Deret Pangkat Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban

0 Shares

Deret Pangkat

Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots

dengan a_n melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots .

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

Contoh Deret Pangkat

Setiap polinomial (suku banyak) dapat diekspresikan dengan mudah sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat c, meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol karena suatu deret-pangkat ini mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya menurut definisi. Misalnya, polinomial $f(x)=x^{2}+2x+3$ dapat ditulis sebagai suatu deret-pangkat sekitar pusat $c=0$ sebagai

f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,

atau sekitar pusat $c=1$ sebagai

f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}

+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,

atau sesungguhnya sekitar pusat c manapun. Deret-pangkat dapat dipandang seperti “polinomials dengan derajat tak terhingga,” meskipun deret-pangkat bukanlah polinomial.

Rumus deret geometri

{\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,

valid untuk $|x|<1$ , merupakan salah satu contoh paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,

dan rumus sinus

\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,

valid untuk semua bilangan real x.

Semua deret pangkat ini juga merupakan contoh untuk deret Taylor.

Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu deret Laurent). Demikian pula, pangkat pecahan seperti $x^{1/2}$ tidak diizinkan (tetapi lihat deret Puiseux). Koefisien-koefisien $a_{n}$ tidak diizinkan untuk bergantung kepada $x$ , jadi misalnya:

\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,

bukan suatu deret pangkat.

Jari-jari konvergensi deret pangkat

Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel x dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat f(x) dalam pangkat (x–c) akan bersifat konvergen pada x = c. (Nilai yang benar f(c) = a₀ membutuhkan penafsiran ekspresi 0⁰ sama dengan 1.) Jika c bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan r di mana 0 < r ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |x − c| < r dan divergen bilamana |x − c| > r. Bilangan r disebut “jari-jari konvergensi” (“radius of convergence“) suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:

r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}

atau, secara ekuivalen,

$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$

Operasi pada deret pangkat (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian)

Penjumlahan dan pengurangan

Bilamana dua fungsi f dan g didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat c yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}

g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}

maka

f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.

Perkalian dan pembagian

Dengan definisi yang sama seperti di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut:

f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)

=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}

=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.

Urutan $m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ dikenal sebagai konvolusi urutan $a_{n}$ dan $b_{n}$ .

Untuk pembagian, perhatikan:

{f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}

f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)

dan kemudian gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.

Diferensiasi dan integrasi deret pangkat

Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:

f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}

\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.

Kedua deret ini memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.

Fungsi analitik deret pangkat

Sebuah fungsi f didefinisikan pada sejumlah subset terbuka U dari R atau C disebut analitik jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap a ∈ Umempunyai neighborhood terbuka V ⊆ U, sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat a yang konvergen ke f(x) untuk setiap x ∈ V.

Deret pangkat formal

Dalam aljabar abstrak, diupayakan untuk menangkap makna deret-pangkat tanpa dibatasi pada bidang bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep deret pangkat formal, suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam kombinatorika aljabar.

Deret pangkat dalam beberapa variabel

Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan kalkulus multivariabel. Deret pangkat di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk

f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},

di mana j = (j₁, …, j_n) adalah vektor bilangan asli; koefisien a_(j1,…,jn) biasanya adalah bilangan real atau kompleks, dan pusat c = (c₁, …, c_n) serta argumen x = (x₁, …, x_n) biasanya adalah vektor real atau kompleks. Notasi multi-index yang lebih sederhana dapat ditulis

f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.

Tingkatan deret pangkat

Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkatf(x₁, x₂, …, x_n). Tingkatan (order) dari deret pangkat f didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga a_α ≠ 0, atau 0 jika f ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat f(x) dalam variabel tunggal x, tingkatan f adalah pangkat terkecil dari x dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke deret Laurent.

Contoh soal dan Jawaban Deret Pangkat

1. Tunjukkan bahwa deret $\displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k \ln k}$ divergen.

Penyelesaian:

Gunakan uji integral untuk menunjukkan deret itu divergen.
Misalkan $f(k) = \dfrac{1}{k \ln k}$ kontinu pada selang $[2, \infty)$ . Bentuk analisis integralnya adalah sebagai berikut.
$\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k \ln k}~dk= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k}~dk$
Untuk mengintegralkannya, substitusikan $u = \ln k$ berarti $du = \dfrac{1}{k}~dk$
$\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k}~dk= \int \dfrac{1}{u}~du = \ln u$
(Abaikan konstanta) Substitusikan kembali nilai $u$ , diperoleh
$\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k}~dk = \ln(\ln k)$
(Tanda mutlak tak perlu dituliskan karena $k$ sudah didefinisikan positif).
Jadi, jika kita kembalikan pada soal, ditulis
$\displaystyle \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k}~dk = \lim_{b \to \infty} [\ln(\ln k)]_{2}^{b}$ $= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left[\ln(\ln b) - \ln(\ln 2)\right] = \infty$
(Jika b diperbesar sampai tak hingga, maka $\ln b$ akan membesar menuju tak hingga juga. Atau dengan kata lain, jika ditanya $e$ pangkat berapa hasilnya tak hingga, maka jawabannya adalah tak hingga/besar sekali)
Jadi, deret tersebut terbukti divergen.

2. Tentukan daerah kekonvergenan deret berikut: X – X²/2 + X³/3 – X⁴/4 + …

Penyelesaian:
Deret ini identik dengan bentuk persamaan (1.1). Jadi, deret ini adalah Power Series atau deret pangkat untuk X = 0 dan harga mutlak suku ke-ndan ke-(n + 1) adalah:

|a_n Xⁿ| = |Xⁿ/ n|
|a_n+1 Xⁿ⁺¹| = |Xⁿ⁺¹/ n+1|

Untuk menentukan selang X yang membuat deret ini konvergen, kita bisa gunakan hubungan:

ρ_n = limit |(Xⁿ⁺¹/ (n + 1)) . (n / Xⁿ)| < 1
|X| < 1 atau –1 < X < 1

kemudian periksalah sifat deret untuk harga X = 1, dengan cara memasukkan harga ini ke dalam deret X – X²/2 + X³/3 – X⁴/4 + …. Coba anda perhatikan bahwa deret tersebut bisa menjadi deret selang-seling: 1 – 1/2 + 1/3 – ¼ + … yang konvergen bersyarat.

Untuk X = –1, didapat deret – 1 – ½ – 1/3 – …., yaitu deret harmonis bertanda negatif yang divergen. Jadi, jelas bahwa deret ini hanyalah konvergen untuk harga X di antara X > –1 sampai X ≤ +1. Di titik X = –1, deret divergen.

Kesimpulannya: Deret ini konvergen dalam daerah –1 < X ≤ +1.

3. Tunjukkan bahwa deret $\displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$ konvergen.

Penyelesaian:

Kita akan menggunakan uji integral untuk menunjukkan deret itu divergen. Misalkan $f(k) = \dfrac{1}{k^2}$ kontinu pada selang $[2, \infty)$ . Bentuk analisis integralnya adalah sebagai berikut.
$\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}~dk= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k^2}~dk$
$= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{k}\right]_{2}^{b}$
$= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left(-\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2}$
Karena limitnya ada, maka terbukti bahwa deret $\displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$ konvergen.

4. Tunjukkan bahwa deret $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$ konvergen.

Penyelesaian:

Dua soal sebelumnya menunjukkan bahwa dengan uji integral, kita dapat dengan mudah menentukan kekonvergenan deret, tapi tidak untuk kasus ini. Mengapa? Karena bentuk $\dfrac{n}{2^n}$ akan begitu sulit untuk diintegralkan. Untuk menunjukkan kekonvergenannya, akan lebih mudah bila menggunakan uji rasio. Misalkan $x_n = \dfrac{n}{2^n}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}}$
Berarti,
$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{\dfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\dfrac{n}{2^n}}$ $= \dfrac{2^n}{2^{n+1}} \times \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)$
Jelas bahwa
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{2} = L$
Karena $L < 1$ , maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$ konvergen.

5. Tunjukkan bahwa deret $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ konvergen.

Penyelesaian:

Sama seperti soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan (apalagi memuat faktorial). Kita akan menggunakan uji rasio.
Misalkan $x_n = \dfrac{2^n}{n!}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}$
Berarti,
$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^n}{n!}}$
$= \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{2}{n+1}$
Jelas bahwa
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n+1} = 0 = L$
Karena $L < 1$ , maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ konvergen.

6. Tunjukkan bahwa deret $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n}$ konvergen.

Penyelesaian:

Sama seperti soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan. Kita akan menggunakan uji rasio.
Misalkan $x_n = \dfrac{n!}{n^n}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$
Berarti,
$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \dfrac{n^n}{n!}$
$= \dfrac{(n+1)n^n}{(n+1)^n(n+1)} = \dfrac{n^n}{(n+1)^n}$
$= \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n = \dfrac{1}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n} =\dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n}$
Limit pada bentuk penyebutnya adalah limit barisan euler, yaitu
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = e$
Jadi,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n} = \dfrac{1}{e} = L$
Karena $L < 1$ , maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n}$ konvergen.

7. Dengan menggunakan uji rasio, periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen.
a) $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} + \cdots$
b) $1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} + \cdots$

Penyelesaian

(Jawaban a) Misalkan $a_n = \dfrac{1}{n}$ dan $a_{n + 1} = \dfrac{1}{n + 1}$ , sehingga nilai mutlak rasionya adalah
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{n+1}{1} = \dfrac{n+1}{n}$
Dengan demikian,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{n} = 1 = L$
Karena $L = 1$ (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak dapat ditentukan dengan uji rasio. (deret tersebut sebenarnya divergen)
(Jawaban b) Misalkan $a_n = \dfrac{1}{n^2}$ dan $a_{n + 1} = \dfrac{1}{(n + 1)^2}$ , sehingga nilai mutlak rasionya adalah
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{n^2} \times \dfrac{(n+1)^2}{1} = \dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^2}$
Dengan demikian,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^2} = 1 = L$
Karena $L = 1$ (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak dapat ditentukan dengan uji rasio. (deret tersebut sebenarnya konvergen).
Catatan: Dari kedua kasus di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa ketika menggunakan uji rasio dan kita memperoleh nilai $L = 1$ , maka kita tidak dapat menentukan kekonvergenan deretnya (tampak kasus a divergen dan kasus b konvergen, padahal nilai $L$ sama)

8. Sekarang kita perhatikan power series atau deret pangkat sekitar X = a.
(X – 2) + (X – 2)² / 4 + (X – 2)³ / 9 + (X – 2)⁴ / 16 + ….

Penyelesaian:
Deret ini mempunyai suku umum a_n sebagai berikut:

a_n = (X – 2)ⁿ / n² a_n+1 = (X – 2)ⁿ⁺¹ / (n + 1)²

ρ_n = Limit_n–>∞ |[(x – 2)^{n + 1} / ( n + 1)²] . [(n²) / (X – 2)ⁿ]| < 1

| x – 2| < 1 atau – 1 < X – 2 < +1
1 < X < 3

9. Jika kita substitusikan atau Masukkan X = 1 ke dalam deret :
**Σ_n=1 (X – 2)ⁿ / n²**

Maka hasil yang diperoleh adalah:

–1 + 1/4 – 1/9 + 1/16 – ….

Deret ini konvergen mutlak. Sedangkan untuk X = 3, kita bisa ketahui setelah dimasukkan dan deret menjadi :

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ….

Ini juga menjadi sebuah deret konvergen. Jadi, daerah kekonvergenan deret pada contoh no 2 ini adalah 1 ≤ X ≤ 3.

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan? Pasang iklan & promosikan jualan atau jasa Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Deret Pangkat

Contoh Deret Pangkat

Jari-jari konvergensi deret pangkat