Site icon PINTERpandai

Pertidaksamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak – Contoh Soal dan Jawaban

Pertidaksamaan matematika 2

Pertidaksamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak

Pertidaksamaan Matematika adalah

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih.

Notasi tanda pertidaksamaan matematika

Notasi Arti Contoh
 < lebih kecil
kurang dari
2 < 3
x + 1 < 3
 > lebih besar
lebih dari
3 > 2
3x + 1 > 5
 ≤ lebih kecil atau sama dengan
batas dibawah
maksimum
maksimal
sebanyaknya
paling banyak
tidak lebih dari
sekurangnya
2 ≤ 3
x + 1 ≤ 3
 ≥ lebih besar atau sama dengan
batas diatas
minimum
minimal
sesedikitnya
paling sedikit
tidak kurang dari
selebihnya
3 ≥ 2
3x + 1 ≥ 5
 ≠ tidak sama dengan 2 ≠ 3
x + 1 ≠ 3
 a < x < b diantara a dan b 2 < x < 5
 a ≤ x < b diantara a dan b bila nilai minimal a 2 ≤ x < 5
 a < x ≤ b diantara a dan b bila maksimal b 2 < x ≤ 5
 a ≤ x ≤ b diantara a dan b bila minimal a dan maksimal b 2 ≤ x ≤ 5

Jenis-jenis pertidaksamaan matematika

1. Pertidaksamaan Linear

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan  !

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)

2. Pertidaksamaan Kuadrat

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

dibuat dengan harga nol

dibuat irisan

-2 5
+++ N/A —- N/A +++
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

dibuat harga nol

dibuat irisan

(-4) (3)
+++ N/A —- N/A +++

3. Pertidaksamaan Akar

Dalam bentuk pertidaksamaan akar sebagai berikut:

 atau 

haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

dibuat harga nol

dibuat irisan

-2 5
+++ N/A —- N/A +++

karena ada syarat akar maka:

akar 1

dibuat harga nol

dibuat irisan

0 4
+++ N/A —- N/A +++
akar 2

gabungkan umum dan syarat

irisan -2 (0) (4) 5 (10)
pertama tidak N/A ya N/A ya N/A ya N/A tidak N/A tidak
kedua ya N/A ya N/A tidak N/A ya N/A ya N/A ya
ketiga ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A tidak
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

dibuat harga nol

dibuat irisan

(-6) (9)
+++ N/A —- N/A +++

karena ada syarat akar maka:

akar 1

dibuat harga nol

dibuat irisan

(-2) (2)
+++ N/A —- N/A +++
akar 2

gabungkan umum dan syarat

irisan (-50/3) (-6) (-2) (2) (9)
pertama ya N/A ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya
kedua ya N/A ya N/A ya N/A tidak N/A ya N/A ya
ketiga tidak N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya

4. Pertidaksamaan Pecahan

Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:

 atau 

haruslah mempunyai syarat yaitu penyebut atau g(x) ≠ 0.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
penyebut 2

dibuat irisan

2 11/4 3
+++ N/A —- N/A +++ N/A —-
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

dibuat harga nol

 (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
penyebut 2

dibuat irisan

-17 (-7) 3 (5)
+++ N/A —- N/A +++ N/A —- N/A +++

5. Pertidaksamaan Mutlak

Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak adalah sebagai berikut:

haruslah mempunyai dua nilai yaitu

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan – karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)

untuk 
 definit +
untuk 

dibuat harga nol

dibuat irisan

-4 3
+++ N/A —- N/A +++
  • Tentukan nilai x dari persamaan !
terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada
untuk | x^2 – 4x – 12 |
batasan f(x)

dibuat harga nol

dibuat irisan

-2 6
+++ N/A —- N/A +++
batasan -f(x)

dibuat harga nol

dibuat irisan

-2 6
+++ N/A —- N/A +++
untuk | 7 – 6x |
batasan f(x)
batasan -f(x)

keempat batas-batas akan dibuat irisan

irisan -2 7/6 6
pertama x^2 – 4x – 12 N/A N/A N/A x^2 – 4x – 12
kedua N/A -(x^2 – 4x – 12) N/A -(x^2 – 4x – 12) N/A
ketiga 7 – 6x N/A 7 – 6x N/A N/A
keempat N/A N/A -(7 – 6x) N/A -(7 – 6x)
untuk x <= -2

dibuat harga nol

dibuat irisan

(-6) (-2) (4)
Ya N/A Ya N/A Tidak N/A Tidak
+++ N/A —- N/A —- N/A +++
untuk -2 < x <= 7/6

dibuat harga nol

dibuat irisan

-2 (0) (7/6) (10)
Tidak N/A Ya N/A Ya N/A Tidak N/A Tidak
+++ N/A +++ N/A —- N/A —- N/A +++
untuk 7/6 < x < 6

dibuat harga nol

dibuat irisan

(-2) (0) 7/6 6
Tidak N/A Tidak N/A Tidak N/A Ya N/A Tidak
+++ N/A —- N/A +++ N/A +++ N/A +++

untuk x >= 6

 definit +

gabungkan ketiga batas-batas. jadi:

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
akar dari 
 definit +

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
penyebut 2
akar dari 

dibuat harga nol

 (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
penyebut 2

dibuat irisan

-6 2* 3 10*
+++ N/A —- N/A —- N/A +++ N/A +++
nb: * = mempunyai 2 akar
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan {\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|}!

dibuat harga nol

dibuat irisan

2 5
+++ N/A —- N/A +++

karena ada syarat akar maka:

akar 1

dibuat harga nol

dibuat irisan

0 4
+++ N/A —- N/A +++
akar 2

gabungkan umum dan syarat

irisan (0) (2) (10/3) (4) (5)
pertama ya N/A ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya
kedua ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya N/A ya
ketiga tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya N/A ya N/A ya
Pertidaksamaan Matematika: Linear, Kuadrat, Akar, Pecahan, Mutlak

Contoh Soal dan Jawaban Pertidaksamaan Matematika

1. Jika diketahui a² + b² = 1 dan c² + d² = 1. Berapa nilai minimum ac + bd – 2?

Jawaban pertidaksamaan matematika:

Untuk setiap bilangan real a, b, c, dan d terdapat hubungan

(a+c)² ≥ 0 → a² + c² + 2ac ≥ 0    (1)
(b+d)² ≥ 0 → b² + d² + 2bd ≥ 0  (2)

Jumlahkan persamaan (1) dan (2)

(a²+b²) + c²+d²) + 2(ac + bd) ≥ 0
1+1+2(ac + bd) ≥ 0
ac + ad ≥ -1  (kurangi kedua ruas dengan 2)
∴ ac + bd – 2 ≥ -3

dari bentuk pertidaksamaan terakhir bisa diambil kesimpulan bahwa nilai ac + bd – 2 mempunyai nilai minimum .

2. Nilai  yang memenuhi   

a)  
b)  
c)   atau 
d)   atau 
e)   atau  > 

Jawaban:

dengan menyamakan penyebut didapat

Pembilang merupakan bentuk definit negatif (D < 0 dan a < 0) jadi berapapun nilai  yang dipilih akan tetap bernilai negatif.

Anda dapat menggunakan bantuan dengan garis bilangan:

Jadi nilai y yang memenuhi

y < 0 atau y > 1

Cara alternatif atau cara ke dua:

Dari soal bisa diambil kesimpulan bahwa  dan , karena akan menyebabkan pembagian dengan nol. Jadi semua pilhan yang mengandung 0 dan 1 pasti salah.
Akibatnya yang masih mungkin benar adalah pilihan A dan E.

Pilih  yang akan menyebabkan nilai pertidaksamaan menjadi  merupakan pernyataan yang benar. Karena  tidak termasuk dalam selang dipilhan A, tetapi ada termasuk dalam selang dipilihan E, sehingga pilihan E merupakan pilihan jawaban yang benar

3. Himpunan titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan y - 2x > 0 dan y > 4 - x seluruhnya berada di kuadran mana?
a) I
b) II
c) I dan II
d) I dan IV
e) I, III dan IV

Jawaban:

Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berada di kuadran I dan II. Jawaban yang benar: c) I dan II.

4. Banyaknya bilangan real a agar pertidaksamaan |x² + 2ax +3a| ≤ 2 mempunyai tepat satu solusi pada x adalah…

Jawaban:

Supaya penyelesaian mempunyai tepat satu solusi maka setiap faktor harus mempunyai nilai 

(1)  :

(2)  :

Karena dari kedua faktor itu memberikan nilai a yang berbeda, lakukan cek silang nilai diskriminan dari a

Nilai  dan  akar dari faktor (1) menyebabkan nilai  akibatnya akan membuat faktor (2) mempunyai akar yang lain (tidak memenuhi syarat tepat satu akar).

Nilai  dan  akar dari faktor (2) menyebabkan nilai  (definit positif) akibatnya faktor (1) tidak akan mempunyai akar lain.

Jadi banyaknya bilangan riil a yang memembuat pertidaksamaan hanya mempunyai tepat satu solusi ada 2 yaitu a=1 atau a=2.

Dengan menggunakan ilustrasi grafik

catatan:
Persamaan kuadrat  mempunyai tepat satu solusi/jawaban jika

dimana:

5. Semua nilai  yang memenuhi 
a)  
b)  
c)  
d)  
e)  

Jawaban:

Jadi nilai  yang memenuhi 

Cara Alternatif :

Kesimpulannya: pilihan yang paling cocok E

6. Himpunan penyelesaian dari  adalah…

Jawaban:

Syarat (1) 

Syarat (2) 

Cara Alternatif:
Cek pilihan


ket: dalam akar tidak boleh negatif. Akibatnya pilihan A dan C pasti salah.


ket: Pilihan B dan D pasti salah, jadi pilihan yang benar adalah E

7. Berapa bilangan bulan terdekat dengan yjika y adalah bilangan real sehingga 3 < y < 4 dan y3 - 6y - 7 = 0?

Jawaban:

Gunakan manipulasi aljabar untuk mencari nilai y

Diketahui bahwa 3 < y < 4 sehingga

Jadi bilangan bulan terdekat dengan y2 adalah 8

8.  Jika x dan y memenuhi 2y2 - 1 > x dan 9y - x + 4 = 0, maka x - y memenuhi…

a) 

b)   

c)  

d)  

e)  

Jawaban:

Kurva 2y2 - 1 = x berupa parabola terbuka ke kanan, dan 9y - x + 4 = 0 merupakan garis lurus. Titik potong kedua kurva bisa dicari dari ..

Untuk y = -1/2 nilai x = -1/2
Untuk y = 5 nilai x = 49
Titik potong kedua kurva di A(-1/2, 1/2) dan B(49,5)
Dari gambar di bawah terlihat bahwa himpunan penyelesaian berada pada garis 9y – x + 4 = 0 (garis tebal berpanah)

Nilai x - y maksimum dan minimum terletak di titik A dan titik B.
jadi interval nilai x - y < 0 atau x - y > 44

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing

Exit mobile version