fbpx

Vektor Satuan (Matematika) – Bersama Contoh Soal dan Jawaban

Vektor Satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1. Umumnya vektor satuan dituliskan dalam menggunakan topi (bahasa Inggris: Hat), sehingga:  dibaca “u-topi” (‘u-hat’).Suatu vektor ternormalisasi  dari suatu vektor u bernilai tidak nol, adalah suatu vektor yang berarah sama dengan u, yaitu:

di mana ||u|| adalah norma (atau panjang atau besar) dari u. Istilah vektor ternormalisasi kadang-kadang digunakan sebagai sinonim dari vektor satuan. Dalam gaya penulisan yang lain (tidak menggunakan huruf tebal) adalah dengan menggunakan panah di atas suatu variabel, yaitu:

Di sini adalah vektor yang dimaksud dan  adalah besarnya.
 

Vektor Satuan (Matematika) - Bersama Contoh Soal dan Jawaban

Vektor Satuan (Matematika) – Bersama Contoh Soal dan Jawaban. Sumber foto: PinterPandai.com

 

 


 

Vektor

1. Posisi vektor

2. Panjang vektor

Berada di
Panjang vektor a dalam posisi adalah
Panjang vektor b dalam posisi adalah
Panjang vektor c dalam posisi dan adalah
Berada di
Panjang vektor a dalam posisi adalah
Panjang vektor b dalam posisi adalah
Panjang vektor c dalam posisi adalah

3. Vektor satuan

4. Operasi aljabar pada vektor

  • Penjumlahan dan pengurangan

terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang

  • Perkalian
  1. skalar dengan vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor maka vektor

  1. titik dua vektor

Jika vektor dan vektor maka

  1. titik dua vektor dengan membentuk sudut

Jika dan vektor tak nol dan sudut diantara vektor dan maka perkalian skalar vektor dan adalah =

  1. silang dua vektor

Jika vektor dan vektor maka

5. Operasi aljabar pada vektor

  • Penjumlahan dan pengurangan

terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang

  • Perkalian
  1. skalar dengan vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor maka vektor

  1. titik dua vektor

Jika vektor dan vektor maka

  1. titik dua vektor dengan membentuk sudut

Jika dan vektor tak nol dan sudut diantara vektor dan maka perkalian skalar vektor dan adalah =

  1. silang dua vektor

Jika vektor dan vektor maka

  1. silang dua vektor dengan membentuk sudut

Jika dan vektor tak nol dan sudut diantara vektor dan maka perkalian skalar vektor dan adalah =

6. Sifat operasi aljabar pada vektor

7. Hubungan vektor dengan vektor lain

  • Perkalian titik
Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor  maka

Sejajar

Jika vektor sejajar dengan vektor  maka

  • Perkalian silang
Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor dengan vektor  maka

Jika {\displaystyle \beta >90}” aria-hidden=”true”></span> maka dua vektor tersebut searah</p>
<p>Jika <span class= maka vektor saling berlawanan arah

Sejajar

Jika vektor sejajar dengan vektor  maka

8. Sudut dua vektor

Jika vektor dan vektor sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah

9. Panjang proyeksi dan proyeksi vektor

Panjang proyeksi vektor pada vektor adalah
Proyeksi vektor pada vektor adalah

10. Perbandingan

Aturan jajar genjang
Posisi vektor
Berada di
Berada di
Satu garis
Perbandingan posisi dalam adalah m:n
Perbandingan posisi luar adalah m:-n

 


 

Rumus Vektor Satuan

Keterangan

Posisi

Hasil

Translasi
penggeseran (a,b)
Refleksi
sumbu x
sumbu y
y=x
y=-x
pusat (0,0)
pusat (a,b)
pusat (a,0)
pusat (0,b)
Rotasi
berpusat (0,0)
90
-90
180
berpusat (a,b)
90
-90
180
berpusat (0,0)
Dilatasi
skala k
Stretching
sumbu x dan skala k
sumbu y dan skala k
Shearing
sumbu x dan skala k
sumbu y dan skala k
berpusat (a,b)
Dilatasi
skala k
Stretching
sumbu x dan skala k
sumbu y dan skala k
Shearing
sumbu x dan skala k
sumbu y dan skala k

 


 

Transformasi – Vektor Satuan

Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:

  • Transformasi isometri

Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).

