Faktorial Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban

2 min read

Faktorial matematika

Faktorial Matematika

Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial. Secara umum dapat dituliskan sebagai:

{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}

Sebagai contoh, nilai dari {\displaystyle 7!} adalah 7 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040.  Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial :

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
12 479001600
14 87178291200
16 20922789888000
18 6402373705728000
20 2432902008176640000
25 1.5511210043×1025
42 1.4050061178×1051
50 3.0414093202×1064
70 1.1978571670×10100
100 9.3326215444×10157
450 1.7333687331×101.000
1000 4.0238726008×102.567
3249 6.4123376883×1010.000
10000 2.8462596809×1035.659
25206 1.2057034382×10100.000
100000 2.8242294080×10456.573
205023 2.5038989317×101.000.004
1000000 8.2639316883×105.565.708

 

Definisi Faktorial

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

{\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{untuk semua }}n\geq 1.}

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk {\displaystyle n\geq 0}

{\displaystyle n!={\begin{cases}n\cdot (n-1)!,&{\mbox{untuk }}n\geq 1\\1,&{\mbox{untuk }}n=0.\end{cases}}}

Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\,{\frac {n^{n}}{e^{n}}}.}

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}
{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}

 

Contoh Soal dan Jawaban Faktorial

1. Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 10(n + 2)!

Jawaban:

(n + 3)! = 10(n + 2)!

(n +3)(n + 2)! = 10(n + 2)!

n + 3 = 10 0

n = 7

 

2. Berapakah nilai dari \displaystyle \huge \\ \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+...+\frac{99}{100!} ?

 

Jawaban:

\displaystyle \\ \frac{k}{(k+1)!} = \frac{k+1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+1)!}

\displaystyle \\ = \frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}

Maka \displaystyle \huge \\ \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4}+...+\frac{99}{100!}

\displaystyle \huge \\= \left ( \frac{1}{1! } - \frac{1}{2! } \right) + \left ( \frac{1}{2! } - \frac{1}{3! } \right) +...+ \left ( \frac{1}{99! } - \frac{1}{100! } \right)

=1 - \frac{1}{100!}

Jadi \displaystyle \huge \\ \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{99}{100!}=1 - \frac{1}{100!}.

 

3. Tentukanlah n jika diketahui   {(n~+~1)!}/{(n~-~1)!}~=~56

Jawaban:
{(n~+~1)!}/{(n~-~1)!}~=~56
{(n~+~1)n(n~-~1)!}/{(n~-~1)!}~=~56
(n + 1) n = 56
n^2~+~n = 56
n^2 + n – 56 = 0
(n + 8)(n – 7) = 0
n = – 8 atau n = 7
(n = – 8 tidak berlaku)

 

 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Factorielle

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Matematika adalah alat penting dalam berbagai aspek kehidupan kita, mulai dari keuangan pribadi hingga usaha profesional. Memahami dan menerapkan perhitungan matematis dapat secara signifikan...
PinterPandai
5 min read

Heuristik adalah metode komputasi yang cepat memberikan solusi

Heuristik Metode heuristik didasarkan pada evaluasi yang hampir terus menerus, terutama formatif. Perolehan konsep dinilai selama observasi guru. Penilaian didasarkan pada kriteria eksplisit bersama...
PinterPandai
2 min read

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *