Integral Kalkulus
Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Temukan dibawah ini rumus integral kalkulus.
Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah
Bila diberikan suatu fungsif dari variabel realx dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu
didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.
Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:
Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:
Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus, dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.
Definisi formal – Integral Kalkulus
Ada beberapa cara untuk mendefinisikan integral.
Integral Riemann
Integral Riemann adalah konsep integral yang dasar. Definisi itu mudah dan berguna khususnya untuk fungsi-fungsi yang kontinu atau kontinu ‘titik demi titik’.
Integral Lebesgue
Integral Lebesgue merupakan suatu perumuman dari integral Riemann.
Mencari nilai integral
Substitusi
- Contoh soal:
- Cari nilai dari:
Integrasi parsial
- Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:
- Cara 1
- Contoh soal:
- Cari nilai dari:
- Gunakan rumus di atas
- Cara 2
Tabel | Turunan | Integral |
---|---|---|
+ | ||
– | ||
+ |
- Contoh soal:
- Cari nilai dari:
Tabel | Turunan | Integral |
---|---|---|
+ | ||
– | ||
+ |
- Gunakan rumus di atas
(?)
(?)
Substitusi trigonometri
Bentuk | Gunakan |
- Contoh soal:
- Cari nilai dari:
- Cari nilai dari:
dengan menggunakan substitusi
- Cari nilai dari:
- Masukkan nilai tersebut:
- Nilai sin A adalah
- Nilai sin A adalah
Integrasi pecahan parsial
- Contoh soal:
- Cari nilai dari:
- Akan diperoleh dua persamaan yaitu
dan
- Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil
Integral Tak Tentu (antiderivatif)
Integral tak tentu atau antiturunan atau antiderivatif (bahasa Inggris: “indefinite integral” atau “antiderivative”) adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.
Bila fungsi F adalah integral tak tentu dari suatu fungsi f maka berlaku F’= f.
Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi. Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui “Teorema dasar kalkulus”, dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.
Contoh Integral Tak Tentu (antiderivatif)
Penggunaan
Penentuan integral tentu. Bila fungsi F adalah integral tak tentu dari suatu fungsi f dan F’= f :
Rumus integrasi dasar
Umum
; n ≠ -1
Eksponen dan bilangan natural
; a ≠ 1 dan a > 0
Logaritma dan bilangan natural
Trigonometri
- Invers
Hiperbolik
Panjang busur
- Sumbu x
- Sumbu y
Luas daerah
Satu kurva
- Sumbu x
- Sumbu y
Dua kurva
- Sumbu x
- Sumbu y
atau juga
Luas permukaan benda putar
- Sumbu x
dimana
- Sumbu y
dimana
Volume benda putar- Integral Kalkulus
Satu kurva
- Sumbu x
- Sumbu y
Dua kurva
- Sumbu x
- Sumbu y
Contoh Soal dan Jawaban Integral Kalkulus
- Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis
dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!
karena
- Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis
dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!
karena
- Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis
dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!
karena
- Buktikan luas persegi panjang
dengan rumus integral!
- Dengan posisi
dan titik (l,p)
- Buktikan luas segitiga
dengan rumus integral!
- Dengan posisi
dan titik (t,a)
- Buktikan volume tabung
dengan rumus integral!
- Dengan posisi
dan titik (t,r)
- Buktikan volume kerucut
dengan rumus integral!
- Dengan posisi
dan titik (t,r)
- Buktikan volume bola
dengan rumus integral!
dan titik (-r,0) serta (r,0)
Tabel Integral Kalkulus
Integral merupakan operasi dasar dalam kalkulus integral. Sementara diferensiasi mempunyai kaidah-kaidah mudah di mana turunan dari suatu fungsi yang rumit dapat dihitung dengan melakukan diferensiasi dari fungsi komponen yang lebih sederhana, integrasi tidak demikian, sehingga table dari integral yang sudah diketahui seringkali sangat berguna. Berikut adalah sejumlah antiderivatif yang paling umum
Artikel ini memberikan tabel operasi integrasi yang umum dijumpai. Pada daftar integrasi di bawah ini, C menyatakan konstanta sebarang.