  • Transformasi nonisometri

Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

 


 

Translasi – Vektor Satuan

Rumus translasi adalah:

= +

 


 

Refleksi – Vektor Satuan

Rumus refleksi adalah:

tanpa titik pusat

=

dengan titik pusat (a,b)

= +

 


 

Rotasi – Vektor Satuan

Rumus rotasi adalah:

tanpa titik pusat

=

dengan titik pusat (a,b)

= + .

 


 

Dilatasi – Vektor Satuan

Rumus dilatasi adalah:

tanpa titik pusat

=

dengan titik pusat (a,b)

= +

 


 

Regangan (Stretching) – Vektor satuan

Rumus stretching adalah:

sumbu x

tanpa titik pusat

=

dengan titik pusat (a,b)

= +

sumbu y

tanpa titik pusat

=

dengan titik pusat (a,b)

= +
 


 

Gusuran (Shearing) – Vektor Satuan

Rumus shearing adalah:

sumbu x

tanpa titik pusat

=

dengan titik pusat (a,b)

= +

sumbu y

tanpa titik pusat

=

dengan titik pusat (a,b)

= +

 


 

Contoh Soal dan Jawaban Vektor Satuan

1. Diketahui vektor a→ = (4, 6), b→ = (3, 4), dan c→ = (p, 0). Jika |c→−a→|=10, maka kosinus sudut antara b→ dan c→adalah…

(A)  25
(B)   12
(C)   35
(D)   23
(E)   34


Pembahasan:
a = (4, 6)   →   |a| = 42+62 = 52
b = (3, 4)   →   |b| = 32+42 = 5
c = (p, 0)   →   |c| = p2+02 = p
a.c = 4.p + 6.0 = 4p

Diketahui |c – a| = 10
|c – a|² = |c|² + |a|² – 2a.c
10² = (p)² + (√52)² – 2(4p)
100 = p² – 8p + 52
p² – 8p – 48 = 0
(p – 12)(p + 4) = 0
p = 12  atau  p = -4

Untuk p = 12 diperoleh
c = (12, 0)   →   |c| = 122+02 = 12
b.c = 3.12 + 4.0 = 36

Misalkan sudut antara b dan c adalah θ.
b.c = |b| |c| cos θ
36 = 5 . 12 cos θ
⇒ cos θ = 35
Jawaban: C

 
2. Diketahui tiga vektor a→b→ dan c→ dengan |b→|=8|c→|=3, dan c→=a→−b→. Misalkan α adalah sudut antara a→dan b→, serta γ adalah sudut antara vektor b→ dan c→. Jika |a→|=7 dan γ = 120°, maka sin α =…

(A)  15
(B)   75
(C)   3314
(D)   34
(E)   45

Pembahasan:
Diketahui c = a – b  dan sudut antara a dan b  adalah α, sehingga berlaku :
|c|² = |a|² + |b|² – 2 |a| |b| cos α
(3)² = (7)² + (8)² – 2(7)(8) cos α
⇒ cos α = 1314

Berdasarkan identitas phythagoras :
sin α = 1−cos2α = 1−(1314)2 = 3314
Jawaban: C

 

3. Diketahui vektor auvw adalah vektor di bidang kartesius dengan v = w – u dan sudut antara u dan w adalah 60°. Jika a = 4v dan a.u = 0 maka…

(A)   ||u|| = 2||v||
(B)   ||v|| = 2||w||
(C)   ||v|| = 2||u||
(D)   ||w|| = 2||v||
(E)   ||w|| = 2||u||

