fbpx

Identitas Trigonometri – Rumus, Penjelasan, Pembuktian, Contoh Soal dan Jawaban

Rumus Identitas Trigonometri

Berikut penjelasan dan rumus identitas trigonometri:

sin²A + cos²A = 1

1 + tan^2 A = \frac{1}{cos^2 A} = sec^2 A

1 + cot^2 A = \frac{1}{sin^2 A} = csc^2 A

Rumus identitas trigonometri menyatakan hubungan suatu fungsi dengan fungsi trigonometri lainnya, misalkan fungsi secan yang merupakan fungsi kebalikan dari fungsi cosinus. Begitu juga dengan fungsi kebalikan lain. Selain fungsi kebalikan, ada fungsi identitas trigonometri yang juga menyatakan hubungan antar fungsi trigonometri.

Baca juga 👉 Rumus Trigonometri – Contoh Soal dan Jawaban Kelas 10Identitas Trigonometri – Rumus, Penjelasan, Contoh Soal dan Jawaban

3 Identitas trigonometri

Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagoras yang masing-masing memiliki fungsi dasar, yaitu:

Identitas kebalikan:

Cosec α = 1/ sin α
Sec α = 1/cos α
Cot α = 1/ tan α

Identitas perbandingan

Tan α = Sin α /Cos α
Cot α = Cos α / Sin α

Identitas Phytagoras:

Cos2 α+ Sin2 α = 1
1 + tan2 α = Sec2 α
1 + Cot2 α = Cosec2 α

Rumus jumlah dan selisih dua sudut

Rumus untuk cosinus jumlah selisih dua sudut yaitu:

Cosinus (A+ B) = cosinus A cosinus B – sinus A sinus B

Cosinus (A – B) = cosinus A cosinus B + sinus A sinus B

Rumus untuk sinus jumlah dan selisih dua sudut yaitu :

Sinus (A + B) = sinus A cosinus B + cosinus A sinus B

Sinus (A – B) = sinus A cosinus B – cosinus A sinus B

Sementara rumus untuk tangen jumlah dan selisih dua sudut meliputi :

Tangen A (A + B) = tangen A + tangen B / 1 – tangen A x tangen B

Tangen A (A- B) = tangen A – tangen B / 1 + tangen A x tangen B

Rumus trigonometri untuk sudut rangkap

Dengan Anda menggunakan rumus sinus (A + B) untuk A = B maka,

Sinus 2A = sinus (A + B)

= sinus A cosinus A + cosinus A sinus A

= 2 sinus A cosinus A

Jadi, sinus 2A = 2 sinus A cosinus A

Kemudian dengan menggunakan rumus cosinus (A + B) untuk A = B maka,

Cosinus 2A = cosinus (A + A)

= cosinus A cosinus A – sinus A sinus

= cosinus 2A – sinus 2A

Atau,

Cosinus 2A = cosinus 2A – sinus 2A

= cosinus 2A – (1 – cosinus 2A)

= cosinus 2A – 1 + cosinus 2A

= 2 cosinus 2A – 1

Atau,

Cosinus 2A = cosinus 2A – sinus 2A

= (1 – sinus 2A) – sinus 2A

= 1 – 2 sinus 2A

Dari persamaan diatas, bisa kita dapatkan rumus berikut ini:

Cosinus 2A = cosinus 2A – sinus 2A

= 2 cosinus 2A – 1

= 1 – 2 sinus 2A

Dengan menggunakan rumus tangen (A + B) untuk A = B, maka:

Tangen 2A = tangen (A + A)

Tangen 2A = tangen A + tangen A / 1 tangen A x tangen A

Tangen 2A = 2 tangen A / 1 – tangen 2A

Jadi, tangen 2A = 2 tangen A / 1 – tangen 2A

Pembuktian identitas trigonometri

Identitas trigonometri merupakan salah satu sub pokok bahasan trigonometri. Secara sederhana, identitas trigonometri adalah kalimat terbuka yang memuat fungsi trigonometri dan merupakan pernyataan benar untuk setiap pergantian peubah dengan anggota suatu domain tertentu. Suatu identitas trigonometri perlu dibuktikan kebenarannya menggunakan definisi dan teorema yang berlaku pada trigonometri.

