Akar Bilangan Kompleks | Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Akar Bilangan Kompleks

Untuk mencari definisi dari akar bilangan kompleks yang memungkinkan kita untuk secara konsisten memilih satu nilai, yang disebut nilai pokok, kita mulai dengan mengamati bahwa bilangan kompleks x + iy dapat dilihat sebagai titik pada bidang, (x, y), diekspresikan menggunakan koordinat Cartesian.

Titik yang sama dapat ditafsirkan ulang menggunakan koordinat kutub sebagai pasangan ), yang di mana r ≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan varphi  adalah sudut yang dibuat garis dari titik asal ke titik dengan sumbu positif nyata (x). Dalam analisis kompleks, lokasi titik ini ditulis secara konvensional   Jika

kemudian kita tentukan akar kuadrat utama dari z sebagai berikut:

Fungsi akar kuadrat utama didefinisikan dengan menggunakan sumbu nyata nonpositif sebagai potongan cabang.

Fungsi akar kuadrat utama adalah holomorfik di mana-mana kecuali pada himpunan bilangan riil non-positif (pada real negatif ketat bahkan tidak kontinu). Deret Taylor untuk √1 + x di atas tetap valid untuk bilangan kompleks x dengan | x | <1.

Di atas juga dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri:

Baca juga 👉 Rumus Bilangan Kompleks | Contoh Soal dan Jawaban

Bagaimana cara mencari akar bilangan kompleks?

Setiap bilangan kompleks memiliki akar kuadrat kompleks. Namun, karena kita tidak tahu cara menangani ekspresi seperti √i, kita perlu mengikuti metode tertentu untuk mencari akar kuadrat dari sebuah bilangan kompleks.

Mari kita pertimbangkan bilangan kompleks 21-20i.

Kita tahu bahwa semua akar kuadrat dari bilangan ini akan memenuhi persamaan 21-20i = x2 berdasarkan definisi akar kuadrat.

Kita juga tahu bahwa x dapat diekspresikan sebagai a + bi (dengan a dan b adalah nyata) karena akar kuadrat dari sebuah bilangan kompleks selalu kompleks.

Jadi 21-20i = (a + bi) 2.

Langkah alami yang harus diambil di sini adalah menghilangkan istilah di sisi kanan.

Hasilnya adalah 21-20i = a2 + (2ab) i + (b2) i2.

Karena i2 = -1 menurut definisi i, persamaan ini dapat diatur ulang menjadi 21-20i = (a2-b2) + (2ab) i.

Sekarang kedua sisi persamaan berada dalam bentuk yang sama.

Mari kita bandingkan koefisien untuk mendapatkan dua persamaan di a dan b.

Pertama, mari bandingkan bagian nyata dari persamaan tersebut.

Kita memiliki a2-b2 = 21 (sebut persamaan ini 1).

Selanjutnya, mari kita bandingkan bagian imajiner persamaan (koefisien i).

Kita memiliki 2ab = -20 (sebut persamaan ini 2).

Kita sekarang memiliki dua persamaan dalam dua yang tidak diketahui. Kita bisa menyelesaikan persamaan simultan ini untuk a dan b.

Pertama, kita bisa menjadikan b subjek persamaan 2 dengan membagi kedua ruasnya dengan 2a.

Kita memiliki b = -10 / a.

Sekarang gantikan ungkapan ini untuk b ke dalam persamaan 1.

Kita memiliki a2 – (- 10 / a) 2 = 21.

Beberapa penyederhanaan dan faktorisasi persamaan ini memberi kita (a2 + 4) (a2-25) = 0, kuadrat terselubung.

Jadi, a2 = -4 atau a2 = 25.

Kita mengasumsikan a menjadi nyata sehingga a2 = -4 tidak memiliki solusi yang menarik bagi kita.

Ini berarti solusi kita adalah a = 5 dan a = -5.

Gantikan setiap nilai ke dalam ekspresi sebelumnya untuk b.

Artinya bila a = 5, b = -2 dan bila a = -5, b = 2.

Jadi, mengembalikan a dan b ke dalam konteks pertanyaan, kita memiliki dua solusi: 5-2i dan -5 + 2i.

Soal dan Jawaban Akar Bilangan Kompleks

1. Mengingat bilangan akar bilangan kompleks: z = -2 + 7i adalah akar dari persamaan: z3 + 6 z2 + 61 z + 106 = 0
temukan akar sebenarnya dari persamaan tersebut.

Jawaban:

Karena z = -2 + 7i adalah akar persamaan dan semua koefisien dalam persamaan tersebut adalah bilangan real, maka z ‘konjugasi kompleks dari z juga merupakan solusi. Maka:
z3 + 6 z2 + 61 z + 106 = (z – (-2 + 7i))(z – (-2 – 7i)) q(z)
= (z2 + 4z + 53) q(z)
q(z) = [ z3 + 6 z2 + 61 z + 106 ] / [ z2 + 4z + 53 ] = z + 2
Z + 2 adalah faktor z3 + 6 z2 + 61 z + 106 dan oleh karena itu z = -2 adalah akar sebenarnya dari persamaan yang diberikan.

2. Selesaikan soal akar bilangan kompleks ini: a) Tunjukkan bahwa bilangan kompleks 2i adalah akar persamaan: z4 + z3 + 2 z2 + 4 z – 8 = 0
b) Temukan semua akar dari persamaan ini.

Jawaban:

a) (2i)4 + (2i)3 + 2 (2i)2 + 4 (2i) – 8
= 16 – 8i – 8 + 8i – 8 = 0

b) 2i adalah root -2i juga merupakan root (konjugasi kompleks karena semua koefisien adalah nyata).
z4 + z3 + 2 z2 + 4 z – 8 = (z – 2i)(z + 2i) q(z)
= (z2 + 4)q(z)
q(z) = z2 + z – 2
Dua akar persamaan lainnya adalah akar dari q(z): z = 1 and z = -2.

Jenis Bilangan Matematika: Asli, Prima, Ganjil, Genap, Rasional, Irrasional, Imajiner, Komposit, Kompleks, Romawi…

Klik disini untuk membaca tentang bilangan matematika lainnya. (Akan membuka layar baru, tanpa meninggalkan layar ini).

Artikel Matematika Lainnya

Bacaan Lainnya

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Cleverly Smart, Wikipedia

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing

By | 2021-02-07T17:32:15+07:00 Februari 7th, 2021|Matematika|0 Comments

Leave A Comment