Tetrahedron Geometri

Tetrahedron geometri adalah bentuk geometrik 3 dimensi. Ini adalah polihedron terkecil. Hal ini terdiri 4 wajah segitiga, 3 dari yang bergabung di setiap sudut. Angka ini digunakan secara luas dalam arsitektur dan seni modern. Tetrahedron juga digunakan untuk memecahkan masalah geometris yang rumit.

Rumus Luas Tetrahedron

A=a^{2}{\sqrt {3}}

Rumus Volume Tetrahedron

V={\begin{matrix}{1 \over 12}\end{matrix}}a^{3}{\sqrt {2}}

Rumus Volume tetrahedron, ABCT

$V={\frac {AT\cdot BT\cdot CT}{6}}\cdot {\sqrt {1+2\cdot \cos a\cdot \cos b\cdot \cos c-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c}}$

dengan a merupakan sudut ATB, b sudut BTC, dan c sudut CTA.

Volume tetrahedron dengan verteks a, b, c, d

Isi padu mana-mana satu tetrahedron, dengan verteks-verteks a, b, c dan d, ialah (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|, atau mana-mana satu gabungan pasangan verteks yang lain yang membentuk grafik ringkas.

$V={\frac {|(\mathbf {d} -\mathbf {a} )\cdot ((\mathbf {d} -\mathbf {b} )\times (\mathbf {d} -\mathbf {c} ))|}{6}}$

Polihedra

Karakteristik Euler $\chi$ secara klasik didefinisikan untuk permukaan polyhedra, sesuai dengan rumus:

$\chi =V-E+F$

yang di mana V, E, dan F masing-masing adalah jumlah simpul (sudut), tepi dan wajah dalam polihedron yang diberikan. Setiap permukaan polyhedron cembung memiliki karakteristik Euler.

$V-E+F=2.$

Persamaan ini dikenal sebagai rumus polyhedron Euler. Ini sesuai dengan karakteristik Euler dari bola (yaitu χ = 2), dan berlaku identik dengan polyhedra bola. Ilustrasi rumus pada beberapa polyhedra diberikan di bawah ini.

Nama	Verteks V	Tepi (Edges) E	Wajah Sisi (Faces) F	Karakteristik Euler V − E + F
Tetrahedron	4	6	4	2
Hexahedron / kubus	8	12	6	2
Oktahedron	6	12	8	2
Dodekahedron	20	30	12	2
Ikosahedron	12	30	20	2

Contoh Soal dan Jawaban Tetrahedron

1. Untuk $k=1,2,3,4,5$ , tentukan syarat perlu dan cukup untuk $a>0$ sehingga terdapat tetrahedron dengan $k$ rusuk dengan panjang $a$ dan sisanya memiliki panjang 1.

Solusi:

(i) $k=1$
Misalkan $AB$ adalah rusuk terpanjang. Misalkan $P$ titik tengah $CD$ . Perhatikan bahwa $AP=BP=\frac{\sqrt3}2$ , sehingga $AB<\sqrt3$ . Untuk $AB<\sqrt3$ , jelas bahwa ada tetrahedron yang memenuhi, maka syarat ini perlu dan cukup.

(ii) $k=2$
Ada dua kasus, yang pertama adalah kedua rusuk berada di satu sisi, yang kedua adalah kedua rusuk tidak berada di satu sisi.

Pada kasus pertama anggaplah $AC=BC=a$ , rusuk lainnya 1. Misalkan $P$ adalah titik tengah $AB$ . Maka $PC=\sqrt{a^2-\frac14}$ dan $PD=\frac{\sqrt3}2$ . Maka dari segitiga $PDC$ didapat $\frac{\sqrt3}2+1>\sqrt{a^2-\frac14}$ , yaitu $a<\sqrt{2+\sqrt3}$ . Tetapi haruslah juga $a<1+1=2$ dan $\sqrt{a^2-\frac14}+\frac{\sqrt3}2>1$ , sehingga didapat $\sqrt{2-\sqrt3}<a<\sqrt{2+\sqrt3}$ . Jelas bahwa jika syarat-syarat ini terpenuhi, maka ada tetrahedron yang memenuhi.

Jika rusuk dengan panjang $a$ tidak satu sisi, sebutlah $AB=CD=a$ . Dengan cara seperti di atas, $a<\sqrt{2+\sqrt3}$ , dan jelas bahwa syarat ini cukup.

Jadi pada kasus ini, syarat perlu dan cukupnya adalah $0<a<\sqrt{2+\sqrt3}$ .

(iii) $k=3$
Jika $AB=BC=CA=a$ , jarak pusat $ABC$ ke $A$ kurang dari 1, yaitu $a\sqrt3/3<1$ atau $a<\sqrt3$ . Jika $AB=BC=CA=1$ dan rusuk lainnya berpanjang $a$ , seperti di atas, didapat $\sqrt3/3<a$ yaitu $a>\frac1{\sqrt3}$ . Maka selalu ada tetrahedron yang memenuhi untuk semua $a>0$ .

(iv) $k=4,k=5$
Ini kebalikan dari kasus (i) dan (ii), hanya dipertukarkan 1 dan $a$ .

Jadi, kita simpulkan jawabannya: $k=1,0<a<\sqrt3$ , $k=2,0<a<\sqrt{2+\sqrt3}$ , $k=3,0<a$ , $k=4,\sqrt{2-\sqrt3}<a$ , $k=5,\frac1{\sqrt3}<a$ .

2. Buktikan bahwa semua tetrahedron memiliki satu titik sudut di mana ketiga rusuk dari titik itu dapat membentuk segitiga.

Solusi:

On a tetrahedron $ABCD$ , we have $AB<AC+BC$ and $AB<AD+BD$ , so $2AB<AC+AD+BC+BD$ . Thus one of $AB<AC+AD$ and $AB<BC+BD$ must be true, as desired.

3. Luas segitiga ditentukan oleh panjang sisi-sisinya. Apakah volume tetrahedron ditentukan oleh luas sisi-sisinya?

Solusi:

Tidak. Misalkan $S$ adalah segitiga sama sisi dan $T$ adalah segitiga yang sudutnya mendekati $90^{\circ}$ dan sama kaki, keduanya memiliki luas 4. Pada kedua segitiga, buat garis yang menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisinya. Lipat kedua segitiga sepanjang garis-garis tersebut, maka pada masing-masing $S$ dan $T$ didapat empat segitiga dengan luas 1. Perhatikan bahwa $S$ menjadi tetrahedron beraturan dengan volume positif. Tetapi $T$ menjadi tetrahedron yang volumenya mendekati 0. Semakin dekat sudutnya dengan $90^{\circ}$ , volumenya semakin kecil. Jadi dua tetrahedron ini memiliki luas sisi-sisi yang sama tetapi volumenya berbeda, sehingga bukti kita selesai.

4. Suatu tetrahedron memiliki satu dan hanya satu rusuk yang panjangnya lebih besar dari 1. Buktikan bahwa volumenya tidak lebih besar dari 1/8.

Solusi:

Tanpa mengurangi keumuman, anggaplah $CD$ adalah rusuk terpanjang dari tetrahedron $ABCD$ . Misalkan $AB=x$ .

Ambil titik $T$ pada $AB$ sehingga $CT$ adalah garis tinggi, anggaplah $T$ lebih dekat ke $A$ daripada ke $B$ . Jadi $BT\ge\frac{x}2$ dan $CT=\sqrt{CB^2-BT^2}\le\sqrt{1-\frac{x^2}4}$ .

Dengan cara yang serupa, garis tinggi segitiga $ABD$ dari titik $D$ memiliki panjang $m_1\le\sqrt{1-\frac{x^2}4}$ .

Garis tinggi tetrahedron tersebut dari titik $C$ memiliki panjang tidak lebih dari $CT$ , $m\le\sqrt{1-\frac{x^2}4}$ .

Jadi volume tetrahedron tersebut adalah $\frac13\left(\frac12AB\cdot m_1\right)\cdot m=\frac{x}{6}\left(1-\frac{x^2}4\right)$ . Kita ingin membuktikan ini tidak lebih dari 1/8, yang ekuivalen dengan $(x-1)(x^2+x-3)\ge0$ . Ini pasti benar karena $0<x\le 1$ .

