fbpx

Pertidaksamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Contoh Soal dan Jawaban

Pertidaksamaan Matematika adalah

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih.

 

Notasi tanda pertidaksamaan matematika

Notasi Arti Contoh
 < lebih kecil
kurang dari
2 < 3
x + 1 < 3
 > lebih besar
lebih dari
3 > 2
3x + 1 > 5
 ≤ lebih kecil atau sama dengan
batas dibawah
maksimum
maksimal
sebanyaknya
paling banyak
tidak lebih dari
sekurangnya
2 ≤ 3
x + 1 ≤ 3
 ≥ lebih besar atau sama dengan
batas diatas
minimum
minimal
sesedikitnya
paling sedikit
tidak kurang dari
selebihnya
3 ≥ 2
3x + 1 ≥ 5
 ≠ tidak sama dengan 2 ≠ 3
x + 1 ≠ 3
 a < x < b diantara a dan b 2 < x < 5
 a ≤ x < b diantara a dan b bila nilai minimal a 2 ≤ x < 5
 a < x ≤ b diantara a dan b bila maksimal b 2 < x ≤ 5
 a ≤ x ≤ b diantara a dan b bila minimal a dan maksimal b 2 ≤ x ≤ 5

Jenis-jenis pertidaksamaan matematika

1. Pertidaksamaan Linear

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  {\displaystyle 6x-7<5x+3}!
{\displaystyle 6x-7<5x+3}
{\displaystyle 6x-5x<3+7}
{\displaystyle x<10}
{\displaystyle HP=\{x|x<10,x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan {\displaystyle 5-2x\geq 4x-1}!
{\displaystyle 5-2x\geq 4x-1}
{\displaystyle -2x-4x\geq -1-5}
{\displaystyle -6x\geq -6} (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)
{\displaystyle x\leq 1}
{\displaystyle HP=\{x|x\leq 1,x\in R\}}

 

2. Pertidaksamaan Kuadrat

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan {\displaystyle x^{2}-7x>10-4x}!
{\displaystyle x^{2}-7x>10-4x}
{\displaystyle x^{2}-3x-10>0}

dibuat dengan harga nol

{\displaystyle x^{2}-3x-10=0}
{\displaystyle (x+2)(x-5)=0}
{\displaystyle x=-2\lor x=5}

dibuat irisan

-2 5
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle HP=\{x|x<-2\lor x>5,x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan {\displaystyle 2-x^{2}\leq x-10}!
{\displaystyle 2-x^{2}\leq x-10}
{\displaystyle x^{2}+x-12\geq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}+x-12=0}
{\displaystyle (x+4)(x-3)=0}
{\displaystyle x=-4\lor x=3}

dibuat irisan

(-4) (3)
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle HP=\{x|x\leq -4\lor x\geq 3,x\in R\}}

 

3. Pertidaksamaan Akar

Dalam bentuk pertidaksamaan akar sebagai berikut:

{\displaystyle {\sqrt {f(x)}}<0} atau {\displaystyle {\sqrt {f(x)}}>0}

haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}}!
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}}
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}<({\sqrt {10-x}})^{2}}
{\displaystyle x^{2}-4x<10-x}
{\displaystyle x^{2}-3x-10<0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}-3x-10=0}
{\displaystyle (x+2)(x-5)=0}
{\displaystyle x=-2\lor x=5}

dibuat irisan

-2 5
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle -2<x<5}

karena ada syarat akar maka:

akar 1
{\displaystyle x^{2}-4x\geq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}-4x=0}
{\displaystyle x(x-4)=0}
{\displaystyle x=0\lor x=4}

dibuat irisan

0 4
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle x\leq 0\lor x\geq 4}
akar 2
{\displaystyle 10-x\geq 0}
{\displaystyle x\leq 10}

gabungkan umum dan syarat

irisan -2 (0) (4) 5 (10)
pertama tidak N/A ya N/A ya N/A ya N/A tidak N/A tidak
kedua ya N/A ya N/A tidak N/A ya N/A ya N/A ya
ketiga ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A tidak
{\displaystyle HP=\{x|-2<x\leq 0\lor 4\leq x<5,x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}}!
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}}
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4}})^{2}\geq ({\sqrt {3x+50}})^{2}}
{\displaystyle x^{2}-4\geq 3x+50}
{\displaystyle x^{2}-3x-54\geq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}-3x-54=0}
{\displaystyle (x+6)(x-9)=0}
{\displaystyle x=-6\lor x=9}

dibuat irisan

(-6) (9)
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle x\leq -6\lor x\geq 9}

karena ada syarat akar maka:

akar 1
{\displaystyle x^{2}-4\geq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}-4=0}
{\displaystyle (x+2)(x-2)=0}
{\displaystyle x=-2\lor x=2}

dibuat irisan

(-2) (2)
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle x\leq -2\lor x\geq 2}
akar 2
{\displaystyle 3x+50\geq 0}
{\displaystyle x\geq -{\frac {50}{3}}}

gabungkan umum dan syarat

irisan (-50/3) (-6) (-2) (2) (9)
pertama ya N/A ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya
kedua ya N/A ya N/A ya N/A tidak N/A ya N/A ya
ketiga tidak N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya
{\displaystyle HP=\{x|2<x\leq 0\lor 4\leq x<5,x\in R\}}

 

4. Pertidaksamaan Pecahan

Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:

{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}<0} atau {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}>0}

haruslah mempunyai syarat yaitu penyebut atau g(x) ≠ 0.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan {\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}}!
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}}
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}-{\frac {x+1}{x-2}}<0}
{\displaystyle {\frac {(x-4)(x-2)-(x+1)(x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0}
{\displaystyle {\frac {(x^{2}-6x+8)-(x^{2}-2x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0}
{\displaystyle {\frac {-4x+11}{(x-3)(x-2)}}<0}
{\displaystyle -4x+11<0}
{\displaystyle x<{\frac {11}{4}}}

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
{\displaystyle x-3\neq 0}
{\displaystyle x\neq 3}
penyebut 2
{\displaystyle x-2\neq 0}
{\displaystyle x\neq 2}

dibuat irisan

2 11/4 3
+++ N/A —- N/A +++ N/A —-
{\displaystyle HP=\{x|2<x<{\frac {11}{4}}\lor x>3,x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan {\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}}!
{\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}}
{\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}-{\frac {1}{x-3}}\geq 0}
{\displaystyle {\frac {(x+6)(x-3)-(x+17)}{(x+17)(x-3)}}\geq 0}
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18-x-17}{(x+17)(x-3)}}\geq 0}
{\displaystyle {\frac {x^{2}+2x-35}{(x-3)(x-2)}}\geq 0}
{\displaystyle x^{2}+2x-35\geq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}+2x-35=0}
{\displaystyle (x+7)(x-5)=0}
{\displaystyle x=-7\lor x=5} (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
{\displaystyle x+17\neq 0}
{\displaystyle x\neq -17}
penyebut 2
{\displaystyle x-3\neq 0}
{\displaystyle x\neq 3}

dibuat irisan

-17 (-7) 3 (5)
+++ N/A —- N/A +++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle HP=\{x|x<-17\lor -7\leq x<3\lor x\geq 5,x\in R\}}

 

5. Pertidaksamaan Mutlak

Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak adalah sebagai berikut:

{\displaystyle |f(x)|>g(x)}

haruslah mempunyai dua nilai yaitu

{\displaystyle |f(x)|=\left\{{\begin{matrix}|f(x)|<g(x),&{\mbox{maka penyelesaian}}-g(x)<f(x)<g(x)\\\\|f(x)|>g(x),&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)<-g(x)\lor f(x)>g(x)\end{matrix}}\right.}

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan – karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan {\displaystyle |x^{2}+x|<12}!
{\displaystyle |x^{2}+x|<12}

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)

{\displaystyle -12<x^{2}+x<12}
untuk {\displaystyle -12<x^{2}+x}
{\displaystyle -12<x^{2}+x}
{\displaystyle x^{2}+x+12>0} definit +
untuk {\displaystyle x^{2}+x<12}
{\displaystyle x^{2}+x<12}
{\displaystyle x^{2}+x-12<0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}+x-12=0}
{\displaystyle (x+4)(x-3)<0}
{\displaystyle x=-4\lor x=3}

dibuat irisan

-4 3
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle -4<x<3}
{\displaystyle HP=\{x|-4<x<3,x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari persamaan {\displaystyle |x^{2}-4x-12|-|7-6x|\geq 5}!
terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada
untuk | x^2 – 4x – 12 |
{\displaystyle |x^{2}-4x-12|=\left\{{\begin{matrix}x^{2}-4x-12,&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12\geq 0\\\\-(x^{2}-4x-12),&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12<0\end{matrix}}\right.}
batasan f(x)
{\displaystyle x^{2}-4x-12\geq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}-4x-12=0}
{\displaystyle (x+2)(x-6)=0}
{\displaystyle x=-2\lor x=6}

