Teorema nilai rata-rata atau purata

Teorema nilai rata-rata atau teorema nilai purata menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) “rata-rata” turunan bagian kurva tersebut. Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga rata-rata kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu laju sesaat mobil haruslah tepat 100 km/jam.

Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh Parameshvara (1370–1460) dari mazhab astronomi dan matematika Kerala dalam komentarnya tentang Govindasvāmi and Bhaskara II. Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh Augustin Louis Cauchy(1789–1857)

Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam kalkulus diferensial, dan juga salah satu teorema penting dalam analisis matematika, dan esensial dalamm membuktikan teorema dasar kalkulus.

Pernyataan formal teorema nilai purata

Misalkan f : [a, b] → R adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b], and dan terdiferensialkan pada selang terbuka (a, b), di mana a < b.Maka terdapat suatu c dalam (a, b) sehingga

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.

Teorema nilai rata-rata adalah generalisasi teorema Rolle, yang menganggap f(a) = f(b), sehingga ruas kanan persamaan di atas adalah nol.

Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita hanya perlu mengasumsikan bahwa f:[a, b] → R adalah kontinudalam selang [a, b], dan untuk setiap x dalam (a, b), limitnya adalah

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga, limit tersebut sama dengan f’ (x). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh fungsi riil akar kubik yang memetakan x ke x^1/3, yang turunannya mengarah ke takhingga di titik asal.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak berlaku bila fungsi terdiferensialkan itu bernilai kompleks, alih-alih bernilai riil. Sebagai contoh, definisikan $f(x)=e^{ix}$ untuk semua x bernilai riil. Maka

f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)

sedangkan

|f'(x)|=1

Bukti pernyataan teorema nilai purata

Pernyataan (ƒ(b) − ƒ(a)) / (b − a) memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik (a, ƒ(a)) dan (b, ƒ(b)), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi f, sementara ƒ ′(x) memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik (x, ƒ(x)). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.
Definisikan g(x) = ƒ(x) − rx, di mana r adalah konstanta. Karena ƒ kontinu pada [a, b] dan terdiferensialkan pada(a, b), hal yang sama juga berlaku buat g. Kita sekarang ingin memilih r sedemikian sehingga g memenuhi syarat teorema Rolle, yaitu

{\begin{aligned}g(a)=g(b)&\Leftrightarrow f(a)-ra=f(b)-rb\\&\Leftrightarrow r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot \end{aligned}}

Menurut teorema Rolle, karena g kontinu, dan g(a) = g(b), terdapat suatu c dalam (a, b) sedemikian sehingga g ′(c) = 0, dan dari persamaan g(x) = ƒ(x) − rx berarti

f'(c)=g'(c)+r=0+r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

seperti yang hendak dibuktikan.

Contoh soal teorema nilai rata-rata

Berikan suatu penaksiran mengenai selisih antara arc sin ⅗ dengan π/6.

Jawaban:

Kita tahu bahwa arc sin ½ = π/6. Dengan teorema nilai rata-rata kita dapat menghitung range nilai selisih antara arc sin ⅗ dengan arc sin ½, yaitu selisih antara arc sin ⅗ dengan π/6. Karena itu kita misalkan f(x) = arc sin x dengan membatasi daerah definisi f menjadi [½,⅗]. Perhatikan bahwa f kontinu pada [½,⅗] dan fmemiliki turunan pada (½,⅗). Khususnya, $f prime (x) ~=~ 1/{sqrt{1 ~-~ x^2}}$ untuk setiap x ∊ (½,⅗). Dengan demikian fmemenuhi semua asumsi keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih suatu ξ ∊ (½,⅗) yang memenuhi . (Eksistensi ξ tersebut dijamin teorema nilai rata-rata.) Dari sini diperoleh $arc sin 0,6 ~-~ {pi}/6 ~=~ 1/{10 sqrt{1 ~-~ {xi}^2}}$ . Karena ½ < ξ < ⅗, dapat ditunjukkan bahwa $1/{5 sqrt{3}} ~<~ 1/{10 sqrt{1 ~-~ {xi}^2}} ~<~ 1/8$ sehingga . Jadi, sebagai jawaban soal ini:

Buktikan bahwa jika n > N² maka (n, N bilangan asli)

Jawaban:

Misalkan n > N². Definisikan fungsi f yang daerah definisinya selang tertutup [n,n+1] dengan f(x) = √x untuk setiap x ∊ [n,n+1]. Perhatikan bahwa f kontinu di [n,n+1] dan f mempunyai turunan di (n,n+1). Khususnya, . Jadi f memenuhi semua syarat keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih ξ ∊ (n,n+1) sedemikian hingga . Jadi, . Karena n < ξ < n+1, . Dari pemisalan n > N² dapat ditunjukkan bahwa , sehingga (terbukti)

Jika a > 0 buktikan bahwa

Jawaban:

Diketahui a > 0. Perhatikan fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [0,a] dengan f(x) = ln (1+x) untuk setiap x ∊ [0,a]. Dapat dibuktikan bahwa f kontinu pada [0,a] dan f memiliki turunan di (0,a). Khususnya, untuk setiap x ∊ (0,a). Dengan demikian f memenuhi semua asumsi keberlakuan teorema nilai rata-rata. Pilih suatu ξ ∊ (0,a) sedemikian hingga . Selanjutnya, diperoleh: