Trigonometri Rumus: Sinus, Cosinus, Tangen, Secan, Cosecan, Cotangen

Trigonometri Sinus, Cosinus, Tangen, Secan, Cosecan, Cotangen

Berikut adalah rumus-rumus: Sinus, Cosinus, Tangen, Secan, Cosecan, Cotangen.

Sinus

Dalam trigonometri, hukum sinus ialah sebuah persamaan yang berhubungan dengan panjang sisi-sisi sebuah segitiga yang berubah-ubah terhadap sinus sudutnya.

Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) ab dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) AB and C, hukum sinus menyatakan:

sinA = sinB = sinC
____     ____    ____
a           b           c

Multiple-angle formulae

Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.

Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan

a               b              c
____    =    ____    =    ____    =    d
Sin A       sin B        sin C

Dapat ditunjukkan bahwa:

                abc                                    2abc
d = ___________________    =   ___________________________
2√ s(s-a) (s-b) (s-c)          √ (a²+b²+c²)² + 2 (a4+b4+c4)

yang di mana

s merupakan semi-perimeter
      (a+b+c)
s = ________
        2

Turunan Sinus

Segitiga abc sudut berlawanan

Buatlah segitiga dengan sisi ab, dan c, dan sudut yang berlawanan AB, dan C. Buatlah garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan sebut panjang garis ini h.

Dapat diamati bahwa:

            h                         h
sin A = ___  dan  sin B = __
            b                        a

Kemudian:

h = b sin A = α sin B

dan

sin A      sin B
_____  =  _____
   a             b

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:
sin B  =  sin C
_____      _____
   b            c
 


 

Cosinus

Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.

Perhatikan gambar segitiga ini.

Sisi sudut segitiga

Aturan kosinus menyatakan bahwa

c² = a² + b² – 2ab cos γ

dengan {\displaystyle \gamma \,} adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut {\displaystyle \gamma \,}.

Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:

a² = b² + c² – 2bc cos α
b² = a² + c² – 2ac cos β

Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya.

Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:

            b² + c² -a²
cos α = _____________
              2bc

            a² + c² – b²
cos β = ___________
              2ac

            a² + b² – c²
cos γ = ___________
              2ab

Hukum Kosinus Pertama

a = b cos γ + c cos β
b = c cos α + a cos γ
c =  a cos β + b cos α

Hukum Kosinus Kedua

a² = b² + c² – 2bc cos α
b² = a² + c² – 2ac cos β
c²= a² + b² – 2ab cos γ
 


 

Tangen

Tangen (lambang tgtan; bahasa Belanda: tangens; bahasa Inggris: tangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o).

Segitiga abc triginometri

Berdasarkan segitiga pada ilustrator, berdasarkan definisi tangen, di atas maka nilai tangen adalah:

                a                      b
tan A =   ___       tan B =  ___
                b                     a

Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.

Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus

            SinA
tan A = ______
            CosA

Nilai Tangen Sudut Istimewa

  • tan 0° = 0
  • tan 15° = 2 – √3
  • tan 300 = √3 / 3
  • tan 45° = 1
  • tan 60° = √3
  • tan 75° = 2 + √3
  • tan 90° =
 


 

Secan (sekan)

Sekan (lambang: sec; bahasa Inggris: secant) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak pada sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sekan di atas maka nilai sekan adalah:

                c                      c
sec A = ____        sec B = ____
                b                      a

Hubungan sekan dengan kosinus:

              1
sec A = _____
            cos A
 


 

Cosecan (kosekan)

Segitiga abc triginometri

Kosekan (disimbolkan dengan cosec atau csc; bahasa Inggris: cosecant) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga; berdasarkan definisi kosekan di atas maka nilai kosekan adalah:

              c                         c
csc A = ____          csc B = ____
              a                         b

Hubungan kosekan dengan sinus:

              1
csc A =  _____
            sin A
 


 

Cotangen (kotangen)

Right triangle

Kotangen (lambang: cotcotg, atau cotan; bahasa Inggris: cotangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak pada sudut dengan sisi segitiga yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o).

Perhatikan segitiga tersebut; berdasarkan definisi kotangen di atas maka nilai kotangen adalah:

              b                         a
cot A = ___           cot B = ___
              a                         b

Hubungan kotangen dengan tangen:

              1
cot A = _____
            tan A
 


 

Soal dan Jawaban Trigonometri

1. Tentukan luas segitiga:

Segitiga trigonometri 30°

Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30o = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm

Untuk contoh soal dan jawaban trigonometri lainnya , mohon klik disini (akan membuka layar baru).
 

2. Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…

Jawaban:
a+b=10
a=10-b
Aturan Sinus
a/sin A = b/sin B
10-b/ sin 30 = b/sin 45
10-b/1/2= b/√2/2
√2/2(10-b)=b/2
(10√2-b√2)/2=b/2
5√2-b√2/2=b/2
5√2=b√2/2 + b/2
5√2=(b√2+b)/2
5√2=b(√2+1)/2
b=5√2 x 2/(√2+1)
b=10√2/(√2+1) x (√2-1)/(√2-1)
b=20-10√2
b=10(2-√2)

 

3. Buktikan bahwa sin4 α – sin2 α = cos4 α – cos2 α

Jawaban:

sin4 α – sin2 α = (sinα)2 – sin2 α= (1 cos2 α) 2 – (1 cos2 α)= 1 – 2 cos2 α + cos4 α – 1 + cos2 α= cos4 α – cos2 α
 

4. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C =

Jawaban:
Karena segitiga ABC lancip , maka sudut A,B dan C juga lancip, sehingga :
cos A = 4/5, maka sin A = 3/5,  (ingat cosami, sindemi dan tandesa)
sin B = 12/13, maka cos  B = 5/13
A + B + C = 180°,  (jml sudut -sudut dalam satu segitiga = 180)
A + B = 180 – C
sin (A + B) = sin (180 – C)
sin A . cos B + cos A.sin B = sin C, (ingat sudut yang saling berelasi : sin(180-x) = sin x)
sin C = sin A.cos B + cos A.sin B
sin C = 3/5.5/13 + 4/5.12/13
sin C = 15/65 + 48/65 = 63/65
 


 

Bacaan Lainnya

 

Pasang iklan gratis di toko pinter

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

 

Cara daftar pasang iklan gratis

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

 
Sumber bacaan: SciencingClark UniversitySOS Math
 
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

By | 2020-01-04T17:04:25+07:00 Januari 4th, 2020|Matematika|0 Comments

Leave A Comment