dibuat irisan

-2 6
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle x\leq -2\lor x\geq 6}
batasan -f(x)
{\displaystyle x^{2}-4x-12<0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}-4x-12=0}
{\displaystyle (x+2)(x-6)=0}
{\displaystyle x=-2\lor x=6}

dibuat irisan

-2 6
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle -2<x<6}
untuk | 7 – 6x |
{\displaystyle |7-6x|=\left\{{\begin{matrix}7-6x,&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x\geq 0\\\\-(7-6x),&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x<0\end{matrix}}\right.}
batasan f(x)
{\displaystyle 7-6x\geq 0}
{\displaystyle x\leq {\frac {7}{6}}}
batasan -f(x)
{\displaystyle 7-6x<0}
{\displaystyle x>{\frac {7}{6}}}

keempat batas-batas akan dibuat irisan

irisan -2 7/6 6
pertama x^2 – 4x – 12 N/A N/A N/A x^2 – 4x – 12
kedua N/A -(x^2 – 4x – 12) N/A -(x^2 – 4x – 12) N/A
ketiga 7 – 6x N/A 7 – 6x N/A N/A
keempat N/A N/A -(7 – 6x) N/A -(7 – 6x)
untuk x <= -2
{\displaystyle x^{2}-4x-12-(7-6x)\geq 5}
{\displaystyle x^{2}-4x-12-7+6x-5\geq 0}
{\displaystyle x^{2}+2x-24\geq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}+2x-24=0}
{\displaystyle (x+6)(x-4)=0}
{\displaystyle x=-6\lor x=4}

dibuat irisan

(-6) (-2) (4)
Ya N/A Ya N/A Tidak N/A Tidak
+++ N/A —- N/A —- N/A +++
{\displaystyle x\leq -6}
untuk -2 < x <= 7/6
{\displaystyle -(x^{2}-4x-12)-(7-6x)\geq 5}
{\displaystyle -x^{2}+4x+12-7+6x-5\geq 0}
{\displaystyle x^{2}-10x\leq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}-10x=0}
{\displaystyle x(x-10)=0}
{\displaystyle x=0\lor x=10}

dibuat irisan

-2 (0) (7/6) (10)
Tidak N/A Ya N/A Ya N/A Tidak N/A Tidak
+++ N/A +++ N/A —- N/A —- N/A +++
{\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {7}{6}}}
untuk 7/6 < x < 6
{\displaystyle -(x^{2}-4x-12)-(-(7-6x))\geq 5}
{\displaystyle -x^{2}+4x+12+7-6x-5\geq 0}
{\displaystyle x^{2}+2x\leq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}+2x=0}
{\displaystyle x(x+2)=0}
{\displaystyle x=0\lor x=-2}

dibuat irisan

(-2) (0) 7/6 6
Tidak N/A Tidak N/A Tidak N/A Ya N/A Tidak
+++ N/A —- N/A +++ N/A +++ N/A +++
{\displaystyle \varnothing }

untuk x >= 6

{\displaystyle x^{2}-4x-12-(-(7-6x))\geq 5}
{\displaystyle x^{2}-4x-12+7-6x-5\geq 0}
{\displaystyle x^{2}-10x-10\geq 0} definit +
{\displaystyle \varnothing }
{\displaystyle HP=\{x|x\leq -6\lor 0\leq x\leq {\frac {7}{6}},x\in R\}}

gabungkan ketiga batas-batas. jadi:

{\displaystyle HP=\{x|-{\frac {11}{5}}\leq x<-{\frac {4}{3}}\lor -{\frac {4}{3}}\leq x\leq 3,x\in R\}}
{\displaystyle HP=\{x|-{\frac {11}{5}}\leq x\leq 3,x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan {\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|}!
{\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|}
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}<({\frac {1}{x-2}})^{2}}
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}-({\frac {1}{x-2}})^{2}<0}
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}}+{\frac {1}{x-2}})({\frac {x+4}{10-x}}-{\frac {1}{x-2}})<0}
{\displaystyle ({\frac {(x+4)(x-2)+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {(x+4)(x-2)-(10-x)}{(10-x)(x-2)}})<0}
{\displaystyle ({\frac {x^{2}+2x-8+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+2x-8-10+x}{(10-x)(x-2)}})<0}
{\displaystyle ({\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}})<0}
akar dari {\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}}
{\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}<0}
{\displaystyle x^{2}+x+2=0} definit +

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
{\displaystyle 10-x\neq 0}
{\displaystyle x\neq 10}
penyebut 2
{\displaystyle x-2\neq 0}
{\displaystyle x\neq 2}
akar dari {\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}}
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}<0}
{\displaystyle x^{2}+3x-18<0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}+3x-18=0}
{\displaystyle (x+6)(x-3)=0}
{\displaystyle x=-6\lor x=3} (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
{\displaystyle 10-x\neq 0}
{\displaystyle x\neq 10}
penyebut 2
{\displaystyle x-2\neq 0}
{\displaystyle x\neq 2}

dibuat irisan

-6 2* 3 10*
+++ N/A —- N/A —- N/A +++ N/A +++
nb: * = mempunyai 2 akar
{\displaystyle HP=\{x|-6<x<3,x\in R\}}
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan {\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|}{\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|}!
{\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|}
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}\geq ({\sqrt {3x-10}})^{2}}
{\displaystyle x^{2}-4x\geq 3x-10}
{\displaystyle x^{2}-7x+10\geq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}-7x+10=0}
{\displaystyle (x-2)(x-5)=0}
{\displaystyle x=2\lor x=5}

dibuat irisan

2 5
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle x\leq 2\lor x\geq 5}

karena ada syarat akar maka:

akar 1
{\displaystyle x^{2}-4x\geq 0}

dibuat harga nol

{\displaystyle x^{2}-4x=0}
{\displaystyle x(x-4)=0}
{\displaystyle x=0\lor x=4}

dibuat irisan

0 4
+++ N/A —- N/A +++
{\displaystyle x\leq 0\lor x\geq 4}
akar 2
{\displaystyle 3x-10\geq 0}
{\displaystyle x\geq {\frac {10}{3}}}

gabungkan umum dan syarat

irisan (0) (2) (10/3) (4) (5)
pertama ya N/A ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya
kedua ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya N/A ya
ketiga tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya N/A ya N/A ya
{\displaystyle HP=\{x|x\geq 5,x\in R\}}

 

Pertidaksamaan matematika 2

Pertidaksamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak

 

Contoh Soal dan Jawaban Pertidaksamaan Matematika

1. Jika diketahui a² + b² = 1 dan c² + d² = 1. Berapa nilai minimum ac + bd – 2?

Jawaban:

 

Untuk setiap bilangan real a, b, c, dan d terdapat hubungan

(a+c)² ≥ 0 → a² + c² + 2ac ≥ 0    (1)
(b+d)² ≥ 0 → b² + d² + 2bd ≥ 0  (2)

Jumlahkan persamaan (1) dan (2)

(a²+b²) + c²+d²) + 2(ac + bd) ≥ 0
1+1+2(ac + bd) ≥ 0
ac + ad ≥ -1  (kurangi kedua ruas dengan 2)
∴ ac + bd – 2 ≥ -3

dari bentuk pertidaksamaan terakhir bisa diambil kesimpulan bahwa nilai ac + bd – 2 mempunyai nilai minimum -3.

2. Nilai y yang memenuhi   \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{y-1} < 1

a)  0<y<1
b)  0<y \le 1
c)  y<0 atau y \ge 1
d)  y \le 0 atau y >1
e)  y < 0 atau y > 1

Jawaban:

\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{y}-\frac{1}{y-1}-1 &< 0 \\ \end{aligned}

dengan menyamakan penyebut didapat

\displaystyle \begin{aligned} \frac{y-1}{y(y-1)}-\frac{y}{y(y-1)}-\frac{y(y-1)}{y(y-1)} &< 0 \\ \frac{-y^2+y-1}{y(y-1)} &< 0 \\ \end{aligned}

Pembilang merupakan bentuk definit negatif (D < 0 dan a < 0) jadi berapapun nilai y yang dipilih akan tetap bernilai negatif.

Anda dapat menggunakan bantuan dengan garis bilangan:

Pertidaksamaan matematika nilai y

Jadi nilai y yang memenuhi

y < 0 atau y > 1

Cara alternatif atau cara ke dua:

Dari soal bisa diambil kesimpulan bahwa y \neq 0 dan y \neq 1, karena akan menyebabkan pembagian dengan nol. Jadi semua pilhan yang mengandung 0 dan 1 pasti salah.
Akibatnya yang masih mungkin benar adalah pilihan A dan E.

Pilih y = 2 yang akan menyebabkan nilai pertidaksamaan menjadi \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{1} < 1 merupakan pernyataan yang benar. Karena y=2 tidak termasuk dalam selang dipilhan A, tetapi ada termasuk dalam selang dipilihan E, sehingga pilihan E merupakan pilihan jawaban yang benar

 

 

3. Himpunan titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan y - 2x > 0 dan y > 4 - x seluruhnya berada di kuadran mana?
a) I
b) II
c) I dan II
d) I dan IV
e) I, III dan IV

Soal himpunan titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan matematika

Jawaban:

Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berada di kuadran I dan II. Jawaban yang benar: c) I dan II.

 

 

4. Banyaknya bilangan real a agar pertidaksamaan |x² + 2ax +3a| ≤ 2 mempunyai tepat satu solusi pada x adalah…

Jawaban:

\displaystyle \begin{aligned} |x^2+2ax+3a|&\le 2 &~~~~~\text{(kuadratkan kedua ruas)}\\ (x^2+2ax+3a)^2&\le 2^2\\ (x^2+2ax+3a)^2-2^2&\le 0&~~~~~\text{(faktorkan)}\\ \{(x^2+2ax+3a)+2\}\{(x^2+2ax+3a)-2\}&\le 0\\ (x^2+2ax+3a+2)(x^2+2ax+3a-2)&\le 0\\ \end{aligned}

Supaya penyelesaian mempunyai tepat satu solusi maka setiap faktor harus mempunyai nilai D=0

(1) x^2+2ax+3a+2 :

\displaystyle \begin{aligned} (2a)^2-4(1)(3a+2)&=0\\ a^2-3a-2&=0 ~~~~~ ...\:(D_1)\\ \therefore\: a_1&=\tfrac{1}{2}\left(3+\sqrt{17}\right)\:\cup\: a_2=\tfrac{1}{2}\left(3-\sqrt{17}\right)\\ \end{aligned}

(2) x^2+2ax+3a-2 :

\displaystyle \begin{aligned} (2a)^2-4(1)(3a-2)&=0\\ a^2-3a+2&=0\\ (a-1)(a-2)&=0 ~~~~~ ...\:(D_2)\\ \therefore\: a_3&=1\:\cup\: a_4=2\\ \end{aligned}

Karena dari kedua faktor itu memberikan nilai a yang berbeda, lakukan cek silang nilai diskriminan dari a

\displaystyle \begin{array}{ll} a_1=\tfrac{1}{2}\left(3-\sqrt{17}\right) &\rightarrow D_2 > 0\\ a_2=\tfrac{1}{2}\left(3+\sqrt{17}\right) &\rightarrow D_2 > 0\\ a_3=1&\rightarrow D_1 < 0\\ a_4=2&\rightarrow D_1 < 0 \end{array}

Nilai a_1 dan a_2 akar dari faktor (1) menyebabkan nilai D_2>0 akibatnya akan membuat faktor (2) mempunyai akar yang lain (tidak memenuhi syarat tepat satu akar).

Nilai a_3 dan a_4 akar dari faktor (2) menyebabkan nilai D_1<0 (definit positif) akibatnya faktor (1) tidak akan mempunyai akar lain.

Jadi banyaknya bilangan riil a yang memembuat pertidaksamaan hanya mempunyai tepat satu solusi ada 2 yaitu a=1 atau a=2.

Dengan menggunakan ilustrasi grafik

Ilustrasi grafik pertidak samaan 1

Ilustrasi grafik pertidak samaan 2

catatan:
Persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0 mempunyai tepat satu solusi/jawaban jika
\boxed{~D=0~}
dimana:
\boxed{~D=b^2-4ac~}

 

 

5. Semua nilai x yang memenuhi (2x+1)(x-1)\le(x-1)
a)  x\le 1
b)  x\ge 0
c)  x\ge \frac{1}{2}
d)  \frac{1}{2}\le x\le 1
e)  0\le x\le 1

Jawaban:

\displaystyle \begin{aligned} (2x+1)(x-1)&\le (x-1)\\ (2x+1)(x-1)-(x-1)&\le 0\\ 2x^2-2x&\le 0\\ 2x(x-1)&\le 0 \end{aligned}

Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

Jadi nilai x yang memenuhi 0\le x\le 1

Cara Alternatif :

\displaystyle \begin{array}{lclr} x=0 &\rightarrow &(1)(-1) \le -1 &\text{(Benar)}\\ x=-1&\rightarrow &(-1)(-2) \le -2 &\text{(Salah)}\\ x=2&\rightarrow &(5)(1)\le 1 &\text{(Salah)} \end{array}

Kesimpulannya: pilihan yang paling cocok E

 

 

6. Himpunan penyelesaian dari \displaystyle \sqrt{2x+2}-\sqrt{6x-8}\ge 0 adalah…

Jawaban:

\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{2x+2}-\sqrt{6x-8}&\ge 0\\ \sqrt{2x+2}&\ge 0\sqrt{6x-8}&~~~~~\text{(kuadratkan kedua ruas)}\\ 2x+2&\ge 6x-8\\ x&\le\frac{5}{2} \end{aligned}

Syarat (1) 2x+2\ge 0\:\rightarrow\:x\ge -1

Syarat (2) 6x-8\ge 0\:\rightarrow\:x\ge \dfrac{4}{3}

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan matematika

Cara Alternatif:
Cek pilihan

x=0\:\rightarrow\: \sqrt{0}\ge\sqrt{-8} ~~~~~\text{(Salah)}
ket: dalam akar tidak boleh negatif. Akibatnya pilihan A dan C pasti salah.

x=3\:\rightarrow\: \sqrt{8}\ge\sqrt{10} ~~~~~\text{(Salah)}
ket: Pilihan B dan D pasti salah, jadi pilihan yang benar adalah E

 

 

7. Berapa bilangan bulan terdekat dengan yjika y adalah bilangan real sehingga 3 < y < 4 dan y3 - 6y - 7 = 0?

Jawaban:

Gunakan manipulasi aljabar untuk mencari nilai y

\displaystyle \begin{aligned}     y^3-6y-7&=0\\     y(y^2-6)&=7\\     y&=\frac{7}{y^2-6}  \end{aligned}

Diketahui bahwa 3 < y < 4 sehingga

\displaystyle \begin{aligned}     &3 < \frac{7}{y^2-6} < 4&~~~~~|\text{ : 7 }|\\     &\frac{3}{7} < \frac{1}{y^2-6} < \frac{4}{7}&~~~~~\text{(sifat kebalikan)}\\     &\frac{7}{4} < y^2-6 < \frac{7}{3}&~~~~~|\text{ + 6 }|\\     &7\tfrac{3}{4} < y^2 < 8\tfrac{1}{3}  \end{aligned}

Jadi bilangan bulan terdekat dengan y2 adalah 8

 

 

8.  Jika x dan y memenuhi 2y2 - 1 > x dan 9y - x + 4 = 0, maka x - y memenuhi…

a) 0 < x-y < 44

b)   -\dfrac{1}{2} < x-y < 49

c)  x-y < -\dfrac{11}{2} \text{ atau }x-y > \dfrac{99}{2}

d)  x-y < 0 \text{ atau } x - y > 44

e)  -\dfrac{1}{2}< x-y< 44

Jawaban:

Kurva 2y2 - 1 = x berupa parabola terbuka ke kanan, dan 9y - x + 4 = 0 merupakan garis lurus. Titik potong kedua kurva bisa dicari dari ..

\displaystyle \begin{aligned} &9y-x+4=0~\Leftrightarrow~x=9y-4 ~~(\text{subtitusi ke pers parabola})\\ &2y^2-1=9y-4 \\ &2y^2-9y-5=0\\ &(2y+1)(y-5)=0~\rightarrow~\therefore\:y=-\frac{1}{2}\text{ atau } 5 \end{aligned}

Untuk y = -1/2 nilai x = -1/2
Untuk y = 5 nilai x = 49
Titik potong kedua kurva di A(-1/2, 1/2) dan B(49,5)
Dari gambar di bawah terlihat bahwa himpunan penyelesaian berada pada garis 9y – x + 4 = 0 (garis tebal berpanah)

Soal himpunan penyelesaian berada pada garis 9y

Nilai x - y maksimum dan minimum terletak di titik A dan titik B.
jadi interval nilai x - y < 0 atau x - y > 44

 

 

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2018-07-11T21:22:11+07:00 Juni 19th, 2018|Matematika|0 Comments

Leave A Comment