fbpx

Trigonometri Rumus: Sinus, Cosinus, Tangen, Secan, Cosecan, Cotangen

Trigonometri Sinus, Cosinus, Tangen, Secan, Cosecan, Cotangen

 

Sinus

Dalam trigonometri, hukum sinus ialah sebuah persamaan yang berhubungan dengan panjang sisi-sisi sebuah segitiga yang berubah-ubah terhadap sinus sudutnya. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) ab dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) AB and C, hukum sinus menyatakan

{\displaystyle {\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}.\,}

Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.

Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan

{\displaystyle {a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=d.}

Dapat ditunjukkan bahwa:

{\displaystyle d={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}}

di mana

s merupakan semi-perimeter
{\displaystyle s={\frac {(a+b+c)}{2}}}

Turunan Sinus

Segitiga abc sudut berlawanan

Buatlah segitiga dengan sisi ab, dan c, dan sudut yang berlawanan AB, dan C. Buatlah garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan sebut panjang garis ini h.

Dapat diamati bahwa:

{\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}} dan {\displaystyle \;\sin B={\frac {h}{a}}}

Kemudian:

{\displaystyle h=b\,\sin A=a\,\sin B}

dan

{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}.}

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

{\displaystyle {\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}

 

Cosinus

Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.

Perhatikan gambar segitiga ini.

Sisi sudut segitiga

Aturan kosinus menyatakan bahwa

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}

dengan {\displaystyle \gamma \,} adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut {\displaystyle \gamma \,}.

Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:

{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,}
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,}

Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:

{\displaystyle \cos \alpha \ ={b^{2}+c^{2}-a^{2} \over 2bc}}
{\displaystyle \cos \beta \ ={a^{2}+c^{2}-b^{2} \over 2ac}}
{\displaystyle \cos \gamma \ ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab}}

Hukum Kosinus Pertama

{\displaystyle a=b\cos \gamma +c\cos \beta \,}
{\displaystyle b=c\cos \alpha +a\cos \gamma \,}
{\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,}

Hukum Kosinus Kedua

{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,}
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,}
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}

 

Tangen

Tangen (lambang tgtan; bahasa Belanda: tangens; bahasa Inggris: tangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o).

 

Segitiga abc triginometri

Berdasarkan segitiga pada ilustrator, berdasarkan definisi tangen, di atas maka nilai tangen adalah

{\displaystyle \tan A={{\mbox{a}} \over {\mbox{b}}}\qquad \tan B={{\mbox{b}} \over {\mbox{a}}}}

Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.

Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus

{\displaystyle \tan A={\frac {SinA}{CosA}}\,}

Nilai Tangen Sudut Istimewa

  • {\displaystyle \tan 0^{o}=0\,}
  • {\displaystyle \tan 15^{o}=2-{\sqrt {3}},}
  • {\displaystyle \tan 30^{o}={\frac {\sqrt {3}}{3}}\,}
  • {\displaystyle \tan 45^{o}=1\,}
  • {\displaystyle \tan 60^{o}={\sqrt {3}}\,}
  • {\displaystyle \tan 75^{o}=2+{\sqrt {3}},}
  • {\displaystyle \tan 90^{o}=\infty \,}

 

Secan

Sekan (lambang: sec; bahasa Inggris: secant) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak pada sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sekan di atas maka nilai sekan adalah

{\displaystyle \sec A={{\mbox{c}} \over {\mbox{b}}}\qquad \sec B={{\mbox{c}} \over {\mbox{a}}}}

Hubungan sekan dengan kosinus:

{\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}\,}


 

Cosecan

Segitiga abc triginometri

Kosekan (disimbolkan dengan cosec atau csc; bahasa Inggris: cosecant) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kosekan di atas maka nilai kosekan adalah

{\displaystyle \csc A={{\mbox{c}} \over {\mbox{a}}}\qquad \csc B={{\mbox{c}} \over {\mbox{b}}}}

Hubungan kosekan dengan sinus:

{\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}\,}


 

Cotangen

Right triangle

Kotangen (lambang: cotcotg, atau cotan; bahasa Inggris: cotangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak pada sudut dengan sisi segitiga yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kotangen di atas maka nilai kotangen adalah

{\displaystyle \cot A={{\mbox{b}} \over {\mbox{a}}}\qquad \cot B={{\mbox{a}} \over {\mbox{b}}}}

Hubungan kotangen dengan tangen:

{\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}\,}


 

Soal dan Jawaban Trigonometri

Tentukan luas segitiga:

Segitiga trigonometri 30°

Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30o = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm

Untuk contoh soal dan jawaban trigonometri lainnya , mohon klik disini (akan membuka layar baru).


 

                     

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2018-06-15T01:07:11+00:00 Juni 14th, 2018|Matematika|0 Comments

Leave A Comment