fbpx

Akar Kuadrat / Pangkat

Akar Kuadrat Adalah

Sebuah perhitungan matematika aljabar dari sebuah faktor angka dengan cara meng-kuadratkan yang menghasilkan angka tersebut (disebut sebagai akar kuadrat).

Di dalam matematika, akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r² = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan sama dengan x.
 

Cara Menghitung Akar Kuadrat Dengan Faktoriasi

Berapakah akar dari 64
64 = 2 x 32 = 2 x 2 x 16 = 4 x 16
Maka
akar 64 = akar 4 x akar 16
= 2 x 4 = 8 selesai

Misalkan berapa akar dari 72
72 = 9 x 8 = 9 x 4 x 2
= 3 x 2 x akar 2, sama dengan 6 akar 2 atau

 

Sifat Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:

x1 + x2 = –b/a

x1.x2 = c/a

|x1 – x2| = –D/a

(Mohon dingat! D = b2 – 4.a.c)
 

Contoh Akar Kuadrat

√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10
√169 = 13, karena 13 × 13 = 169
√1225 = 35, karena 35 × 35 = 1225



 

Cara Menyederhanakan Akar

Berikut ini adalah beberpa cara untuk menyederhanakan akar dengan cara:

  • Memfaktorkan

    Tujuan menyederhanakan akar kuadrat adalah menuliskannya dalam bentuk yang mudah dipahami dan digunakan dalam soal matematika. Dengan memfaktorkan, angka yang besar akan dipecahkan menjadi dua atau lebih angka “faktor” yang lebih kecil, sebagai contohnya mengubah 9 menjadi 3 x 3. Setelah kita menemukan faktor ini, kita dapat menuliskan kembali akar kuadrat dalam bentuk yang lebih sederhana, terkadang bahkan mengubahnya menjadi bilangan bulat biasa. Sebagai contohnya, √9 = √(3×3) = 3. Ikuti langkah berikut ini untuk mempelajari proses ini dalam akar kuadrat yang lebih rumit.

  • Membagi

    Bagi angka dengan bilangan prima terkecil yang mungkin. Jika angka yang berada di bawah tanda akar adalah bilangan genap, bagi dengan 2. Jika angkamu ganjil, maka cobalah bagi dengan 5. Jika tidak satupun dari pembagian ini memberikanmu hasil bilangan bulat, cobalah angka selanjutnya dalam daftar di bawah ini, membagi dengan setiap bilangan prima hingga mendapatkan bilangan bulat sebagai hasilnya. Anda hanya perlu menguji bilangan prima saja, karena semua angka lain memiliki bilangan prima sebagai faktornya. Sebagai contohnya, kamu tidak perlu menguji dengan angka 4, karena semua angka yang bisa dibagi 4 juga bisa dibagi 2, yang telah Anda coba sebelumnya: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, dst.

  • Dikalikan

    Tulis ulang akar kuadrat sebagai soal perkalian. Tetap tuliskan perkalian ini di bawah tanda akar, dan jangan lupa menyertakan kedua faktornya. Sebagai contoh, jika kamu mencoba menyederhanakan √98, Ikuti langkah di atas untuk menemukan bahwa 98 ÷ 2 = 49, jadi 98 = 2 x 49. Tulis ulang angka “98” dalam bentuk akar kuadrat aslinya menggunakan informasi ini: √98 = √(2 x 49).
    Atau kalikan angka di dalam akar. Angka di dalam akar adalah angka yang berada di bawah tanda akar. Untuk mengalikan angka di dalam akar, kalikan angka-angka itu seperti mengalikan angka bulat. Pastikan untuk menuliskan hasil perkaliannya di bawah tanda akar. Contohnya: √15x√5, Anda dapat menghitung 15×5= 75. Jadi √15x√5=75

 