Pembahasan:
Karena v = w – u dan sudut antara vektor u dan w adalah 60°, maka berlaku :
|v|² =  |w|² + |u|² – 2|w| |u| cos 60°
|v|² =  |w|² + |u|² – 2|w| |u12
|v|² =  |w|² + |u|² – |w| |u|
|w| |u| = |w|² + |u|² – |v|²   ………………………..(1)

Diketahui a = 4v dan a.u = 0, akibatnya
(4v).u = 0   ⇔   u.v = 0

Karena v = w – u maka w = u + v sehingga berlaku:
|w|² =  |u|² + |v|² + 2u.v
|w|2 =  |u|² + |v|² + 2(0)
|w|2 =  |u|² + |v|²   ………………………………….(2)

Substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh:
|w| |u| = (|u|² + |v|²) + |u|² – |v|²
|u| |w| = 2|u|²
|w| = 2|u|
Jawaban: E

 

4. Diketahui tiga vektor a→b→ dan c→ dengan b→⋅c→=9, dan c→=b→+a→. Misalkan γ adalah sudut antara vektor a→dan c→. Jika γ = 30° dan |c→|=6, maka |a→|=…

(A)  14
(B)   13
(C)   33

(D)   3√3
(E)  74

Pembahasan:
c = b + a   →   b = c – a
c = b + a   →   a = c – b

Karena a = c – b, maka berlaku

|a|² = |c|² + |b|² – 2b.c

|a|² = (6)² + |b|² – 2(9)
|a|² = |b|² + 18   …………………………………………….(1)

Karena b = c – a dan sudut antara vektor a dan c adalah 30°, maka berlaku:
|b|² = |c|² + |a|² – 2 |a| |c| cos 30°
|b|² = (6)² + |a|² – 2 |a| 6 . 12√3
|b|² = 36 + |a|² – 6√3 |a|    ………………………………..(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:
|b|² = 36 + |b|² + 18 – 6√3 |a|
6√3 |a| = 54
⇒ |a| = 3√3
Jawaban: D

 

5. Vektor a→ dan b→ membentuk sudut α, dengan sinα=17. Jika |a→|=5 dan a→⋅b→=30, maka b→⋅b→ =…

(A)   5
(B)   6
(C)   7
(D)   8
(E)   9

Pembahasan:
sin α = 17   →   cos α = 67

Vektor a dan b membentuk sudut α, sehingga berlaku
a.b = |a| |b| cos α
√30 = √5 |b67
√30 = |b307
⇒  |b| = √7

Jadi, b.b = |b|² = (√7)2 = 7.

Jawaban: C

 

6. Vektor a→u→v→w→ adalah vektor-vektor di bidang kartesius dengan w→=u→+v→ dan sudut antara u→ dan a→adalah 45°. Jika 2a→=w→, maka u→⋅v→=…

(A)  |a→|(|a→|−|u→|)
(B)   |a→|(|v→|−|u→|)
(C)   |a→|(|a→|−|w→|)
(D)   |u→|(|a→|−|u→|)
(E)   |v→|(|a→|−|u→|)

Pembahasan:
Karena w = u + dan √2 a = w maka √2 a = u + v.
(√2 a)(√2 a) = (u + v)(u + v)
2a.a = u.u + v.v + 2u.v
2|a|² = |u|² + |v|² + 2u.v   …………………….(1)

Karena √2 a = u + v maka v = √2 a – u.
v.v = (√2 a – u)(√2 a – u)
v.v = 2a.a + u.u – 2√2u.a
|v|² = 2|a|² + |u|² – 2√2u.a

Karena sudut antara u dan a adalah 45°, maka berlaku u.a = |u| |a| cos 45°, sehingga persamaan diatas menajdi :
|v|² = 2|a|² + |u|² – 2√2 |u| |a| cos 45°
|v|² = 2|a|² + |u|² – 2√2 . 22 |u| |a|
|v|² = 2|a|² + |u|² – 2|u| |a|   ……………………………..(2)

Substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh :
2|a|² = |u|² + 2|a|² + |u|² – 2|u| |a| + 2u.v
2|a|² = 2|a|² + 2|u|² – 2|u| |a| + 2u.v

2|u| |a| – 2|u|² = 2u.v

|u| |a| – |u|² = u.v
|u| (|a| – |u|) = u.v
Jawaban: D

 

7. Diberikan vektor a→ dan b→. Jika a→⋅b→=|a→|2 dan |b→|=2|a→|, maka sudut antara vektor a→ dan b→ adalah…

(A)   30°
(B)   50°
(C)   60°
(D)   70°
(E)   80°

Pembahasan:
Misalkan sudut antara vektor a dan b adalah θ, sehingga
a.b = |a| |b| cos θ

Karena a.b = |a|² dan |b| = 2|a|, maka persamaan diatas menjadi
|a|² = |a| 2|a| cos θ
|a|² = 2|a|² cos θ
1 = 2 cos θ
cos θ = 1/2   →  θ = 60°
Jawaban: C

 

8. Diketahui tiga vektor a→b→ dan c→ dengan |b→|=3|c→|=4, dan a→=c→−b→. Jika γ adalah sudut antara vektor b→ dan c→, dengan a→⋅c→=25, maka sin γ =…

(A)  14
(B)   34
(C)   12
(D)   76
(E)   74

Pembahasan:
Karena a = c – b dan sudut antara vektor b dan c adalah γ, maka berlaku:
|a|² = |c|² + |b|² – 2|b| |c| cos γ
|a|² = (4)² + (3)² – 2(3)(4)cos γ
|a|² = 25 – 24cos γ   ………………………(1)

Karena a = c – b maka b = c – a, sehingga berlaku:
|b|² = |c|² + |a|² – 2a.c
3² = 4² + |a|² – 2(25)
⇒ |a|² = 43   ………………………………..(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:
43 = 25 – 24cos γ
24cos γ = -18
cos γ = –34   →   sin γ = 74

Jawaban: E
 

9. Vektor a→ dan b→ membentuk sudut tumpul α, dengan sinα=17. Jika |a→|=5 dan |b→|=7, maka a→⋅b→=…

(A)   30
(B)   √30
(C)   -√30
(D)   -20
(E)   -30

Pembahasan:
sin α = 17   →    cos α = −67
(cos α bernilai negatif karena α tumpul /kuadran II)

Vektor a dan b membentuk sudut α, sehingga berlaku
a.b = |a| |b| cos α
a.b = √5 √7 (-67)
a.b = -√30

Jawaban: C

 

10. Diketahui tiga vektor a→b→ dan c→ dengan a→⋅c→=−9b→⋅c→=0 dan c→=b→−a→. Misalkan α adalah sudut antara a→ dan b→. Jika |a→|=6|c→|=3, maka sin α =…

(A)   14
(B)   12
(C)   32
(D)   74
(E)   34

Pembahasan:
Karena c = b – a maka b = a + c sehingga berlaku:
|b|² = |a|² + |c|² + 2a.c
|b|² = (6)² + (3)² + 2(-9)
|b|² = 27
|b| = √27 = 3√3

Karena c = b – a dan sudut antara a dan b adalah α, maka berlaku:
|c|² = |b|² + |a|² – 2 |b| |a| cos α
(3)² = (3√3)² + (6)² – 2(3√3)(6) cos α
⇒ cos α = 12√3

Karena cos α = 12√3 maka sin α = 12.
Jawaban: B
 


 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

 

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan? Pasang iklan & promosikan jualan Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan? Pasang iklan & promosikan jualan atau jasa Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

 

Cara daftar pasang iklan gratis

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Tentang Matematika

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita! Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Algebra LAB, vektor

                       
 
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

By | 2019-07-31T14:16:56+07:00 Agustus 1st, 2019|Matematika|0 Comments

Leave A Comment