5. Garis-garis tinggi dari tetrahedron $ABCD$ diperpanjang keluar sampai titik $A',B',C',D'$ berturut-turut, di mana $AA'=k/h_a$ , $BB'=k/_b$ , $CC'=k/h_c$ dan $DD'=k/h_d$ . Di sini, $k$ konstan dan $h_a$ menyatakan panjang garis tinggi $ABCD$ dari titik $A$ , dan sebagainya. Buktikan bahwa titik berat dari tetrahedron $A'B'C'D'$ berimpit dengan titik berat $ABCD$ .

Solusi:

Buat sistem koordinat dengan pusat $O$ sebagai titik berat $ABCD$ . Maka $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}=\overrightarrow{O}$ . Kita perlu menunjukkan $\overrightarrow{A'}+\overrightarrow{B'}+\overrightarrow{C'}+\overrightarrow{D'}=0$ atau $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{O}$ . Perhatikan vektor $\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{D}-\overrightarrow{B})\times(\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C})=\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{C}+\overrightarrow{C}\times\overrightarrow{D}+\overrightarrow{D}\times\overrightarrow{B}$ . Vektor ini tegak lurus $BCD$ , maka sejajar terhadap $\overrightarrow{AA'}$ . Besarnya adalah $2\times[BCD]$ yaitu $6V/h_a$ di mana $V$ adalah volume $ACD$ . Maka $\overrightarrow{AA'}=\frac{k}{6V}(\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{C}+\overrightarrow{C}\times\overrightarrow{D}+\overrightarrow{D}\times\overrightarrow{B})$ . Bentuk serupa bisa didapat untuk $\overrightarrow{BB'},\overrightarrow{CC'},\overrightarrow{DD'}$ . Maka $\frac{6V}k(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{DD'})=\sum(\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{C}+\overrightarrow{C}\times\overrightarrow{D}+\overrightarrow{D}\times\overrightarrow{B})=\overrightarrow{O}$ . Jadi titik berat dari $A'B'C'D'$ juga di $O$ .

6. Dalam geometri Euklidean, jumlah sudut dalam segitiga selalu konstan. Tetapi, buktikan bahwa jumlah sudut dihedral dari sebuah tetrahedron tidak konstan.

Solusi:

Tinjau sebuah tetrahedron dengan alas segitiga sama sisi dan titik puncaknya $P$ berada tepat di atas pusat alasnya $G$ . Jika sudut dihedral yang dibentuk di alas adalah $\alpha$ dan sudut yang dibentuk sisi lainnya adalah $\beta$ , maka jumlah sudutnya adalah $3(\alpha+\beta)$ . Jika $G$ mendekati $G$ , maka $\alpha$ mendekati 0 dan $\beta$ mendekati $\pi$ . Jadi jumlah sudutnya bisa mendekati $3\pi$ . Jika $P$ menjauhi $P$ menjauhi $G$ , $\alpha,\beta$ masing-masing mendekati $\frac{\pi}2$ . Jadi jumlahnya bisa mendekati $3\pi/2$ . Ini menunjukkan jumlah sudutnya tidak konstan.

7. Buktikan bahwa jumlah jarak dari titik-titik sudut sebuah tetrahedron beraturan dan pusatnya lebih kecil dari jumlah jarak titik-titik tersebut ke titik lain manapun pada ruang.

Solusi:

Misalkan titik-titik sudutnya adalah $A(-a,-a,-a),B(-a,a,a),C(a,-a,a),D(a,a,-a)$ . Titik pusatnya adalah $O(0,0,0)$ . Misalkan terdapat sebarang titik $X(x,y,z)$ dengan $X\ne O$ . Dengan ketaksamaan AM-QM,

$XA+XB+XC+XD\le2\sqrt{XA^2+XB^2+XC^2+XD^2}=4\sqrt{(x^2+y^2+z^2)+3a^2}<4a\sqrt3=OA+OB+OC+OD$

Jadi kita sudah selesai.

8. Buktikan bahwa tetrahedron $SABC$ memiliki lima bola berbeda yang menyentuh keenam rusuk-rusuknya (atau perpanjangannya) jika dan hanya jika tetrahedron ini beraturan.

Solusi:

Bagian “jika” mudah dibuktikan. Kita akan buktikan bagian “hanya jika”. Jadi kita asumsikan ada 5 bola seperti itu dan akan dibuktikan bahwa tetrahedron tersebut beraturan.

Untuk kenyamanan, kita tulis ulang notasinya. Misalkan tetrahedron itu $A_1A_2A_3A_4$ . Misalkan $S$ adalah bola di dalam tetrahedron, $S_i$ adalah bola di seberang $A_i$ . Misalkan garis singgung dari $S$ ke $A_i$ memiliki panjang $a_i$ . Mudah dilihat bahwa $A_iA_j$ memiliki panjang $a_i+a_j$ . Sekarang perhatikan garis-garis singgung $S_1$ dari $A_1$ . Jelas bahwa panjangnya adalah $a_1+2a_2=a_1+2a_3=a_1+2a_4$ , sehingga $a_2=a_3=a_4$ . Dengan cara serupa $a_1=a_2=a_3=a_4$ , sehingga semua sisi tetrahedron tersebut memiliki panjang yang sama. Artinya tetrahedron itu beraturan.

9. Diberikan tetrahedron $ABCD$ . Tetrahedron tersebut dibagi menjadi 2 bagian oleh bidang $\pi$ yang sejajar terhadap $AB$ dan $CD$ . Hitunglah rasio volume dari kedua bagian jika rasio jarak dari $\pi$ ke $AB$ terhadap jaraknya ke $CD$ adalah $k$ .

Solusi:

Misalkan $E\in AC, F\in BC, G\in BD, H\in AD$ sehingga $EFGH$ adalah penampang bidang $\pi$ . Misalkan juga $X\in AB$ adalah titik sehingga $HX\parallel DB$ . Jelas bahwa $V_{AEHBFG}=V_{AXEH}+V_{XEHBFG}$ . Misalkan $MN$ adalah garis yang tegak lurus terhadap garis $AB$ dan $CD$ ( $M\in AB, N\in CD$ ) dan misalkan $MN,BN$ memotong bidang $\pi$ pada $Q,R$ berturut-turut. Maka jelas bahwa $BR/RN=MQ/QN=k$ , sehingga $AX/XB=AE/EC=AH/HD=BF/FC=BG/GD=k$ . Jadi $V_{AXEH}/V_{ABCD}=k^3/(k+1)^3$ . Jika $h=3V_{ABCD}/L_{ABC}$ adalah tinggi tetrahedron $ABCD$ dari titik $D$ , maka $V_{XEHBFG}=\frac12L_{XBFE}\frac{k}{k+1}h$ dan $\frac{L_{XBFE}}{L_{ABC}}=\frac{L_{ABC}-L_{AXE}-L_{EFC}}{L_{ABC}}=\frac{(k+1)^2-1-k^2}{(k+1)^2}=\frac{2k}{(1+k)^2}$ . Maka kita punya $V_{XEHBFG}/V_{ABCD}=3k^2/(1+k)^3$ , dan $V_{A E H B F G}/V_{A B C D}=(k^3+3k^2)/(k+1)^3$ . Maka kita juga dapat $V_{CEFDHG}/V_{ABCD}=(3k+1)/(k+1)^3$ , sehingga rasio yang dicari adalah $(k^3+3k^2)/(3k+1)$ .

10. Diberikan tetrahedron $ABCD$ , misalkan $D_0$ adalah titik berat segitiga $ABC$ . Dari titik $A,B,C$ dibuat garis yang sejajar terhadap $DD_0$ dan memotong sisi di seberangnya pada $A_1,B_1,C_1$ . Buktikan bahwa volume tetrahedron $ABCD$ adalah sepertiga dan volume tetrahedron $A_1B_1C_1D_0$ . Apakah ini tetap benar jika $D_0$ adalah sebarang titik di dalam segitiga $ABC$ ?