Contoh Penyederhanaan Akar

  • √75 = √25×3 = √25 x √3 = 5√3
  • Contoh soal, sederhanakan:
    5√24 + 3√3(√18 + 2√32)
    Pembahasan:
    5√24 + 3√3(√18 + 2√32)
    = 5√4 √6 + 3√3 √18 + 3√3 . 2√32
    =5.2 √6 + 3√3 √9√2 + 3√3 .2√16√2
    = 10√6 + 3√3 .3√2 + 3√3 . 2 .4√2
    = 10√6 + 9√6 + 24√6 = 43√6
  • Hitung dan sederhanakan:
    a) √2 + √4 + √8 + √16
    b) √3 + √9 + √27
    c) 2√2 + 2√8 + 2√32
    Pembahasan
    a) √2 + √4 + √8 + √16
    = √2 + √4 + √4 √ 2 + √16 = √2 + 2 + 2√2 + 4 = 2 + 4 + √2 + 2√2 = 6 + 3√2
    b) √3 + √9 + √27
    = √3 + √9 + √9 √3 = √3 + 3 + 3√3 = 3 + 4√3
    c) 2√2 + 2√8 + 2√32
    = 2√2 + 2√4 √2 + 2√16 √2 = 2√2 + 2 (2)√2 + 2(4)√2 = 2√2 + 4√2 + 8√2 = 14√2



 

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax2 + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
 

Bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat

Jumlah kuadrat akar-akar:
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2.x1.x2
Jumlah pangkat tiga akar-akar:
x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3.x1.x2.(x1 + x2)
Jumlah pangkat empat akar-akar:
x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2.x12.x22



 

Hubungan Jenis Akar-akar PK dengan Nilai Diskriminan (D)

  • Jika D > 0 maka PK mempunyai 2 akar real yang berlainan
→ D = bilangan kuadrat berarti akar-akarnya rasional
→ D bukan bilangan kuadrat berarti akar-akarnya irasional
  • Jika D = 0 maka PK m,empunyai 1 akar real atau akar-akarnya kembar
  • Jika D ≥ 0 maka PK mempunyai 2 akar real/nyata
  • Jika D < 0 maka PK tidak mempuyai akar real / akar-akarnya imajiner
  • Jika kedua akar positif (x1 > 0, x2 > 0)
D ≥ 0
x1 + x2 > 0
x1.x2 > 0
  • Jika kedua akar negatif (x1 < 0 dan x2 < 0)
D ≥ 0
x1 + x2 < 0
x1.x2 > 0
  • Jika kedua akar berlainan tanda (1 positif, 1 negatif)
D > 0
x1.x2 < 0
  • Jika kedua akar bertanda sama (sama-sama positif/sama-sama negatif)
D ≥ 0
x1.x2 > 0
  • Jika kedua akar saling berlawanan (x1 = –x2)
D > 0
b = 0 (diperoleh dari x1 + x2 = 0)
x1.x2 < 0
  • Jika kedua akar saling berkebalikan (x1 = 1/x2)
D > 0
c = a

Contoh 1:
Tentukan nilai m agar x2 + 4x + (m – 4) = 0 mempunyai 2 akar real
D ≥ 0
b2 – 4ac ≥ 0
42 – 4.1.(m – 4) ≥ 0
16 – 4m + 16 ≥ 0
–4m ≥ –16 – 16
Semua dibagi –4
(Mohon dingat! Jika dibagi atau dikali bilangan negatif tanda pertidaksamaan dibalik)
m ≤ 4 + 4
m ≤ 8



 

Menyusun PK

PK dengan akar-akar x1 dan x2 adalah:

x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0

dengan kata lain:

x2 – (jumlah akar-akar)x + (hasil kali akar-akar) = 0

Contoh 1:
Tentukan PK yang mempunyai akar-akar 2 dan –5:
x2 – (2 + (–5))x + (2.(–5)) = 0
x2 + 3x – 10 = 0

Contoh 2:
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar PK: x2 – 3x – 1 = 0, susun PK baru yang akar-akarnya 3x1 + 2 dan 3x2 + 2!
Karena PK tersebut tidak dapat difaktorkan,
x1 + x2 = –b/a = –(– 3) /1 = 3
x1.x2 = c/a = –1/1 = –1
Misal akar-akar PK baru adalah y1 dan y2:
y1 + y2 = 3.x1 + 2 + 3.x2 + 2
= 3(x1 + x2) + 4 = 9 + 4 = 13
y1.y2 = (3x1 + 2).(3x2 + 2)
= 9.x1.x2 + 6.x1 + 6.x2 + 4
= 9.(–1) + 6.3 + 4 = –9 + 18 + 4 = 13
Jadi PK barunya:
x2 – (y1 + y2)x + (y1.y2) = 0
x2 – 13x + 13 = 0
 