Salah satu identitas trigonometri yang paling sering digunakan adalah identitas pythagoras. Pembahasannya dapat di baca di halaman berikut.

Cara membuktikan identitas trigonometri

1. Akan lebih mudah jika kita memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih dahulu.
2. Cari bentuk yang dapat disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.
3. Perhatikan operasi-operasi aljabar, seperti penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin dapat menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal dapat membimbing kita kepada bentuk yang dapat disederhanakan.
4. Jika kita tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah semua bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut bisa membantu.
5. Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak kita manipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut.

Untuk membuktikan suatu persamaan mempakan identitas atau bukan maka persamaan itu diubah dengan salah satu dari cara-cara berikut:

  • Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi bentuk ruas kanan.
  • Mengubah bentuk ruas kanan, sehingga menjadi bentuk ruas kiri.
  • Mengubah bentuk ruas kiri maupun ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang sama.

Contoh Soal Identitas Trigonometri

1. Buktikan identitas trigonometri berikut: sin x cosec x – sin² x =cos²x

sinx.cscx – sin²x = cos²x
sinx (1/sinx) – sin²x = cos²x
1 – sin²x = cos²x
cos²x = cos²x

2. Buktikan identitas trigonometri berikut: (1 + tan² A) ( 1 + sin A) (1 – sin A) = 1

(1 + tan² A) ( 1 + sin A) (1 – sin A) = (cos²A/cos²A + sin²A/cos²A) ( 1 – sin²A)
= (1 / cos²A) (cos²A) = 1 (terbukti)

3. Dengan menggunakan identitas trigonometri, sederhanakan setiap bentuk berikut ini: tan x – sec² x / tan x

tan x -(sec²x/tan x)
=(tan²x -sec²x)/tan x
=( tan²x -(1 +tan²x))/tan x
=(tan²x -1 -tan²x)/tan x
=-1/tan x
=-cos x/sin x
=-cot x

4. Dengan menggunakan identitas trigonometri, sederhanakan setiap bentuk berikut ini: (tan x + sec x) (tan x – sec x)

(tan x +sec x) (tan x -sec x)
=tan²x -sec² x
=tan²x – (1 +tan²x)
=tan²x -1 -tan²x
=-1

5. Buktikan: cos4α-cos2α=sin4α-sin2α

Bukti:
cos4α-cos2α
=(cos2α)2-(1-sin2α)
=(1-sin2α)2-1+sin2α
=1-2sin2α+sin4α-1+sin2α
=sin4α-sin2α

6. Dengan menggunakan identitas trigonometri, sederhanakan setiap bentuk berikut ini: 1 / (1 + cos x) + 1 / (1 – cos x)

1/(1 +cos x) + 1/(1 -cos x)
= 1 -cos x +1 +cos x/1 -cos²x
=2/sin²x
=2csc²x

7. Dengan menggunakan identitas trigonometri, sederhanakan setiap bentuk berikut ini: (cos x) / (1+ sin x) + (1+sin x) / (cos x)

cos x/(1 +sin x) +1 +sin x/(cos x)
=cos²x +1 +2sin x +sin²x/(1 +sin x)
(cos x)
=1 -sin²x +1 +2sin x +sin²x/(1 +sin x)
(cos x)
= 2 +2sin x/(1 +sin x) (cos x)
= 2 (1 +sin x) /(1 +sin x) (cos x)
=2/cos x
= 2sec x

8. Buktikan (cosα+sinα)2-(cosα-sinα)2=4sinαcosα

Bukti:

(cosα+sinα)2-(cosα-sinα)2
=cos2α+2sinαcosα+sin2α-(cos2α-2sinαcosα+sin2α)
=cos2α+2sinαcosα+sin2α-cos2α+2sinαcosα-sin2α
=4sinαcosα

Bukti:

(sinα-cosα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α
=sin2α+cos2α-2sinαcosα
=1-2sinαcosα

10. Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah…

Penyelesaian:

Soal dengan bentuk seperti ini dapat dikerjakan dengan rumus Kuadran I. Dimana:
sin α = cos (90-α) atau cos α = sin (90-α).

Penyelesaiannya juga bisa menggunakan identitas trigonometri. Dimana:
sin²α + cos²α = 1

Jadi,

cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°
= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°
= cos²(90-75)° + cos²75° + cos²(90-55)° + cos²55°
= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°
= 1 + 1 = 2   ——-> (identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)

11. Nilai tanx dari persamaan cos2x – 3sinx – 1 = 0 adalah…

Penyelesaian:

Karena berbentuk persamaan maka unsur trigonometrinya mesti disamakan/disetarakan.
Menggunakan aturan sudut rangkap cos2α. Dimana:

cos2α = cos²α -sin²α atau
cos2α = 2cos²α – 1 atau
cos2α = 1 – 2sin²α

Setelah nilai x di dapat, kemudian dilanjutkan penentuan tanx nya.
Jadi,

cos2x – 3sinx – 1 = 0
cos2x – 3sinx = 1
(1 – 2sin²x) – 3sinx = 1

(mengubah cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena bervariabel sama yakni sinx).

(1 – 2sin²x) – 3sinx = 1
-2sin²x – 3sinx = 1 – 1
-2sin²x – 3sinx = 0
sinx(-2sinx – 3) = 0
sinx = 0 atau -2sinx – 3 = 0
sin x = 0 atau sinx = -3/2
x = 0°
(sinx = -3/2 tidak memenuhi)
maka nilai tan x = tan 0° = 0

12. Jika sin(x-600)° = cos(x-450)° maka nilai dari tanx adalah…

Penyelesaian:

Penyetaraan antara sisi kiri dan sisi kanan. Menggunakan aturan Kuadran I (seperti pada soal nomor 1).
sin(x + α) = cos (x + α)

sin(x + α) = sin (90 – (x + α))

Setelah sisi kiri dan kanan sama, nah bisa ditentukan nilai x nya.
Setelah nilai x di dapat, baru deh dihitung nilai tanx nya
Jadi,

sin(x-600)° = cos(x-450)°
sin(x-600)° = sin(90 – (x-450))°
sin(x-600)° = sin(540 – x)°
x – 600° = 540° – x
2x = 540° + 600°
x = 1140°/2 = 570°

tan x = tan 570°
= tan (360 + 210)° = tan 210°
= tan (180 + 30)° —–> Kuadran III
= tan 30° = 1/3 √3
(bernilai + karena tangen pada kuadran III bernilai positif).

13. Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah…

Penyelesaian:

Identitas Trigonometri yang berpengaruh pada soal ini yakni:
sin²α + cos²α = 1 dan aturan sudut rangkap.

Maka,

sinx + cosx = -1/5
(sinx + cosx)² = (-1/5)² —–> (Kuadratkan kedua ruas.)

sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25
sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/25
1 + 2sinxcosx = 1/25 —–> (Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)
2sinxcosx = 1/25 – 1
2sinxcosx = 1/25 – 25/25
2sinxcosx = -24/25
sin2x = -24/25
(aturan sudut rangkap sin2x = 2sinxcosx).

14. Jika tangen 5° = p, maka tentukan tangen 50°…

Jawaban:

Tangen 50° = tangen (45° + 5°)
= tangen 45°+ tangen 5°/ 1 – tangen 45° x tangen 5°
= 1 + p/ 1 – p

Jadi hasil dari contoh soal diatas adalah = 1 + p/ 1 – p

Bacaan Lainnya

Pasang iklan gratis di toko pinter

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

Cara daftar pasang iklan gratis

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: SciencingClark UniversitySOS Math

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

By | 2020-01-10T21:06:45+07:00 Januari 10th, 2020|Matematika|0 Comments

Leave A Comment