Vektor Satuan (Matematika) – Bersama Contoh Soal dan Jawaban

Vektor

1. Posisi vektor

${\vec {a}}=(a_{1},a_{2})={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}$

{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}+a_{3}{\hat {k}}

2. Panjang vektor

Berada di $R^{2}$

Panjang vektor a dalam posisi

(a_{1},a_{2})

adalah

\left|{\vec {a}}\right|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}

Panjang vektor b dalam posisi

(b_{1},b_{2})

adalah

\left|{\vec {b}}\right|={\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}

Panjang vektor c dalam posisi

(a_{1},a_{2})

dan

(b_{1},b_{2})

adalah

\left|{\vec {c}}\right|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}

Berada di $R^{3}$

Panjang vektor a dalam posisi

(a_{1},a_{2},a_{3})

adalah

\left|{\vec {a}}\right|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}

Panjang vektor b dalam posisi

(b_{1},b_{2},b_{3})

adalah

\left|{\vec {b}}\right|={\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}

Panjang vektor c dalam posisi

(b_{1},b_{2},b_{3})

adalah

\left|{\vec {c}}\right|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}

3. Vektor satuan

{\hat {a}}={\frac {\vec {a}}{\left|{\vec {a}}\right|}}

4. Operasi aljabar pada vektor

Penjumlahan dan pengurangan

terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang

{\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{1}+b_{1}}\\{a_{2}+b_{2}}\end{pmatrix}}

{\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{1}-b_{1}}\\{a_{2}-b_{2}}\end{pmatrix}}

Perkalian

skalar dengan vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor ${\vec {a}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}+a_{3}{\hat {k}}$ maka vektor $k{\vec {a}}=(ka_{1},ka_{2},ka_{3})$

titik dua vektor

Jika vektor ${\vec {a}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}+a_{3}{\hat {k}}$ dan vektor ${\vec {b}}=b_{1}{\hat {i}}+b_{2}{\hat {j}}+b_{3}{\hat {k}}$ maka ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

titik dua vektor dengan membentuk sudut

Jika ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ vektor tak nol dan sudut $\alpha$ diantara vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ maka perkalian skalar vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ adalah ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ = $\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|cos\alpha$

silang dua vektor

Jika vektor ${\vec {a}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}+a_{3}{\hat {k}}$ dan vektor ${\vec {b}}=b_{1}{\hat {i}}+b_{2}{\hat {j}}+b_{3}{\hat {k}}$ maka ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{2}b_{3}{\hat {i}}+a_{3}b_{1}{\hat {j}}+a_{1}b_{2}{\hat {k}})-(a_{2}b_{1}{\hat {k}}+a_{3}b_{2}{\hat {i}}+a_{1}b_{3}{\hat {j}})$

5. Operasi aljabar pada vektor

Penjumlahan dan pengurangan

terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang

{\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{1}+b_{1}}\\{a_{2}+b_{2}}\end{pmatrix}}

{\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{1}-b_{1}}\\{a_{2}-b_{2}}\end{pmatrix}}

Perkalian

skalar dengan vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor ${\vec {a}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}+a_{3}{\hat {k}}$ maka vektor $k{\vec {a}}=(ka_{1},ka_{2},ka_{3})$

titik dua vektor

Jika vektor ${\vec {a}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}+a_{3}{\hat {k}}$ dan vektor ${\vec {b}}=b_{1}{\hat {i}}+b_{2}{\hat {j}}+b_{3}{\hat {k}}$ maka ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

titik dua vektor dengan membentuk sudut

Jika ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ vektor tak nol dan sudut $\alpha$ diantara vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ maka perkalian skalar vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ adalah ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ = $\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|cos\alpha$

silang dua vektor

Jika vektor ${\vec {a}}=a_{1}{\hat {i}}+a_{2}{\hat {j}}+a_{3}{\hat {k}}$ dan vektor ${\vec {b}}=b_{1}{\hat {i}}+b_{2}{\hat {j}}+b_{3}{\hat {k}}$ maka ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{2}b_{3}{\hat {i}}+a_{3}b_{1}{\hat {j}}+a_{1}b_{2}{\hat {k}})-(a_{2}b_{1}{\hat {k}}+a_{3}b_{2}{\hat {i}}+a_{1}b_{3}{\hat {j}})$

\left[{\begin{array}{rrr|rr}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}&{\hat {i}}&{\hat {j}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&b_{1}&b_{2}\\\end{array}}\right]

silang dua vektor dengan membentuk sudut

Jika ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ vektor tak nol dan sudut $\alpha$ diantara vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ maka perkalian skalar vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$ adalah ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ = $\left|{\vec {a}}\right|\times \left|{\vec {b}}\right|sin\alpha$

6. Sifat operasi aljabar pada vektor

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$
$({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})$
${\vec {a}}+0=0+{\vec {a}}$
$k({\vec {a}}+{\vec {b}})=k{\vec {a}}+k{\vec {b}}$
$(k+l){\vec {a}}=k{\vec {a}}+l{\vec {a}}$
${\vec {a}}+(-{\vec {a}})=0$
${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$
$({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})$
${\vec {a}}\cdot 1=1\cdot {\vec {a}}$
$k({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})=k{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot k{\vec {b}}$
$(k\cdot l){\vec {a}}=k(l\cdot {\vec {a}})$
${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|$
${\vec {a}}\times {\vec {b}}\neq {\vec {b}}\times {\vec {a}}$
${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}})$
$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\neq {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$
${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$
${\vec {a}}\times ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {a}}\times {\vec {c}}$
$k({\vec {a}}\times {\vec {b}})=k{\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\times k{\vec {b}}$

7. Hubungan vektor dengan vektor lain

Perkalian titik

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor ${\vec {a}}$ dengan vektor ${\vec {b}}$ maka

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|cos90

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0

Sejajar

Jika vektor ${\vec {a}}$ sejajar dengan vektor ${\vec {b}}$ maka

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|cos0

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|cos180

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=-\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|

Perkalian silang

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor ${\vec {a}}$ dengan vektor ${\vec {b}}$ maka

{\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|sin90

{\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|

{\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|sin180

{\vec {a}}\times {\vec {b}}=-\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|

Jika $\beta >90$ maka dua vektor tersebut searah

Jika $\beta <90$ maka vektor saling berlawanan arah

Sejajar

Jika vektor ${\vec {a}}$ sejajar dengan vektor ${\vec {b}}$ maka

{\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|sin0

{\vec {a}}\times {\vec {b}}=0

8. Sudut dua vektor

Jika vektor ${\vec {a}}$ dan vektor ${\vec {b}}$ sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah $cos\alpha ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}}$

9. Panjang proyeksi dan proyeksi vektor

Panjang proyeksi vektor

{\vec {a}}

pada vektor

{\vec {b}}

adalah

\left|{\vec {c}}\right|={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {b}}\right|}}

Proyeksi vektor

{\vec {a}}

pada vektor

{\vec {b}}

adalah

{\vec {c}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {b}}\right|^{2}}}\cdot {\vec {b}}

10. Perbandingan

Aturan jajar genjang: Posisi vektor; ${\vec {N}}={\frac {ms+nr}{m+n}}$

Berada di

R^{2}

{\vec {N}}=({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}})

Berada di

R^{3}

{\vec {N}}=({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}},{\frac {mz_{2}+nz_{1}}{m+n}})

Satu garis: Perbandingan posisi dalam adalah m:n; Perbandingan posisi luar adalah m:-n

Keterangan	Posisi	Hasil
Translasi
penggeseran (a,b)	$(x,y)$	$(x+a,y+b)$
Refleksi
sumbu x	$(x,y)$	$(x,-y)$
sumbu y	$(x,y)$	$(-x,y)$
y=x	$(x,y)$	$(y,x)$
y=-x	$(x,y)$	$(-y,-x)$
pusat (0,0)	$(x,y)$	$(-x,-y)$
pusat (a,b)	$(x,y)$	$(2a-x,2b-y)$
pusat (a,0)	$(x,y)$	$(2a-x,y)$
pusat (0,b)	$(x,y)$	$(x,2b-y)$
Rotasi
berpusat (0,0)
90	$(x,y)$	$(-y,x)$
-90	$(x,y)$	$(y,-x)$
180	$(x,y)$	$(-x,-y)$
berpusat (a,b)
90	$(x,y)$	$(-y+a+b,x-a+b)$
-90	$(x,y)$	$(y-a+b,-x+a+b)$
180	$(x,y)$	$(-x+2a,-y+2b)$
berpusat (0,0)
Dilatasi
skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x,k\cdot y)$
Stretching
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x,y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,k\cdot y)$
Shearing
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x+y,y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,x+k\cdot y)$
berpusat (a,b)
Dilatasi
skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x+(1-k)a,k\cdot y+(1-k)b)$
Stretching
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x+(1-k)a,y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,k\cdot y+(1-k)b)$
Shearing
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(x+k\cdot (y-b)),y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,k\cdot (x-a)+y)$

Vektor Satuan (Matematika) – Bersama Contoh Soal dan Jawaban

Vektor Satuan

Vektor

1. Posisi vektor

2. Panjang vektor

3. Vektor satuan

4. Operasi aljabar pada vektor

5. Operasi aljabar pada vektor

6. Sifat operasi aljabar pada vektor

7. Hubungan vektor dengan vektor lain

8. Sudut dua vektor

9. Panjang proyeksi dan proyeksi vektor

10. Perbandingan

Rumus Vektor Satuan

Keterangan

Posisi

Hasil

Transformasi – Vektor Satuan

Transformasi isometri

Transformasi nonisometri

Translasi – Vektor Satuan

Rumus translasi adalah:

Refleksi – Vektor Satuan

Rumus refleksi adalah:

Rotasi – Vektor Satuan

Rumus rotasi adalah:

Dilatasi – Vektor Satuan

Rumus dilatasi adalah:

Regangan (Stretching) – Vektor satuan

Rumus stretching adalah:

Gusuran (Shearing) – Vektor Satuan

Rumus shearing adalah:

Contoh Soal dan Jawaban Vektor Satuan

1. Diketahui vektor →aa→ = (4, 6), →bb→ = (3, 4), dan →cc→ = (p, 0). Jika |→c−→a|=10|c→−a→|=10, maka kosinus sudut antara →bb→ dan →cc→ adalah…

3. Diketahui vektor a, u, v, w adalah vektor di bidang kartesius dengan v = w – u dan sudut antara u dan w adalah 60°. Jika a = 4v dan a.u = 0 maka…

4. Diketahui tiga vektor →aa→, →bb→ dan →cc→ dengan →b⋅→c=9b→⋅c→=9, dan →c=→b+→ac→=b→+a→. Misalkan γ adalah sudut antara vektor →aa→dan →cc→. Jika γ = 30° dan |→c|=6|c→|=6, maka |→a|=...|a→|=…

5. Vektor →aa→ dan →bb→ membentuk sudut α, dengan sinα=1√7sinα=17. Jika |→a|=√5|a→|=5 dan →a⋅→b=√30a→⋅b→=30, maka →b⋅→bb→⋅b→ =…

6. Vektor →aa→, →uu→, →vv→, →ww→ adalah vektor-vektor di bidang kartesius dengan →w=→u+→vw→=u→+v→ dan sudut antara →uu→ dan →aa→adalah 45°. Jika √2→a=→w2a→=w→, maka →u⋅→v=...u→⋅v→=…

7. Diberikan vektor →aa→ dan →bb→. Jika →a⋅→b=|→a|2a→⋅b→=|a→|2 dan |→b|=2|→a||b→|=2|a→|, maka sudut antara vektor →aa→ dan →bb→ adalah…

8. Diketahui tiga vektor →aa→, →bb→ dan →cc→ dengan |→b|=3|b→|=3, |→c|=4|c→|=4, dan →a=→c−→ba→=c→−b→. Jika γ adalah sudut antara vektor →bb→ dan →cc→, dengan →a⋅→c=25a→⋅c→=25, maka sin γ =…

9. Vektor →aa→ dan →bb→ membentuk sudut tumpul α, dengan sinα=1√7sinα=17. Jika |→a|=√5|a→|=5 dan |→b|=√7|b→|=7, maka →a⋅→b=...a→⋅b→=…

10. Diketahui tiga vektor →aa→, →bb→ dan →cc→ dengan →a⋅→c=−9a→⋅c→=−9, →b⋅→c=0b→⋅c→=0 dan →c=→b−→ac→=b→−a→. Misalkan α adalah sudut antara →aa→ dan →bb→. Jika |→a|=6|a→|=6, |→c|=3|c→|=3, maka sin α =…

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Tentang Matematika

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Nilai Pi 1 juta digit pertama | Analisis dan…

Menghitung Dimensi Balok dari Luas Jaring-Jaringnya

Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

**Regangan (Stretching) – Vektor satuan**

**Gusuran (Shearing) – Vektor Satuan**

1. Diketahui vektor $\vec{a}$ = (4, 6), $\vec{b}$ = (3, 4), dan $\vec{c}$ = (p, 0). Jika $| \vec{c} - \vec{a} | = 10$ , maka kosinus sudut antara $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah…

4. Diketahui tiga vektor $\vec{a}$ , $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ dengan $\vec{b} \cdot \vec{c} = 9$ , dan $\vec{c} = \vec{b} + \vec{a}$ . Misalkan γ adalah sudut antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{c}$ . Jika γ = 30° dan $| \vec{c} | = 6$ , maka $| \vec{a} | = . . .$

5. Vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut α, dengan $s i n α = \frac{1}{\sqrt{7}}$ . Jika $| \vec{a} | = \sqrt{5}$ dan $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{30}$ , maka $\vec{b} \cdot \vec{b}$ =…

6. Vektor $\vec{a}$ , $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ adalah vektor-vektor di bidang kartesius dengan $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ dan sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{a}$ adalah 45°. Jika $\sqrt{2} \vec{a} = \vec{w}$ , maka $\vec{u} \cdot \vec{v} = . . .$

7. Diberikan vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ . Jika $\vec{a} \cdot \vec{b} = {| \vec{a} |}^{2}$ dan $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ , maka sudut antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah…

8. Diketahui tiga vektor $\vec{a}$ , $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ dengan $| \vec{b} | = 3$ , $| \vec{c} | = 4$ , dan $\vec{a} = \vec{c} - \vec{b}$ . Jika γ adalah sudut antara vektor $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ , dengan $\vec{a} \cdot \vec{c} = 25$ , maka sin γ =…

9. Vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut tumpul α, dengan $s i n α = \frac{1}{\sqrt{7}}$ . Jika $| \vec{a} | = \sqrt{5}$ dan $| \vec{b} | = \sqrt{7}$ , maka $\vec{a} \cdot \vec{b} = . . .$

10. Diketahui tiga vektor $\vec{a}$ , $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ dengan $\vec{a} \cdot \vec{c} = - 9$ , $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ dan $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$ . Misalkan α adalah sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ . Jika $| \vec{a} | = 6$ , $| \vec{c} | = 3$ , maka sin α =…