Soal

Tentukan nilai k agar persamaan² kuadrat berikut memiliki akar kembar

a. x²-2x+k=0
b. 2x²-4x+k=0
c. kx²-6x+1/2=0
d. 3x²-kx+5=0
e. 2kx²+3x+2=0

Jawaban

suatu persamaan kuadrat akan memiliki akar kembar jika D = 0
D = b² – 4ac

1.] x² – 2x + k = 0
D = 0
4 – 4 . 1 . k = 0
4 – 4k = 0
4k = 4
k = 1

2.] 2x² – 4x + k = 0
D = 0
16 – 4 . 2 . k = 0
16 – 8k = 0
8k = 16
k = 2

3.] kx² – 6x + 1/2 = 0
36 – 4 . k . 1/2 = 0
36 – 2k = 0
2k = 36
k = 18

4.] 3x² – kx + 5 = 0
D = 0
k² – 4 . 3 . 5 = 0
k² – 60 = 0
k = ± √60

5.] 2kx² + 3x + 2 = 0
D = 0
9 – 4 . 2k . 2 = 0
9 – 16k = 0
16k = 9
k = 9/16



 

Fungsi Akar Kuadrat

Fungsi akar kuadrat utama  (biasanya hanya disebut sebagai “fungsi akar kuadrat”) adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real taknegatif R+ ∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Fungsi akar kuadrat juga memetakan bilangan rasional ke dalam bilangan aljabar (adihimpunan bilangan rasional);  adalah rasional jika dan hanya jika x adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua kuadrat sempurna. Di dalam istilah geometri, fungsi akar kuadrat memetakan luas dari persegi kepada panjang sisinya.

  • Untuk setiap bilangan real x
     (lihat nilai absolut)
  • Untuk setiap bilangan real taknegatif x dan y,
dan

  • Fungsi akar kuadrat adalah kontinu untuk setiap bilangan taknegatif x dan terdiferensialkan untuk setiap bilangan positif x. Turunannya diberikan oleh
  • Deret Taylor dari √1 + x di dekat x = 0 konvergen ke | x | < 1 dan diberikan oleh

 

Bilangan Rasional adalah

Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.
 

Bilangan Irasional adalah

Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 …. Selanjutnya, gabungan antara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.



 

Soal dan Jawaban Lainnya Dari Akar Kuadrat / Pangkat

1. Soal: Hasil dari 8 ² + 4² – 5² adalah…

Jawaban:

8² + 4²- 5² = 64 + 16 – 25 = 55
 

2. Soal: Hasil dari √123√123 x 123 adalah…

Jawaban:

√123√123²
123 x 123
15129 atau 1,5129 x 104
 

3. Soal: Sederhanakan 5√24 + 3√3(√18 + 2√32)

Jawaban:

5√24 + 3√3(√18 + 2√32)
= 5√4 √6 + 3√3 √18 + 3√3 . 2√32
=5.2 √6 + 3√3 √9√2 + 3√3 .2√16√2
= 10√6 + 3√3 .3√2 + 3√3 . 2 .4√2
= 10√6 + 9√6 + 24√6 = 43√6
 

4. Soal: Kamar tidur Tina berbentuk kubus. Lantai kamar tidur Tina tertutup ubin berukuran 30 cm x 30 cm sebanyak 81 buah. Berapa panjang sisi kamar Doni?

Jawaban:

Luas lantai kamar = 30 cm x 30 cm × 81 = 72.900 cm².
Panjang sisi kamar = √72.900 = 270 cm
Jadi, panjang sisi kamar Roni adalah 270 cm.
 

5. Dengan menggunakan pola yang diberikan, cari nomor yang hilang:

12 + 22 + 22 = 32
22 + 32 + 62 = 72
32 + 42 + 122 = 132
42 + 52 + _2 = 212
52 + _2 + 302 = 312
62 + 72 + _2 = _2

Jawaban:

12 + 22 + 22 = 32
22 + 32 + 62 = 72
32 + 42 + 122 = 132
42 + 52 + 202 = 212
52 + 62 + 302 = 312
62 + 72 + 422 = 432
 

6. Soal: Hasil dari √( x + 1) = 4 adalah…

Jawaban:

[ √( x + 1) ] 2 = 4 2
x + 1 = 16
x = 15

CATATAN: Karena kita mengkuadratkan kedua sisi, tanpa menempatkan kondisi apa pun, solusi tambahan mungkin dapat diperkenalkan, lihat juga solusi lainnya.

