Turunan Trigonometri – Rumus Turunan Fungsi Trigonometri – Contoh Soal dan Jawaban

Rumus turunan trigonometri

Berikut rumus turunan trigonometri:

1. Jika f(x) =  sin x maka f'(x) = cos x
2. Jika f(x) = cos x maka f'(x) = -sin x
3. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec²x
4. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = -cosec²x
5. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x.tan x
6. Jika f(x) = cosec x maka f'(x) = -cosec x.cot x
Tips
Setiap fungsi trigonometri yang hurufnya dimulai dengan huruf c, maka turunannya bernilai negatif.

Penjelasan Turunan trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri adalah turunan yang fungsi sinus dan kosinus, yang di dapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.

Jika y=sin x maka y’ = cos x
Jika y=cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar diatas tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yaitu turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan.

Proses pengembangan rumus tersebut ialah:

y = tan x maka y’ = sec2x
y = cot x maka y’ = – cosec2x
y = sec x maka y’ = sec x . tan x
y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x

Maka, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut ini:

Misalkan u(x) merupakan fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y= f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’= (cos u)(u’)

y’= u’.cos u
Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan real.

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ini ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri:

  • Jika f(x)= sin x → f ‘(x) = cos x
  • Jika f(x)= cos x → f ‘(x) = −sin x
  • Jika f(x)= tan x → f ‘(x) = sec2 x
  • Jika f(x)= cot x → f ‘(x) = −csc2x
  • Jika f(x)= sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
  • Jika f(x)= cosec x → f ‘(x) = −cosec x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 1

Misalkan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ merupakan turunan u terhadap x, maka:

  • Jika f(x)= sin u → f ‘(x) = cos u . u’
  • Jika f(x)= cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
  • Jika f(x)= tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
  • Jika f(x)= cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
  • Jika f(x)= sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
  • Jika f(x)= csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 2

Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a≠0 ;

  • Jika f(x)= sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
  • Jika f(x)= cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
  • Jika f(x)= tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
  • Jika f(x)= cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
  • Jika f(x)= sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
  • Jika f(x)= csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b)

Contoh Soal Turunan Trigonometri

1. Turunkan fungsi berikut: y = 5 sin x

Pembahasan:

y = 5 sin x
y’ = 5 cos x

2. Turunan pertama fungsi y = cos (2x³ – x²) ialah…

A. y’ = sin (2x³ – x²)
B. y’ = -sin (2x³ – x²)
C. y’ = (6x² – 2x) cos (2x³ – x²)
D. y’ = (6x² – 2x) sin (2x³ – x²)
E. y’ = -(6x² – 2x) sin (2x³ – x²)
Pembahasan:
y = cos (2x³ – x²)

Misalkan:
u(x) = 2x³ – x² maka u'(x) = 6x² – 2x
y = cos u(x)
y’ = -sin u(x) . u'(x)
y’ = -sin (2x³ – x²) . (6x² – 2x)
y’ = -(6x² – 2x).sin(2x³ – x²)

(JAWABAN: E)

3. Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x

Pembahasan:

y = −4 sin x
y’ = −4 cos x

4. Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y’

Pembahasan:
y = −2 cos x
y’ = −2 (−sin x)
y’ = 2 sin x

5. Jika y = x² sin 3x, maka dy/dx =…

A. 2x sin 3x + 2x² cos x
B. 2x sin 3x + 3x² cos 3x
C. 2x  sin x + 3x² cos x
D. 3x cos 3x + 2x² sin x
E. 2x² cos x + 3x sin 3x
Pembahasan:
y = x² sin 3x
Misalkan:
u(x) = x² maka u'(x) = 2x
v(x) = sin 3x maka  v'(x) = 3 cos 3x
y = u(x) . v(x)
y’ = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)
= 2x . sin 3x + x². 3 cos 3x
= 2x sin 3x + 3x²cos 3x
(JAWABAN: B)

6. Diketahui fungsi F(x) = sin²(2x + 3) dan turunan pertama dari F adalah F’. Maka F'(x) =…

A. 4 sin (2x  + 3) cos (2x + 3)
B. -2 sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
C. 2 sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
D. -4 sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
E. sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
Pembahasan:
F(x) = sin²(2x + 3)
Misalkan:
u(x) = sin (2x + 3), maka:
u'(x) = cos (2x + 3) . 2
= 2cos (2x + 3)
(2 berasal dari turunan (2x + 3))
F(x) = [u(x)]²
F'(x) = 2[u(x)]¹ . u'(x)
= 2sin (2x + 3) . 2cos (2x + 3)
= 4sin (2x +  3) cos (2x + 3)
(JAWABAN: A)

7. Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f  adalah f’ maka f'(x) =…

A. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
B. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
C. -2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
D. -6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x)
E. -3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
Pembahasan:
f(x) = sin³ (3 – 2x)
Misalkan:
u(x) = sin (3 – 2x), maka:
u'(x) = cos (3 –  2x) . (-2)
u'(x) = -2cos (3 –  2x)
(-2 berasal dari turunan (3-2x))
f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(3 – 2x) . -2cos (3 – 2x)
= -6 sin²(3 – 2x) . cos (3 – 2x)
= -3 . 2 sin (3 -2x).sin (3 -2x).cos (3 – 2x)
= -3 . sin (3 – 2x). 2 sin (3 – 2x).cos (3 – 2x)
(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
= -3 sin (3 – 2x) sin 2(3 – 2x)
= -3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
(JAWABAN: E)

8. Turunan pertama dari F(x) = sin³ (5 – 4x) adalah F'(x) = …

A. 12 sin² (5 – 4x) cos (5 – 4x)
B. 6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
C. -3 sin² (5 – 4x) cos (5 – 4x)
D. -6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
E. -12 sin² (5 – 4x) cos (10 – 8x)
Pembahasan:
F(x) = sin³ (5 – 4x)
Misalkan:
u(x) = sin (5 – 4x), maka:
u'(x) = cos (5 – 4x) . (-4)
u'(x) = -4cos (5 – 4x)
(-4 berasal dari turunan (5 – 4x))
f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(5 – 4x) . -4cos (5 – 4x)
= -12 sin²(5 – 4x) . cos (5 – 4x)
= -6 . 2 sin (5 – 4x).sin (5 – 4x).cos (5 – 4x)
= -6 . sin (5 – 4x). 2 sin (5 – 4x).cos (5 – 4x)
(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
= -6 sin (5 – 4x)) sin 2(5 – 4x)
= -6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)
(JAWABAN: D)

9. Tentukan y’ dari y = 4 sin x + 5 cos x

Pembahasan:

y = 4 sin x + 5 cos x
y’ = 4 (cos x) + 5 (−sin x)
y ‘ = 4 cos x − 5 sin x

10. Tentukan turunan dari: y = 5 cos x − 3 sin x

Pembahasan:

y = 5 cos x − 3 sin x
y’ = 5 (−sin x) − 3 (cos x)
y’ = −5 sin x − cos x

11. Tentukan turunan dari: y = sin (2x + 5)

Pembahasan:

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk

y = sin (2x + 5)
y ‘ = cos (2x + 5) ⋅ 2 → Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5
y’ = 2 cos (2x + 5)

12. Tentukan turunan dari y = cos (3x −1)

Pembahasan:

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk

y = cos (3x − 1)
y ‘ = − sin (3x −1) ⋅ 3 → Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1
Hasil akhirnya adalah: y’ = − 3 sin (3x − 1)

13. Tentukan turunan dari y = sin2 (2x −1)

Pembahasan:

Turunan berantai:

y = sin2 (2x −1)
y’ = 2 sin 2−1 (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y’ = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y’ = 4 sin (2x −1) cos (2x −1)

14. Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x)
Turunan pertama fungsi f adalah f ‘ maka f ‘(x) =…

Pembahasan:

f(x) = sin3 (3 – 2x)

Turunkan sin3 nya,
Turunkan sin (3 – 2x) nya,
Turunkan (3 – 2x) nya,

Hasilnya dikalikan semua seperti ini:

f(x) = sin3 (3 – 2x)
f ‘ (x) = 3 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2
f ‘ (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ

f ‘ (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ‘ (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ‘ (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
|_____________________|

sin 2 (3 − 2x)

f ‘ (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
f ‘ (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x)
atau:
f ‘ (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x)

15. Diketahui fungsi f(x) = sin2 (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …

Pembahasan:

Turunan berantai
f(x) = sin2 (2x + 3)
Turunkan sin2 nya,
Turunkan sin (2x + 3) nya,
Turunkan (2x + 3) nya.
f ‘(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2
f ‘(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)

16. Jika f(x) = sinx+cosxsinx,  sin x ≠ 0 dan f’ adalah turunan f, maka f'(π2) = …

A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
f(x) = sinx+cosxsinx
Misalkan:
* u(x) = sin x + cos x , maka:
u'(x) = cos x – sin x
* v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x
f(x) = u(x)v(x)
f'(x) = u(x).v(x)u(x).v(x)[v(x)]2
(cosxsinx).(sinx)(sinx+cosx).(cosx)[sinx]2
f'(π2) = (cosπ2sinπ2).(sinπ2)(sinπ2+cosπ2).(cosπ2)[sinπ2]2
f'(π2) = (01).(1)(1+0).(0)(1)2
f'(π2) = 101
f'(π2) = -1
(JAWABAN:  B)

17. Jika ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah…

  • 3 cos ( 2+ 1 )
  • 6 cos ( 2+ 1 )
  • 3 sin ( 2 + 1 ) + (6 – 4) cos (2 + 1)
  • (6– 4) sin ( 2+ 1 ) + 3 cos ( 2+ 1 )
  • E. 3 sin ( 2+ 1) + ( 3– 2 ) cos( 2+ 1 ).

Jawab :

* f(x) = (3x – 2) sin(2x + 1) kita misalkan terlebih dulu
u = 3x – 2    maka u’ = 3
u = sin (2x + 1)    maka u’ = 2 cos(2x +1)
* ingat rumus turunan perkalian dua fungsi:
f'(x) = u’. u + u’.u
=3.sin(2x + 1) + 2cos(2x +1).(3x-2)
= 3 sin (2x + 1) + (6x – 4) cos (2x +1)

18. Turunan fungsi y = tan x adalah…

A. cotan x
B. cos² x
C. sec² x + 1
D. cotan² x + 1
E. tan²x + 1
Pembahasan:
y = tan x
y = sinxcosx
Misalkan:
u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
v(x) = cos x, maka v'(x) = -sin x
y = u(x)v(x)
y = u(x).v(x)u(x).v(x)[v(x)]2
cosx.cosxsinx.(sinx)[cosx]2
cos2x+sin2xcos2x
sin2x+cos2xcos2x
sin2xcos2x + cos2xcos2x
   = (sinxcosx)2 + 1
   = (tan x)² + 1
   = tan²x + 1
(JAWABAN: E)

19. Jika f(x) =  a tan x + bx dan f'(π4) = 3, f'(π3) = 9, maka (a + b) = …

A. 0
B. 1
C. π2
D. 2
E. π
Pembahasan:

f(x) =  a tan x + bx
f'(x) = a . 1cos2x + b
f'(π4) = a . 1cos2π4 + b
<=> 3 = a . 1((2)/2)2 + b
<=> 3 = 2a + b …………(1)
f'(π3) = a . 1cos2π3 + b
<=> 9 = a . 1(½)2 + b
<=> 9 = 4a + b…………..(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
2a + b = 3
4a + b = 9  –
<=> -2a = -6
<=> a = -6/-2
<=> a = 3
Subtitusi nilai a = 3 ke persamaan (1), diperoleh:
2(3) + b = 3
6 + b = 3
b = 3 – 6
b = -3
Jadi, a + b = 3 + (-3) = 0
(JAWABAN: A)

20. Jika r = sinθ−−−−√, maka dr/dθ = …

A. 12sinθ
B. cosθ2sinθ
C. cosθ2sinθ
D. sinθ2cosθ
E.  2cosθsinθ
Pembahasan:
Misalkan:
u = sin θ, maka u’ = cos θ
r = sinθ−−−−√
r = u−−√
r = (u)½
r’ = 12u . u’
r’ = 12sinθ . cos θ
r’ = cosθ2sinθ
(JAWABAN: C)

21. Jika f(x) = -(cos² x – sin²x), maka f'(x) adalah…

A. 2(sin x – cos x)
B. 2(cos x –  sin x)
C. sin x. cos x
D. 2sin x cos x
E. 4sin x cos x
Pembahasan:
f(x) = -(cos² x – sin²x)
f(x) = -((1 – sin²x) – sin²x)
f(x) = -(1 – 2sin²x)
f(x) = 2sin²x – 1
Misalkan:
u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
f(x) = 2[u(x)]² – 1
f'(x) = 4 . u(x)¹. u'(x) – 0
f'(x) = 4 sin x  cos x
(JAWABAN: E)

Bacaan Lainnya

Pasang iklan gratis di toko pinter

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

Cara daftar pasang iklan gratis

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: SciencingClark UniversitySOS Math

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

By | 2020-06-27T15:59:16+07:00 Juni 27th, 2020|Matematika|0 Comments

Leave A Comment