Deret Geometri atau Deret Ukur Beserta Contoh Soal dan Jawaban

1 min read

Deret geometri deret ukur

Deret Ukur atau Deret Geometri

Deret ukur atau deret geometri dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Deret ukur dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

{\displaystyle ar^{0}=a,ar^{1}=ar,ar^{2},ar^{3},...\,}

di mana r ≠ 0 adalah bilangan rasio pengali dan a adalah faktor skala. Dalam hal ini suku ke-n:

{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}

Jumlah semua suku:

{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}} untuk r > 1, dan

{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}} untuk r < 1.

1. Pembuktian deret geometri

Suku ke-n
{\displaystyle a_{1}=a}
{\displaystyle a_{2}=a\,r^{1}}
{\displaystyle a_{3}=a\,r^{2}}

….

{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}

jadi jumlah suku ke-n adalah {\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}

Jumlah suku ke-n
{\displaystyle s_{n}=a+a\,r^{1}+a\,r^{2}+....+a\,r^{n-2}+a\,r^{n-1}} …. (1)
{\displaystyle s_{n}r=a\,r^{1}+a\,r^{2}+a\,r^{3}+....+a\,r^{n-1}+a\,r^{n}} … (2) dikalikan dengan r

persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:

{\displaystyle s_{n}-s_{n}r=a-a\,r^{1}+a\,r^{1}-a\,r^{2}+a\,r^{2}-a\,r^{3}+....+a\,r^{n-2}-a\,r^{n-1}+a\,r^{n-1}-a\,r^{n}}
{\displaystyle s_{n}\,(1-r)=a-a\,r^{n}}
{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(1-r^{n})}{1-r}}}

2. Deret geometri tak terhingga

{\displaystyle s_{\infty }={\frac {a}{1-r}}} untuk -1 < r < 1 di mana {\displaystyle n} adalah {\displaystyle \infty } serta {\displaystyle r^{n}} adalah 0.

3. Ganjil dan genap

{\displaystyle s_{n}={\frac {a}{1-r^{2}}}} untuk bilangan ganjil.
{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,r}{1-r^{2}}}} untuk bilangan genap.

Rumus umum deret geometri

{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}
{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(1-r^{n})}{1-r}}} untuk r < 1
{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(r^{n}-1)}{r-1}}} untuk r > 1
{\displaystyle s_{\infty }={\frac {a}{1-r}}} untuk -1 < r < 1
{\displaystyle r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}}
{\displaystyle u_{t}={\sqrt {a\,{a_{n}}}}}
{\displaystyle n_{b}=n+(n-1)x}
{\displaystyle r_{b}=r^{\frac {1}{x+1}}}
Deret geometri deret ukur
Diagram yang menunjukkan jumlah 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … adalah mendekati 2.

Soal dan Jawaban Deret Geometri

1. Soal: \displaystyle \int \left( \sin x + \sin^3 x + \sin^5 + \dots \right) \, \mathrm{d}x = ...

Jawaban:

Bentuk dalam integral merupakan Deret Geometri tak hingga dengan suku pertama a = \sin xdan rasio r = \sin^2 x, sehingga bentuk integral tersebut dapat ditulis

\displaystyle \begin{aligned} \int \left( \sin x + \sin^3 x + \sin^5 + \dots \right) \, \mathrm{d}x &= \int \dfrac{\sin x}{1-\sin^2 x} \, \mathrm{d}x \end{aligned}

Dengan memisalkan u = \cos x \rightarrow -\mathrm{d}u = \sin x \, \mathrm{d}x dan mengganti 1 - \sin^2 x = \cos^2 x = u^2 maka

\displaystyle \begin{aligned} \int \dfrac{\sin x}{1-\sin^2 x} \, \mathrm{d}x &= \int \dfrac{1}{u^2} \, (-\mathrm{d}u) \\ &= u^{-1} + C \\ &= \sec x + C \\ \end{aligned}

2. Soal: Diketahui deret yang tak hingga ~u_1+u_2+u_3+\dots, Jika rasio deret tersebut adalah ~r~dengan ~-1<r<1,
u_1+u_2+u_3+\dots=3, dan
u_3+u_4+u_5+\dots=1, maka nilai ~r~ adalah…

Jawaban:

~-1<r<1 \rightarrow \text{ deret geometri konvergen }.

u_1+u_2+u_3+\dots=3

\displaystyle \begin{aligned} S_\infty&=\frac{a}{1-r}\\ 3&=\frac{a}{1-r}~~~~~... (1) \end{aligned}

u_3+u_4+u_5+\dots=1

\displaystyle \begin{aligned} S_\infty&=\frac{ar^2}{1-r}\\ 1&=\frac{ar^2}{1-r}~~~~~... (2) \end{aligned}

Dengan membagi pers (2) oleh (1) diperoleh

\displaystyle \begin{aligned} r^2&=\frac{1}{3} \\ \therefore\: r&=\pm \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}

catatan:
Deret yang tak hingga konvergen
\boxed{~S_\infty=\frac{a}{1-r}~}

Suku ke-n barisan geometri
\boxed{~U_n=ar^{r-1}~}

3. Soal: Tiga bilangan membentk barisan geometri dengan rasio positif. Jika bilangan kedua ditambah 4, diperoleh barisan aritmetika. Jika bilangan pertama adalah 2, maka jumlah ketiga bilangan semula adalah…

Jawaban:

\displaystyle \begin{array}{cccl} 2,&2r,&2r^2& ~\text{ (Barisan Geometri)}\\ 2,&2r+4,&2r^2& ~\text{ (Barisan Aritmetika)} \end{array}

Pada barisan aritmetika dengan menggunakan rumus suku tengah diperoleh:

\displaystyle \begin{aligned} 2(2r+4)&=a+2r^2\\ r^2-2r-3&=0\\ (r-3)(r+1)&=0\\ \therefore\: r_1&=3\\ r_2&=-1&~~~~\text{(tidak memenuhi, r harus positif)} \end{aligned}

Jadi jumlah 3 suku pertamanya: 2+2(3)+2(3)^2=26

catatan:
Suku tengah barisan aritmetika
\boxed{~U_t=\dfrac{a+U_n}{2}~}

Diagram yang menunjukkan jumlah 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … adalah mendekati 2.

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.