorologi
• Oseanografi
• Berbagai cabang dalam ilmu fisika
• Survei darat dan geodesi
• Arsitektur
• Fonetika
• Ekonomi
• Teknik listrik
• Teknik mekanik
• Teknik sipil
• Grafik komputer
• Kartografi
• Kristalografi

Penjelasan Trigonometri

Trigonometri adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus dan tangen. Dibawah ini Anda dapat menemukan rumus trigonometri beserta contoh soal dan jawabannya.

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani: trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur.

Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri.

Konsep Trigonometri

Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama.

Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun. Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang dari nol derajat).

16. Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Jawab:

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½

17. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut ini: sin 2x⁰ = sin 40⁰, jika x dalam interval 0 ? x ? 360⁰

Jawaban:

sin 2x⁰ = sin 40⁰, maka diperoleh:

2x = 40⁰ + k.360⁰     atau     2x = (180⁰  ?  40⁰) + k.360⁰
» x = 20⁰ + k.360⁰                »   2x   = 140⁰ + k.360⁰
»   x     = 70⁰ + k.360⁰
untuk   k = 0 ? x = 20⁰     atau untuk    k = 0 ? x = 70⁰
k = 1 ? x = 200⁰                        k = 1 ? x = 250⁰
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {20⁰, 70⁰, 200⁰, 250⁰}

18. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut ini: sin 3x⁰ = sin 45⁰, jika x dalam interval 0 ? x ? 360⁰

Jawaban:

sin 3x⁰ = sin 45⁰, maka diperoleh:

3x = 45⁰ + k.360⁰     atau     3x = (180⁰  ?  450⁰) + k.360⁰
» x = 15⁰ + k.360⁰    atau     »   3x   = 135⁰ + k.360⁰
»   x     = 45⁰ + k.120⁰
untuk   k = 0 ? x = 15⁰     atau untuk    k = 0 ? x = 45⁰
k = 1 ? x = 135⁰                        k = 1 ? x = 165⁰
k = 2 ? x = 255⁰                        k = 2 ? x = 285⁰
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: HP = {15⁰, 45⁰, 135⁰, 165⁰, 255⁰, 285⁰}

19. Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α

Jawaban:

sin⁴ α – sin² α = (sin² α)² – sin² α
= (1 cos² α) ² – (1 cos² α)
= 1 – 2 cos² α + cos⁴ α – 1 + cos² α
= cos⁴ α – cos² α

20. Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) =…

• 35 sin (5 – 3x)
• – 15 sin (5 – 3x)
• 21 sin (5 – 3x)
• – 21 sin (5 – 3x)
• – 35 sin (5 – 3x).

Jawab :

* ingat 

* maka:

21. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri pada titik berikut!
A(-3, 4)

Pembahasan
Kali ini, kita membahas Trigonometri. Khususnya, mencari nilai perbandingan Trigonometri yang meliputi sinus, cosinus, dan tangen dari suatu koordinat cartesius. Rumusnya adalah:

Rumus:

Sin α = y/r
Cos α = x/r
Tan α = y/x
Cosec α = r/y
Sec α = r/x
Cot α = x/y

Yang dimana, untuk mencari nilai r, kita menggunakan teorema phytagoras, yaitu r² = x² + y²

Penyelesaian

A (-3, 4)
r² = x² + y²
r² = -3² + 4²
r² = 9 + 16
r² = 25
r = √25
r = 5

Nilai perbandingan trigonometrinya adalah:

Sin α = 4/5
Cos α = -3/5
Tan α = 4/-3 = -4/3
Cosec α = 5/4
Sec α = 5/-3 = -5/3
Cot α = -3/4

22. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri pada titik berikut: B(5, 12)

B (5, 12)
r² = x² + y²
r² = 5² + 12²
r² = 25 + 144
r² = 169
r = √169
r = 13

Nilai perbandingan trigonometrinya adalah:

Sin α = 12/13
Cos α = 5/13
Tan α = 12/5
Cosec α = 13/12
Sec α = 13/5
Cot α = 5/12

23. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri pada titik berikut: C(12, -16)

C (12, -16)
r² = x² + y²
r² = 12² + -16²
r² = 144 + 256
r² = 400
r = √400
r = 20

Nilai perbandingan trigonometrinya adalah :

Sin α = -16/20
Cos α = 12/20
Tan α = -16/12
Cosec α = 20/-16 = -20/16
Sec α = 20/12
Tan α = 12/-16 = -12/16

24. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri pada titik berikut: D(-15, -8)

D (-15, -8)
r² = x² + y²
r² = -15² + -8²
r² = 225 + 64
r² = 289
r = √289
r = 17

Nilai perbandingan trigonometrinya adalah :

Sin α = -8/17
Cos α = -15/17
Tan α = -8/-15 = 8/15
Cosec α = 17/-8 = -17/8
Sec α = 17/-15 = -17/15
Cot α = -15/-8 = 15/8

25. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan radian (rad):
a) 270°
b) 330°

Pembahasan dan jawaban:
Konversi:
1 π radian = 180°

Jadi:
a) 270°

= 270° x r/180°
= 3/2 r rad

b) 330°

= 330° x r/180°
= 11/6 r rad

26. Penyelesaian persamaan sin x⁰ = sin ?⁰ (x ? R)

Untuk menyelesaiakan persamaan trigonometri sin x⁰ = sin ?⁰(x ? R) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometri sudut berelasi berikut.

1. sin (180⁰-?⁰) = sin ?⁰
2. sin (?^o+k.360⁰) = sin ?⁰

Dengan menggunakan hubungan-hubungan di atas, maka penyelesaian persamaan trigonometri sin x⁰ = sin ?⁰ dapat ditetapkan sebagai berikut.

Jika sin x0 = sin ?0 (x ? R), maka:x = ? + k.3600 atau x = (1800  ?  ?) + k.360, dengan k ? B Catatan: x dalam derajat Jika sin x = sin A (x ? R), maka: x = A + k.2? atau x = (?  ?  A) + k.2?, dengan k ? B Catatan: x dalam radian

Contoh:

1. Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini:

a.    sin x0 = sin 250

b.      sin x0 = sin 500

Jawab:

1. sin x⁰ = sin 25⁰, maka diperoleh:

x = 25⁰ + k.360⁰     atau     x   = (180⁰  ?  25⁰) + k.360⁰

= 155⁰ + k.360⁰

Jadi, x = 25⁰ + k.360⁰ atau 1550 + k.360⁰

1. sin x⁰ = sin50⁰, maka diperoleh:

x = 50⁰ + k.360⁰     atau     x   = (180⁰  ?  50⁰) + k.360⁰

= 130⁰ + k.360⁰

Jadi, x = 50⁰ + k.360⁰ atau 130⁰ + k.360⁰

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini.

   1. sin 2x⁰ = sin 40⁰, jika x dalam interval 0 ? x ? 360⁰
   2. sin 3x⁰ = sin 45⁰, jika x dalam interval 0 ? x ? 360⁰

Jawab:

1. sin 2x⁰ = sin 40⁰, maka diperoleh:

2x = 40⁰ + k.360⁰     atau     2x = (180⁰  ?  40⁰) + k.360⁰

» x = 20⁰ + k.360⁰                »   2x   = 140⁰ + k.360⁰

»   x     = 70⁰ + k.360⁰

untuk   k = 0 ? x = 20⁰     atau untuk    k = 0 ? x = 70⁰

k = 1 ? x = 200⁰                        k = 1 ? x = 250⁰

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {20⁰, 70⁰, 200⁰, 250⁰}

1. sin 3x⁰ = sin 45⁰, maka diperoleh:

3x = 45⁰ + k.360⁰     atau     3x = (180⁰  ?  450⁰) + k.360⁰

» x = 15⁰ + k.360⁰    atau     »   3x   = 135⁰ + k.360⁰

»   x     = 45⁰ + k.120⁰

untuk   k = 0 ? x = 15⁰     atau untuk    k = 0 ? x = 45⁰

k = 1 ? x = 135⁰                        k = 1 ? x = 165⁰

k = 2 ? x = 255⁰                        k = 2 ? x = 285⁰

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:

HP = {15⁰, 45⁰, 135⁰, 165⁰, 255⁰, 285⁰}

27. Dengan menggunakan identitas trigonometri, sederhanakan setiap bentuk berikut ini: (cos x) / (1+ sin x) + (1+sin x) / (cos x)

cos x/(1 +sin x) +1 +sin x/(cos x)
=cos²x +1 +2sin x +sin²x/(1 +sin x)
(cos x)
=1 -sin²x +1 +2sin x +sin²x/(1 +sin x)
(cos x)
= 2 +2sin x/(1 +sin x) (cos x)
= 2 (1 +sin x) /(1 +sin x) (cos x)
=2/cos x
= 2sec x