Aturan integrasi dari fungsi-fungsi umum Integral Kalkulus
Integral fungsi sederhana
C sering digunakan untuk arbitrary constant of integration yang hanya dapat ditentukan jika suatu nilai integral pada beberapa titik sudah diketahui. Jadi setiap fungsi mempunyai jumlah antiderivatif tidak terbatas.
Rumus-rumus berikut hanya menyatakan dalam bentuk lain pernyataan-pernyataan dalam tabel turunan.
Fungsi rasional
Fungsi irrasional
Fungsi logaritma
Fungsi eksponensial
Fungsi trigonometri
Fungsi hiperbolik
Fungsi inversi hiperbolik
“Sophomore’s dream”
diyakini berasal dari Johann Bernoulli.
Soal dan Jawaban
Jika kurva y = f(x) melalui titik (1, 6), tentukan persamaan kurva tersebut.
2. Soal: Jika
, maka
untuk nilai 
Jawaban:
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai sehingga
3. Berapakah hasil dari integral ∫cos(2x−5)dx∫cos(2x−5)dx ?
Jawaban:
Tulis u=2x−5u=2x−5
Maka du=2dx
Jadi
∫cos(2x−5)dx
=∫12cos u du
=12sin u+c
=12sin(2x−5)+c
4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
dan
adalah…
Mencari koordinat titik potong
Luas daerah yang diarsir ..
5. Soal: Jika pada integral
disubtitusikan
, maka menghasilkan…
Jawaban:
Dengan memisalkan , didapat:
Pergantian batas integral
Sehingga bentuk integralnya menjadi :
6. Soal: Jika pada integral
disubtitusikan
, maka menghasilkan…
Dengan memisalkan , didapat:
Pergantian batas integral
Sehingga bentuk integralnya menjadi :
7. Soal: 
Jawaban:
Bentuk dalam integral merupakan Deret Geometri tak hingga dengan suku pertama dan rasio
, sehingga bentuk integral tersebut dapat ditulis
Dengan memisalkan dan mengganti
maka
8. Jika diketahui garis singgung parabola
, pada titik
membentuk sudut terhadap sumbu
sebesar
. Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus
dan parabola tersebut adalah…
Jawaban:
Garis singgung membentuk sudut terhadap sumbu x sebesar arctan(6)
Sehingga gradien garis singgung di x = -2
Sedangkan , berarti
Daerah yang dibatasi dan
Titik potong kurva
Luas daerah yang dibatasi dan
Persamaan (*) mempunyai nilai diskriminan , sehingga luas daerah yang dibatasi
dan
catatan:
9. Soal: Parabola
mempunyai titik puncak
. Jika
dan
dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 4, maka nilai
adalah…
Jawaban:
Puncak parabola
Deret Geometri dan
catatan:
Fungsi kuadrat dengan titik puncak
Deret Geometri tak hingga konvergen dengan suku pertama a dan rasio r
Rasio deret geometri
Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar
- Faktorial Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban
- Teorema Rolle Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)
- Deret Taylor Matematika dan Teorema Taylor Bersama Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)
- Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban (Kalkulus)
- Rumus Limit Fungsi Matematika Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban
- Fungsi Matematika: Linear, Konstan, Identitas – Beserta Soal dan Jawaban
- Topologi Matematika – Contoh Soal dan Jawaban Ruang Topologi
- Rumus Matematika Keuangan – Contoh Soal dan Jawaban
- Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban
- Jenis dan Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini
- Bidang-Bidang Matematika: Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, Terapan
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Mudah Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?
- Penyakit yang dapat dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui
- Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia
- Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri
- Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?
- Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!
Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz |Matematika|IPA | Geografi & Sejarah|Info Unik|Lainnya | Business & Marketing