Sisi kiri (kiri) dari persamaan yang diberikan ketika x = 15
Kiri = √ (x + 1) = √ (15 + 1) = 4
Sisi Kanan (kanan) dari persamaan yang diberikan ketika x = 15
Kanan= 4
 

7. Soal: Hasil dari √( 3 x + 1) = x – 3 adalah…

Jawaban:

[ √( 3 x + 1) ] 2 = (x – 3) 2
3 x + 1 = x 2 – 6 x + 9
x 2 – 9 x + 8 = 0
x = 8 and x = 1

CATATAN: Karena kita mengkuadratkan kedua sisi, solusi lainnya dapat diperkenalkan, memeriksa solusi dalam persamaan asli diperlukan.
1. periksa persamaan untuk x = 8.
Sisi kiri (kiri) dari persamaan yang diberikan ketika x = 8
Kiri = √ (3 x + 1) = √ (3 * 8 + 1) = 5
Sisi Kanan (Kanan) dari persamaan yang diberikan ketika x = 8
Kanan = x – 3 = 8 – 3 = 5
2. periksa persamaan untuk x = 1.
Kiri = √ (3 x + 1) = √ (3 * 1 + 1) = 2
Sisi Kanan (Kanan) dari persamaan yang diberikan ketika x = 8
Kanan= x – 3 = 1 – 3 = -2
Untuk x = 8 sisi kiri dan kanan persamaan adalah sama dan x = 8 adalah solusi untuk persamaan yang diberikan. x = 1 bukanlah solusi untuk persamaan yang diberikan; itu adalah solusi lain yang dapat diperkenalkan karena peningkatan kuadrat 2.
 

8. Soal: Hasil dari 3√( x 2 + 2 x + 8 ) = 2 adalah…

Jawaban:

3√( x 2 + 2 x + 8 ) ] 3 = 2 3
x 2 + 2 x + 8 = 8
x 2 + 2 x = 0
x (x + 2) = 0
x = 0 dan x = – 2.

Mari kita periksa solusi yang didapat sebagai latihan.
1. x = 0
Sisi kiri (Kiri) dari persamaan yang diberikan ketika x = 0
Kiri = 3√ (x 2 + 2 x + 8) = cube_root (0 + 0 + 8) = 2
Sisi Kanan (Kanan) dari persamaan yang diberikan ketika x = 0
Kanan = 2
2. x = -2
Sisi kiri (Kiri) dari persamaan yang diberikan ketika x = 0
Kiri = 3√ (x 2 + 2 x + 8)
= 3√ ((-2) 2 + 2 * (- 2) + 8) = cube_root (8) = 2
Sisi Kanan (Kanan) dari persamaan yang diberikan ketika x = 0
Kanan = 2
 

9. Soal: Luas dua buah persegi adalah 441 cm² dan 625 cm².
Hitunglah panjang sisi kedua persegi itu!

Jawaban:

Panjang sisi persegi =√441 = 21 cm, √625 = 25 cm Jadi, panjang kedua sisi persegi tersebut adalah 21 cm dan 25 cm.
 

10. Soal: Nilai dari \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}-3 adalah…

Jawaban:

Untuk memudahkan perhitungan, misalkan \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = p

\displaystyle \begin{aligned} p &=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} ~~~ ... \:\text{(kedua ruas pangkat 3)}\\ p^3 &=\left(2+\sqrt{5}\right)+\left(2-\sqrt{5}\right)+3\left( \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)\left( \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right) \\ p^3 & = 4 + 3\cdot \sqrt[3]{-1}\cdot p \\ 0 &= p^3 +3p -4 \\ 0 &= (p-1)(p^2+p+4) \end{aligned}

Karena faktor (p^2+p+4) definit positif (selalu positif), maka (p-1) = 0 \rightarrow p = 1, sehingga \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}-3 = p - 3 = 1 - 3 = -2

Jawaban : A

catatan:
\boxed{~(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)~}
 

11. Soal: Hitung dan sederhanakan bentuk akar berikut ini:
a) √2 + 3√2 + 5√2
b) 5√3 + 3√3 − √3
c) 8√3 + 6 √2 + 12√3 − 4√2

Jawaban:
a) √2 + 3√2 + 5√2
= (1 + 3 + 5)√2 = 9√2

b) 5√3 + 3√3 − √3
= (5 + 3 − 1)√3 = 7√3

c) 8√3 + 6 √2 + 12√3 − 4√2
= 8√3 + 12√3 + 6√2 − 4√2 = (8 + 12)√3 + (4 − 2)√2 = 20√3 + 2√2
 