28. Jika f(x) = sinx+cosxsinx,  sin x ≠ 0 dan f’ adalah turunan f, maka f'(π2) = …

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

E. 2

Pembahasan:

f(x) = sinx+cosxsinx
Misalkan:
* u(x) = sin x + cos x , maka:
u'(x) = cos x – sin x
* v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x
f(x) = u(x)v(x)
f'(x) = u′(x).v(x)−u(x).v′(x)[v(x)]2
= (cosx−sinx).(sinx)−(sinx+cosx).(cosx)[sinx]2
f'(π2) = (cosπ2−sinπ2).(sinπ2)−(sinπ2+cosπ2).(cosπ2)[sinπ2]2
f'(π2) = (0−1).(1)−(1+0).(0)(1)2
f'(π2) = −1−01
f'(π2) = -1
(JAWABAN:  B)

29. Jika f(x) = -(cos² x – sin²x), maka f'(x) adalah…

A. 2(sin x – cos x)
B. 2(cos x –  sin x)
C. sin x. cos x
D. 2sin x cos x
E. 4sin x cos x

Pembahasan:
f(x) = -(cos² x – sin²x)
f(x) = -((1 – sin²x) – sin²x)
f(x) = -(1 – 2sin²x)
f(x) = 2sin²x – 1
Misalkan:
u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
f(x) = 2[u(x)]² – 1
f'(x) = 4 . u(x)¹. u'(x) – 0
f'(x) = 4 sin x  cos x
(JAWABAN: E)

30. Jika iketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f  adalah f’ maka f'(x) =…

A. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)

B. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)

C. -2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)

D. -6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x)

E. -3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)

Pembahasan:

f(x) = sin³ (3 – 2x)
Misalkan:
u(x) = sin (3 – 2x), maka:
u'(x) = cos (3 –  2x) . (-2)
u'(x) = -2cos (3 –  2x)
(-2 berasal dari turunan (3-2x))
f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(3 – 2x) . -2cos (3 – 2x)
= -6 sin²(3 – 2x) . cos (3 – 2x)
= -3 . 2 sin (3 -2x).sin (3 -2x).cos (3 – 2x)
= -3 . sin (3 – 2x). 2 sin (3 – 2x).cos (3 – 2x)
(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
= -3 sin (3 – 2x) sin 2(3 – 2x)
= -3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
(JAWABAN: E)

31. Tentukanlah nilai dari sin 105° + sin 15°

Jawaban:

Dari soal di atas bisa kita simpulkan bahwa jenis soal di atas adalah contoh soal penjumlahan trigonometri.

Sehingga kita dapat melihat rumus penjumlahan sin pada uraian di atas .

Rumusnya yaitu 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

Jawaban:

nilai sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°
= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°
= sin 60° cos 45°

Maka nilai dari sin 105° + sin 15° adalah sin 60° cos 45°.

32. Apabila tan 5°= p. maka tentukanlah nilai dari: tan 50°

Jawaban:

tan 50° = tan (45° + 5°)
= tan 45° + tan 5°/1 – tan 45° x tan 5°
= 1 + p/1 – p

Sehingga, hasil nilai dari tan 50° adalah = 1 + p/1 – p

---

Bacaan Lainnya

• Identitas Trigonometri – Rumus, Penjelasan, Contoh Soal dan Jawaban
• Turunan Trigonometri – Rumus Turunan Fungsi Trigonometri – Contoh Soal dan Jawaban
• Integral Trigonometri – Fungsi Beserta Contoh Soal dan Jawaban
• Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
• Trigonometri Invers Beserta Contoh Soal dan Jawaban
• Barisan Aritmetika dan Deret Aritmetika
• Quiz gunung tertinggi di Jepang?
• 24 Foto Yang Menunjukkan Mengapa Wisatawan Memilih Kyoto Sebagai Kota Terbaik Di Dunia
• Cara Membeli Tiket Pesawat Murah Secara Online Untuk Liburan Atau Bisnis
• Tibet Adalah Provinsi Cina – Sejarah Dan Budaya
• Puncak Gunung Tertinggi Di Dunia dimana?
• TOP 10 Gempa Bumi Terdahsyat Di Dunia
• Apakah Matahari Berputar Mengelilingi Pada Dirinya Sendiri?
• Test IPA: Planet Apa Yang Terdekat Dengan Matahari?
• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Mudah Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
• TOP 10 Virus Paling Mematikan Manusia
• Penyebab Dan Cara Mengatasi Iritasi Atau Lecet Pada Daerah Kewanitaan Akibat Pembalut Wanita
• Apakah Produk Pembalut Wanita Aman?
• Narkoba – Contoh, Jenis, Pengertian, Efek jangka pendek dan panjang
• Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda – Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?
• 7 Cara Untuk Menguji Apakah Dia, Adalah Teman Sejati Anda Atau Bukan BFF (Best Friend Forever)

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar?Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

• HP Android
• HP iOS (Apple)

Sumber bacaan: Sciencing, Clark University, SOS Math

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing