fbpx

Rumus Bilangan Kompleks – Contoh Soal dan Jawaban

Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan Real dengan bilangan Imajiner.

Dalam pelajaran matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk
{\displaystyle a+bi\,}

di mana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial (suku banyak) mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, di mana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangannya ditulis a + bj.

 

Bentuk Penjumlahan

Pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan 2 suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil dan suku kedua adalah bilangan imajiner.

{\displaystyle a+bi}

Angka kompleks ditambahkan dengan menambahkan secara terpisah bagian nyata dan imajiner dari summands. Artinya:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.\

 

Bentuk Penjumlahan

Demikian pula, pengurangan didefinisikan oleh

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.\

 

Bentuk Perkalian

Perkalian dalam dua bilangan kompleks dengan rumus berikut:

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.\

Secara khusus, kuadrat i adalah -1:

i^{2}=i\times i=-1.\

Definisi sebelumnya tentang penggandaan bilangan kompleks secara umum mengikuti secara alami dari properti fundamental i. Memang, jika saya diperlakukan sebagai angka sehingga berarti d kali i, aturan perkalian di atas identik dengan peraturan biasa untuk mengalikan dua jumlah dari dua syarat.

 

Bentuk Pembagian

Pembagian dua bilangan kompleks didefinisikan dalam hal perkalian kompleks, yang dijelaskan di atas, dan pembagian nyata. Bila setidaknya satu dari c dan d tidak nol, jadi:

{\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i.}

Pembagian dapat didefinisikan dengan cara ini, karena pengamatan sebagai berikut:

{\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\cdot \left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\cdot \left(c-di\right)}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i.}

 

Bentuk Polar

Dengan menganggap bahwa:

{\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

dan

{\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)}

maka

{\displaystyle a+bi=r(\cos \theta +i\sin \theta )}

Untuk mempersingkat penulisan, bentuk {\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )} juga sering ditulis sebagai {\displaystyle r\,cis\theta }.

 

Bentuk Eksponen

Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:

{\displaystyle re^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )}

 

Bidang kompleks

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.

Koordinat Kartesius bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y, sedangkan koordinat sirkulernya adalah r = |z|, yang disebut modulus, dan φ = arg(z), yang disebut juga argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:

{\displaystyle z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )=re^{i\phi }.\,}

Kadang-kadang, notasi r cis φ dapat juga ditemui.

Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat diperoleh:

{\displaystyle r_{1}e^{i\phi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}\,}

dan

{\displaystyle {\frac {r_{1}e^{i\phi _{1}}}{r_{2}e^{i\phi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\phi _{1}-\phi _{2})}.\,}

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.

Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam {\displaystyle \pi /2} radian). Secara geometris, persamaan i2 = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (\pi  radian).

 

Bentuk Konjugasi

Bentuk konjugat dari angka kompleks z = x + yi didefinisikan sebagai x − yi. Hal ini dilambangkan dengan salah satu seperti {\overline {z}} atau z*.

Secara geometris, {\bar {z}} is the “reflection” of z tentang sumbu sebenarnya. Konjugasi dua kali memberikan bilangan kompleks asli: {\bar {\bar {z}}}=z.

Bagian nyata dan imajiner dari bilangan kompleks z dapat diekstraksi menggunakan konjugat:

{\displaystyle \operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}},\,}
{\displaystyle \operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}.\,}

Selain itu, bilangan kompleks adalah nyata jika dan hanya jika sama dengan konjugatnya sendiri.

Konjugasi mendistribusikan operasi aritmatika standar:

{\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}},\,}
{\displaystyle {\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}},\,}
{\displaystyle {\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}},\,}
{\displaystyle {\overline {z/w}}={\overline {z}}/{\overline {w}}.\,}
Bilangan kompleks

Representasi geometrik z dan konjuganya    di bidang kompleks

 

Contoh Soal dan Jawaban Bilangan Kompleks

1. Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y).
Jika z = , tentukan x dan y. Lalu, gambarkan z dalam bidang kompleks!

Jawaban:
Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan…
z = 
z = 
z = 
z = 
z = 
Di sini didapat bahwa x=5 dan y = .
Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:

Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud.

2. Jika z1 = z2 = z3.
z1 = c + a.
z2 = b + 2c.
z3 = a+2 – d.
Tentukan a, b, c, d dan z1, z2 dan z3!

Jawab:
Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + q dan r+sdikatakan sama jika dan hanya jika p = r DAN q = s.

Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya..

z1 = z2 = z3
c + a = b + 2c = a+2 – d.

c = b = a+2 … (i)
a = 2c = -d … (ii)

c= a+2
Substitusikan nilai c ke persamaan 2
a = 2(a+2)
a = 2a + 4
a = -4
Jadi, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)

Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + a = -2 -4.

 

3. Soal penambahan: (3+2)+(-2+7) =…

Jawaban:
(3+2)+(-2+7) = 3 + 2 -2 + 7 = 1 + 9.

4. Soal penngurangan: (2-3)-(8-2)=…

Jawaban:
Dikerjakan sama seperti penjumlahan..
(2-3)-(8-2) = 2 -3 -8 +2 = -6 –.

5. Soal perkalian: (3+4)(2-5) = …

Jawaban:
Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.
(3+4)(2-5) = 6 -15 + 8 -20.
Lalu ubah  menjadi 1.(3+4)(2-5) = 6 -15 + 8 +20 = 26 -7.

6. Soal pembagian:

= ….
Jawaban:
Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (lihat langkah di bawah).
 =   
====-= 
====-= 
====-= 
====-= 

7. Soal pemangkatan sederhana: Jika z = 3-. Tentukan .

Jawaban:
Hasil dari pemangkatan dapat diselesaikan dengan dalil De Moivre. Namun, karena kita belum belajar hal itu, kita akan mengalikannya secara biasa.
 = (3-)(3-)(3-) = (9-6-1)(3-)=(8-6)(3-)=24-8-18-6=18-27.

 

Jenis Bilangan Matematika: Asli, Prima, Ganjil, Genap, Rasional, Irrasional, Imajiner, Komposit, Kompleks, Romawi…

Klik disini untuk membaca tentang bilangan matematika lainnya. (Akan membuka layar baru, tanpa meninggalkan layar ini).

 

Artikel Matematika Lainnya

 

Bacaan Lainnya

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

 

Sumber bacaan: Wikipedia

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2018-07-11T15:38:31+07:00 Februari 6th, 2018|Matematika|0 Comments

Leave A Comment