Deret Geometri atau Deret Ukur Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Deret Ukur atau Deret Geometri

Deret ukur atau deret geometri dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Deret ukur dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

{\displaystyle ar^{0}=a,ar^{1}=ar,ar^{2},ar^{3},...\,}

di mana r ≠ 0 adalah bilangan rasio pengali dan a adalah faktor skala. Dalam hal ini suku ke-n:

{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}

Jumlah semua suku:

{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}} untuk r > 1, dan

{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}} untuk r < 1.

 

Pembuktian deret geometri

Suku ke-n
{\displaystyle a_{1}=a}
{\displaystyle a_{2}=a\,r^{1}}
{\displaystyle a_{3}=a\,r^{2}}

….

{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}

jadi jumlah suku ke-n adalah {\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}

Jumlah suku ke-n
{\displaystyle s_{n}=a+a\,r^{1}+a\,r^{2}+....+a\,r^{n-2}+a\,r^{n-1}} …. (1)
{\displaystyle s_{n}r=a\,r^{1}+a\,r^{2}+a\,r^{3}+....+a\,r^{n-1}+a\,r^{n}} … (2) dikalikan dengan r

persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:

{\displaystyle s_{n}-s_{n}r=a-a\,r^{1}+a\,r^{1}-a\,r^{2}+a\,r^{2}-a\,r^{3}+....+a\,r^{n-2}-a\,r^{n-1}+a\,r^{n-1}-a\,r^{n}}
{\displaystyle s_{n}\,(1-r)=a-a\,r^{n}}
{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(1-r^{n})}{1-r}}}

 

Deret geometri tak terhingga

{\displaystyle s_{\infty }={\frac {a}{1-r}}} untuk -1 < r < 1 di mana {\displaystyle n} adalah {\displaystyle \infty } serta {\displaystyle r^{n}} adalah 0.

 

Deret geometri ganjil dan genap

{\displaystyle s_{n}={\frac {a}{1-r^{2}}}} untuk bilangan ganjil.
{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,r}{1-r^{2}}}} untuk bilangan genap.

 

Rumus umum deret geometri

{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}
{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(1-r^{n})}{1-r}}} untuk r < 1
{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(r^{n}-1)}{r-1}}} untuk r > 1
{\displaystyle s_{\infty }={\frac {a}{1-r}}} untuk -1 < r < 1
{\displaystyle r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}}
{\displaystyle u_{t}={\sqrt {a\,{a_{n}}}}}
{\displaystyle n_{b}=n+(n-1)x}
{\displaystyle r_{b}=r^{\frac {1}{x+1}}}
Deret geometri deret ukur

Diagram yang menunjukkan jumlah 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … adalah mendekati 2.

 

Soal dan Jawaban Deret Geometri

1. Soal: \displaystyle \int \left( \sin x + \sin^3 x + \sin^5 + \dots \right) \, \mathrm{d}x = ...

Jawaban:

Bentuk dalam integral merupakan Deret Geometri tak hingga dengan suku pertama a = \sin xdan rasio r = \sin^2 x, sehingga bentuk integral tersebut dapat ditulis

\displaystyle \begin{aligned} \int \left( \sin x + \sin^3 x + \sin^5 + \dots \right) \, \mathrm{d}x &= \int \dfrac{\sin x}{1-\sin^2 x} \, \mathrm{d}x \end{aligned}

Dengan memisalkan u = \cos x \rightarrow -\mathrm{d}u = \sin x \, \mathrm{d}x dan mengganti 1 - \sin^2 x = \cos^2 x = u^2 maka

\displaystyle \begin{aligned} \int \dfrac{\sin x}{1-\sin^2 x} \, \mathrm{d}x &= \int \dfrac{1}{u^2} \, (-\mathrm{d}u) \\ &= u^{-1} + C \\ &= \sec x + C \\ \end{aligned}

 

 

2. Soal: Diketahui deret geometri tak hingga ~u_1+u_2+u_3+\dots, Jika rasio deret tersebut adalah ~r~dengan ~-1<r<1,
u_1+u_2+u_3+\dots=3, dan
u_3+u_4+u_5+\dots=1, maka nilai ~r~ adalah…

Jawaban:

~-1<r<1 \rightarrow \text{ deret geometri konvergen }.

u_1+u_2+u_3+\dots=3

\displaystyle \begin{aligned} S_\infty&=\frac{a}{1-r}\\ 3&=\frac{a}{1-r}~~~~~... (1) \end{aligned}

u_3+u_4+u_5+\dots=1

\displaystyle \begin{aligned} S_\infty&=\frac{ar^2}{1-r}\\ 1&=\frac{ar^2}{1-r}~~~~~... (2) \end{aligned}

Dengan membagi pers (2) oleh (1) diperoleh

\displaystyle \begin{aligned} r^2&=\frac{1}{3} \\ \therefore\: r&=\pm \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}

catatan:
Deret geometri tak hingga konvergen
\boxed{~S_\infty=\frac{a}{1-r}~}

Suku ke-n barisan geometri
\boxed{~U_n=ar^{r-1}~}

 

 

3. Soal: Tiga bilangan membentk barisan geometri dengan rasio positif. Jika bilangan kedua ditambah 4, diperoleh barisan aritmetika. Jika bilangan pertama adalah 2, maka jumlah ketiga bilangan semula adalah…

Jawaban:

\displaystyle \begin{array}{cccl} 2,&2r,&2r^2& ~\text{ (Barisan Geometri)}\\ 2,&2r+4,&2r^2& ~\text{ (Barisan Aritmetika)} \end{array}

Pada barisan aritmetika dengan menggunakan rumus suku tengah diperoleh:

\displaystyle \begin{aligned} 2(2r+4)&=a+2r^2\\ r^2-2r-3&=0\\ (r-3)(r+1)&=0\\ \therefore\: r_1&=3\\ r_2&=-1&~~~~\text{(tidak memenuhi, r harus positif)} \end{aligned}

Jadi jumlah 3 suku pertama deret Geometri: 2+2(3)+2(3)^2=26

catatan:
Suku tengah barisan aritmetika
\boxed{~U_t=\dfrac{a+U_n}{2}~}

 

Diagram yang menunjukkan jumlah 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … adalah mendekati 2.

 

 

 

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan? Pasang iklan & promosikan jualan Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan? Pasang iklan & promosikan jualan atau jasa Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

 

Cara daftar pasang iklan gratis

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2019-02-12T20:00:31+07:00 Juli 11th, 2018|Matematika|0 Comments

Leave A Comment