12. Soal: Sederhanakan bentuk berikut:
a) 5/√3
b) 20/√5

Jawaban:

a) 5/√3
        5     √3      5
_____ x ___ = ___ √3 
      √3    √3      3

b) 20/√5

      20     √5      20
_____ x ___ = _____ √5  = 4 √5 
     √5     √5       5
 

13. Soal: Hasil dari 42 x 323/5 x 128-3/7 adalah…

A.    23
B.    24
C.    25
D.    26
E.    27

Jawaban:

42 x 323/5 x 128-3/7
= (22)2 x (25)3/5 x (27)-3/7
Jawaban B. 24
 

14. Soal: Jika a = 27 dan b = 32, maka nilai dari 3(a-1/3) x 4b2/5 adalah…

a.    -25
b.    -16
c.    0
d.    16
e.    25

Jawaban:

a = 27 dan b = 32 maka:
3(a1/3) x 4b2/5
= 3(27-1/3)x4(322/5)
= 3(33(-1/3)) x 4 (25(2/5))
= 3(3-1) x 4(22)
= 30 x 4(4)
= 1 x 16
= 16

Jawaban: D. 16
 

15. Soal: Bentuk sederhana dari (1 + 3√2) − (4 − √50) adalah…

A. −2√2 − 3
B. −2√2 + 5
C. 8√2 − 3
D. 8√2 + 3
E. 8√2 + 5

Jawaban:

Hilangkan tanda kurungnya terlebih dulu, jika ada tanda minus di depan kurung, kalikan masuk, jadinya seperti berikut:

(1 + 3√2) − (4 − √50)
= 1 + 3√2 − 4 + √50

√50 sama saja dengan √25 × √ 2 jadi sama dengan 5√2, tinggal disederhanakan:

= 1 + 3√2 −4 + 5√2
= 1 − 4 + 3√2 + 5√2
= −3 + 8√2
= 8√2 −3
 

16. Soal: Nilai x yang memenuhi, jika 54+x = 3. 125 adalah…

A.    2
B.    4
C.    3
D.    5
E.    1

Jawaban:
54 + x = 3.125

54 + x = 56

4 + x = 5

x = 1

Jawab: E. 1
 

17. Soal: Selesaikan: 3x2 + 5x − 2 = 0

Jawaban:

3x2 + 5x − 2 = 0
(3x − 1)(x + 2) = 0
3x − 1 = 0 or x + 2 = 0
Jadi, x =  or x = −2
 

18. Soal: Sederhanakan: F0t13.pdf − 

Jawaban:

F0b14117.pdf −  F0b14319.pdf − 
F0b14521.pdf − 

 

19. Soal: Temukan semua solusi bilangan bulat positif: ab + 2a + 5b = 38

Jawaban:

Faktor kedua faktor pertamanya sebagai (b + 2). Kami menambahkan 10 ke kedua sisi, sehingga kita dapat faktor berpasangan. Demikianlah,

ab + 2a + 5b= 38
ab + 2a + 5b + 10= 48
a(b + 2) + 5(b + 2)= 48
(a + 5)(b + 2)= 48

Menyamakan setiap golongan dengan faktorisasi dan kofaktor 48 dan pemecahannya, kami menemukan bahwa satu-satunya solusi bilangan bulat positif adalah a = 11, b = 1; a = 1, b = 6; a = 3, b = 4; a = 7, b = 2
 

20. Soal: Sederhanakan:
a F0t8.pdf bF0t9.pdf × F0t10.pdf cF0t11.pdf ÷ 

Jawaban & Pembahasan

a
b F0b1214.pdf ×  F0p1218.pdf × 
c Balikkan dan kalikan sebelum di-faktorisasi.
F0b13110.pdf ÷  F0b13312.pdf × 
= F0p13115.pdf × 

 

21. Berapa akar kuadrat dari 124?

  • penyelesaiannya adalah kita cari 2 jawaban terdekat dari akar kuadrat 124, maka akan kita temukan hasil sementara 11 dan 12
  • 11^2 = 121 —-> kurang dari 124 / lebih kecil
  • 12^2 = 144 —-> terlalu besar
  • kesimpulan sementara jawaban nya adalah 11 koma
  •  kemudian kita cari selisih antara 124 dan 121 ——> 124-121 = 3
  • kemudian kita cari selisih kedua nilai terdekat 144 dan 121 ——> 144-121 = 23
  • jadi kita peroleh pecahannya adalah 3/23
  • sehingga di dapatkan jawaban akar dari 124 adalah 11 + 3/23 = 11,13

 

22. Selesaikan x3 – 7x2 + 4x + 12 = 0

Jawaban:

f(x) = x3 – 7x2 + 4x + 12

Nilai yang mungkin adalah ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

Kita mendapatkan f(–1) = –1 – 7 – 4 + 12 = 0

Jadi, (x + 1) adalah faktor dari f(x)

x3 – 7x2 + 4x + 12
= (x + 1)(x2 – 8x + 12)
= (x + 1)(x – 2)(x – 6)

Jadi, akarnya –1, 2, 6
 

23. Temukan akar f(x) = 2x3 + 3x2 – 11x – 6 = 0, mengingat bahwa itu memiliki setidaknya satu akar bilangan bulat.

Jawaban:

Karena konstanta dalam persamaan yang diberikan adalah 6, kita tahu bahwa akar bilangan bulat harus menjadi faktor 6. Nilai yang mungkin adalah ±1, ±2, ±3, ±6

Langkah 1: Gunakan teorema faktor untuk menguji nilai yang mungkin dengan trial and error.

f(1) = 2 + 3 – 11 – 6 ≠ 0
f(–1) = –2 + 3 + 11 – 6 ≠ 0
f(2) = 16 + 12 – 22 – 6 = 0
Kami menemukan bahwa akar pangkat 2.

Langkah 2: Temukan akar lainnya dengan inspeksi atau dengan pembagian sintetis.

2x3 + 3x2 – 11x – 6
= (x – 2)(ax2 + bx + c)
= (x – 2)(2x2 + bx + 3)
= (x – 2)(2x2 + 7x + 3)
= (x – 2)(2x + 1)(x +3)

Jadi, akarnya x= 2, – ½, – 3
 

24. Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan xy=x^y dan \dfrac{x}{y} = x^{5y}, maka x^2+3y = ...

Jawaban:

Kalikan kedua persamaan

\displaystyle \begin{aligned} (xy)\left(\frac{x}{y}\right)&=(x^y)(x^{5y})\\ x^2 &= x^{6y}\\ \therefore\:y&=\frac{1}{3} \end{aligned}

Subtitusikan nilai y ke pers. pertama:

x^2 + 3y = 27 + 3(\frac{1}{3})=28

Jawaban : B

catatan :

Sifat eksponen:

\boxed{a^m+a^n=a^{m+n}}

\boxed{(a^m)^n=a^{mn}}
 

25. Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0

Jawaban:
x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0
x = 3   atau    x = 1

Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
 

26. Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.

Jawaban:

(x – 2)2 = x – 2
x2 – 4 x + 4 =  x – 2
x2 – 5 x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0
x = 3   atau          x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
 

27. Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0

Jawaban:

x2 + 7 x + 6 = 0
x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0
x = –2   atau           x = – 1

Jadi, penyelesaiannya adalah  –2 dan –1
 

28. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.

Penjelasan:

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.

Jawaban:

x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2  atau x – 3 = –2
x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
 

29. Tentukan penyelesaian dari 2 x2 – 8 x + 7 = 0.

Jawaban:

x2 – 8 x + 7 = 0
x2 – 8 x + 8 – 1 = 0
x2 – 8 x + 8 = 1
2 (x2 – 4 x + 4) = 1
2 (x – 2)2 = 1
(x – 2)2 = ½

x – 2 = \sqrt{\frac{1}{2}}   atau x – 2 = –\sqrt{\frac{1}{2}}

x = 2 + \frac{1}{2} \sqrt{2}   atau x = 2 – \frac{1}{2} \sqrt{2}

Jadi, penyelesaiannya adalah   2 + \frac{1}{2} \sqrt{2}   dan   2 – \frac{1}{2} \sqrt{2}
 

30. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.

Penjelasan:

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Jawab:

x2 + 7x – 30 = 0

a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{7^{2}-4.1.(-30)}}{2.1}

x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{49+120}}{2}

x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{169}}{2}

x_{1,2}=\frac{-7\pm 13}{2}

x = 3   atau   x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.


 

Bacaan Lainnya

 

Pasang iklan gratis di toko pinter

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

 

Cara daftar pasang iklan gratis

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

 
 
Sumber bacaan:Math is Fun, Australian Mathematical Sciences InstituteVarsity Tutors
 
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2019-07-09T16:12:24+07:00 Juni 5th, 2017|Matematika|0 Comments

Leave A Comment