Solusi:

Kita cukup membuktikan kasus umumnya, yaitu $D_0$ adalah sebarang titik di dalamnya, dan kita akan menggunakan vektor. Misalkan $D$ adalah titik asal dari sistem koordinat tiga dimensi. Karena $D_0$ berada pada bidang $A,B,C$ , maka $D_0=aA+bB+cC$ dengan $a+b+c=1$ . Garis yang melalui $A$ sejajar $DD_0$ dapat ditulis sebagai $A+tD_0=A+t(aA+bB+cC)=(1+at)A+btB+ctC$ . Garis ini memotong bidang $BCD$ ketika $t=-\frac1a$ , sehingga $A_1=-\frac{b}aB-\frac{c}aC$ . Dengan cara serupa, $B_1=-\frac{a}bA-\frac{c}bC$ dan $C_1=-\frac{a}cA-\frac{b}cB$ . Jadi $A_1-D_0=-aA_(\frac{b}a+b)B-(\frac{c}a+c)C$ , $B_1-D_0=-(\frac{a}b+a)A-bB-(\frac{c}b+c)C$ , $C_1-D_0=-(\frac{a}c+a)A-(\frac{b}c+b)B-cC$ . Mudah dilihat bahwa matriks dengan kolom $A_1-D_0,B_1-D_0,C_1-D_0$ adalah hasil perkalian dari matriks berkolom $A,B,C$ dengan $-M$ , di mana

$M=\left( \begin{array}{ccc}a & \frac{a}b+a & \frac{a}c+a \\\frac{b}a+b & b & \frac{c}a+c \\\frac{c}a+c & \frac{c}b+c & c \end{array} \right)$

Jadi $|\det(A_1-D_0,B_1-D_0,C_1-D_0)|=|\det(A,B,C)\det(M)|$ . Tetapi $\det M=2+a+b+c=3$ , sehingga $\frac{v'}{v}=\frac{\det(A_1-D_0,B_1-D_0,C_1-D_0)}{\det(A,B,C)}=3$ .

Bacaan Lainnya

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Math World

Rumus Tetrahedron Geometri 3 Dimensi Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Tetrahedron Geometri

Rumus Luas Tetrahedron

Rumus Volume Tetrahedron

Rumus Volume tetrahedron, ABCT

Volume tetrahedron dengan verteks a, b, c, d

Polihedra

Contoh Soal dan Jawaban Tetrahedron

1. Untuk $k=1,2,3,4,5$ , tentukan syarat perlu dan cukup untuk $a>0$ sehingga terdapat tetrahedron dengan $k$ rusuk dengan panjang $a$ dan sisanya memiliki panjang 1.

2. Buktikan bahwa semua tetrahedron memiliki satu titik sudut di mana ketiga rusuk dari titik itu dapat membentuk segitiga.

3. Luas segitiga ditentukan oleh panjang sisi-sisinya. Apakah volume tetrahedron ditentukan oleh luas sisi-sisinya?

4. Suatu tetrahedron memiliki satu dan hanya satu rusuk yang panjangnya lebih besar dari 1. Buktikan bahwa volumenya tidak lebih besar dari 1/8.

6. Dalam geometri Euklidean, jumlah sudut dalam segitiga selalu konstan. Tetapi, buktikan bahwa jumlah sudut dihedral dari sebuah tetrahedron tidak konstan.

7. Buktikan bahwa jumlah jarak dari titik-titik sudut sebuah tetrahedron beraturan dan pusatnya lebih kecil dari jumlah jarak titik-titik tersebut ke titik lain manapun pada ruang.

8. Buktikan bahwa tetrahedron $SABC$ memiliki lima bola berbeda yang menyentuh keenam rusuk-rusuknya (atau perpanjangannya) jika dan hanya jika tetrahedron ini beraturan.

9. Diberikan tetrahedron $ABCD$ . Tetrahedron tersebut dibagi menjadi 2 bagian oleh bidang $\pi$ yang sejajar terhadap $AB$ dan $CD$ . Hitunglah rasio volume dari kedua bagian jika rasio jarak dari $\pi$ ke $AB$ terhadap jaraknya ke $CD$ adalah $k$ .

Bacaan Lainnya

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Nilai Pi 1 juta digit pertama | Analisis dan…

Menghitung Dimensi Balok dari Luas Jaring-Jaringnya

Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan