Penjelasan Turunan trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri adalah turunan yang fungsi sinus dan kosinus, yang di dapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.

Jika y=sin x maka y’ = cos x
Jika y=cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar diatas tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yaitu turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan.

Proses pengembangan rumus tersebut ialah:

y = tan x maka y’ = sec²x
y = cot x maka y’ = – cosec²x
y = sec x maka y’ = sec x . tan x
y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x

Maka, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut ini:

Misalkan u(x) merupakan fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y= f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’= (cos u)(u’)

y’= u’.cos u
Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan real.

Misalkan:
u(x) = 2x³ – x² maka u'(x) = 6x² – 2x
y = cos u(x)
y’ = -sin u(x) . u'(x)
y’ = -sin (2x³ – x²) . (6x² – 2x)
y’ = -(6x² – 2x).sin(2x³ – x²)

(JAWABAN: E)

3. Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x

Pembahasan:

y = −4 sin x
y’ = −4 cos x

4. Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y’

Pembahasan:
y = −2 cos x
y’ = −2 (−sin x)
y’ = 2 sin x

9. Tentukan y’ dari y = 4 sin x + 5 cos x

Pembahasan:

y = 4 sin x + 5 cos x
y’ = 4 (cos x) + 5 (−sin x)
y ‘ = 4 cos x − 5 sin x

10. Tentukan turunan dari: y = 5 cos x − 3 sin x

Pembahasan:

y = 5 cos x − 3 sin x
y’ = 5 (−sin x) − 3 (cos x)
y’ = −5 sin x − cos x

11. Tentukan turunan dari: y = sin (2x + 5)

Pembahasan:

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk

y = sin (2x + 5)
y ‘ = cos (2x + 5) ⋅ 2 → Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5
y’ = 2 cos (2x + 5)

12. Tentukan turunan dari y = cos (3x −1)

Pembahasan:

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk

y = cos (3x − 1)
y ‘ = − sin (3x −1) ⋅ 3 → Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1
Hasil akhirnya adalah: y’ = − 3 sin (3x − 1)

13. Tentukan turunan dari y = sin² (2x −1)

Pembahasan:

Turunan berantai:

y = sin² (2x −1)
y’ = 2 sin ²⁻¹ (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y’ = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y’ = 4 sin (2x −1) cos (2x −1)

14. Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x)
Turunan pertama fungsi f adalah f ‘ maka f ‘(x) =…

Pembahasan:

f(x) = sin³ (3 – 2x)

Turunkan sin³ nya,
Turunkan sin (3 – 2x) nya,
Turunkan (3 – 2x) nya,

Hasilnya dikalikan semua seperti ini:

f(x) = sin³ (3 – 2x)
f ‘ (x) = 3 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2
f ‘ (x) = −6 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ

f ‘ (x) = −6 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ‘ (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ‘ (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
|_____________________|
↓
sin 2 (3 − 2x)

f ‘ (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
f ‘ (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x)
atau:
f ‘ (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x)

15. Diketahui fungsi f(x) = sin² (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …

Pembahasan:

Turunan berantai
f(x) = sin² (2x + 3)
Turunkan sin² nya,
Turunkan sin (2x + 3) nya,
Turunkan (2x + 3) nya.
f ‘(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2
f ‘(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)

17. Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah…

• 3 cos ( 2x + 1 )
• 6 cos ( 2x + 1 )
• 3 sin ( 2 x + 1 ) + (6 x – 4) cos (2 x + 1)
• (6x – 4) sin ( 2x + 1 ) + 3 cos ( 2x + 1 )
• E. 3 sin ( 2x + 1) + ( 3x – 2 ) cos( 2x + 1 ).

Jawab :

19. Jika f(x) =  a tan x + bx dan f'(π4) = 3, f'(π3) = 9, maka (a + b) = …

f(x) =  a tan x + bx
f'(x) = a . 1cos2x + b
f'(π4) = a . 1cos2π4 + b
<=> 3 = a . 1((√2)/2)2 + b
<=> 3 = 2a + b …………(1)
f'(π3) = a . 1cos2π3 + b
<=> 9 = a . 1(½)2 + b
<=> 9 = 4a + b…………..(2)