Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

Barisan dan Deret Geometri – Ketika Anda belajar matematika SMA, ada 2 macam barisan & deret yaitu aritmatika dan geometri. Di artikel ini kami akan membahas aritmatika. Jika Anda ingin membaca Barisan Geometri, mohon klik disini.

Pengertian Barisan Matematika

Yang dinamakan barisan dari bilangan real adalah susunan bilangan yang mempunyai sifat keturunan (berpola), unsur-unsur suatu barisan disebut dengan istilah suku-suku barisan, dilambangkan dengan U₁, U₂, U₃, …, Un.
U₁ = suku pertama
U₂ = suku kedua
U₃ = suku ketiga
Un = suku ke-n
Contoh barisan bilangan ganjil
1, 3, 5, 7, 9, …., 2n-1
suku pertaman (U_{1) = 1, suku kedua}(U₂) = 3, dan suku ke-n = 2n-1
Dalam matematika SMA, jenis barisan ada 2 yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri, kali ini kita akan belajar barisan aritmatika dulu!

Barisan Aritmatika

Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu konstan. Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus

U_n-U_n-1 = konstan, dengan n = 2,3,4,...

Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika (dilambangkan b)

U_n-U_n-1 = b

Contoh
23, 30, 37, 44, 51, … merupakan barisan aritmatika dengan beda 7
2, 7/4, 3/2, 5/4, 1, … adalah barisan aritmatika dengan beda -1/4
Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan aritmatika adalah

Un = a + (n-1)b [rumus barisan aritmatika]

Contoh soal Barisan Aritmetika

Suatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. Berapa suku ke seratus dari barisan tersebut.

Jawab :
U₃ = 36 ⇔ a + (3-1) b = 36 ⇔ a + 2b = 36 ……. ₍₁₎U₅ + U₇⇔ a + 4b + a + 6 b = 144 ⇔ 2a + 10 b = 144 ⇔ a + 5b =72 …… ₍₂₎eliminasi persamaan (1) dengan persamaan (2)
a + 2b = 36
a + 5b = 72
————– –
-3b = – 36 ⇔ b = 12
a + 2b = 36
a + 2(12) = 36 ⇔ a + 24 = 36 ⇔ a = 12
suku ke 100, U₁₀₀ = a + (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada suku tengahnya. Lalu bagaimana cara menentukan nilai dari suku tengah tersebut?
Rumus mencari nilai suku tengah

U_t = 1/2 (U₁+U_n)

contoh soal
Jika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1.200 Tentukan suku tengahnya!
U_t = 1/2 (U₁+U_n) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601

Sisipan dalam Barisan Aritmatika

Jika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian Anda sisipkan diantara dua bilangan tersebut bilangan sebanyak k buah, maka akan diperoleh bentuk
m, m+b, m+2b, m+3b, m+4b, …, n
misal kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada 6 suku.
10, 10+b, 10+2b, 10+3b, 10+4b, 20 pertanyaanya berapa nilai beda (b)?
Anda dapat menggunakan rumus U_n = a+(n-1)b ⇔ 20 = 10+(6-1)b ⇔20 = 10 + 5b ⇔ b = 2
untuk rumus cepat Anda bisa menggunakan

b = [n-m]/[k+1]

Deret Aritmatika

Misalkan Anda punya suatu barisam aritmatikan U₁, U₂, U₃, …. U_n
maka jika Anda hitung melakukan penjumlahan suku secara berurutan dari suku pertama hingga suku ke-n, U₁ + U₂ + U₃ + …. + U_n itulah yang sdisebut dengan derat aritmatika. Sebut saja deret adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika. Sn = jumlah n buah suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah

Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)

karena a+(n-1)b = Un

Sn = 1/2 n (a+a+(n-1)b) = 1/2 n (a+Un)

Deret hitung atau deret aritmetika dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu. Contohnya adalah 3,5,7,9,11,13, ….. Deret aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

a,a+b,a+2b,a+3b,...

Dalam hal ini suku ke-n:

\ a_{n}=a+(n-1)b,

Jumlah semua suku:

S_{n}={\frac {n}{2}}(a+a_{n})={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b].

Pembuktian deret aritmetika

Suku ke-n: $a_{1}=a$; $a_{2}=a+b$; $a_{3}=a+2b$

….

a_{n}=a+(n-1)b

jadi jumlah suku ke-n adalah $a_{n}=a+(n-1)b$

Jumlah suku ke-n: $s_{n}=a+a+b+a+2b+....+a+(n-1)b$ …. (1); $s_{n}=a+(n-1)b+a+(n-2)b+a+(n-3)b+....+a+2b+a+b+a$ … (2) dibalik dengan cara cermin

persamaan (1) ditambah (2) menjadi:

s_{n}+s_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+....+2a+(n-1)b

karena

2a+(n-1)b

sama banyaknya menjadi jumlah

n

2s_{n}=n[2a+(n-1)b]

s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]

Rumus umum deret aritmetika

a_{n}=a+(n-1)b

s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]

b=a_{n}-a_{n-1}

u_{t}={\frac {a+{a_{n}}}{2}}

n_{b}=n+(n-1)x

b_{b}={\frac {b}{x+1}}

Jika terjadi beda bertingkat sbb: $A_{n}=A+{\frac {(n-1)}{1!}}B+{\frac {(n-2)}{2!}}C+{\frac {(n-3)}{3!}}D+dst$; $S_{n}={\frac {n}{1!}}A+{\frac {n(n-1)}{2!}}B+{\frac {n(n-2)}{3!}}C+{\frac {n(n-3)}{4!}}D+dst$

Contoh Soal Deret Aritmetika

Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari Anda hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S₅). Pertama kita cari nilai a dan b.

U₃ = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U₄ = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
– b = -4 ⇔ b = 4

a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S₅= 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.

Bacaan Lainnya

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Barisan Aritmetika dan Deret Aritmetika