Rumus Diferensial (Turunan Fungsi) – Beserta Contoh Soal dan Jawaban

3 min read

Rumus Diferensial

Berikut rumus diferensial (turunan fungsi):

Rumus 1 : Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real maka dy/dx = cn xn-1

contoh :
y = 2×4 maka dy/dx = 4.2×4-1 = 8×3

Rumus 2 : Jika y = f(x) + g(x)
maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f'(x) + g'(x)

contoh:
y = x3 + 2×2 maka y’ = 3×2 + 4x
y = 2×5 + 6 maka y’ = 10×4 + 0 = 10×4

Rumus 3 : Jika y = c dengan c adalah konstanta
maka dy/dx = 0

contoh:
jika y = 6 maka turunannya yaitu sama dengan nol

Rumus 4 : Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x)
maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)

contoh:
y = x2 (x2+2) maka
f(x) = x2
f'(x) = 2x
g(x) = x2+2
g'(x) = 2x
Kemudian masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
y’ = 2x (x2+2) + 2x . x2
y’ = 4×3 + 4x (jawaban ini juga bisa diperoleh dengan cara mengalikan terlebih dahulu lalu menggunakan rumus 2)

Rumus 5 : ef (x) maka dy/dx = ef(x).f'(x)

contoh :
y = e2x+1
f (x) = 2x+1
f’ (x) = 2
maka f’ = e2x+1 . 2 = 2e2x+1

Rumus 6 : Turunan Trigonometri Sin

Jika punya y = sin f(x)
maka turunannya yaitu y’ = cos f(x) . f'(x)
contoh :
y = sin(x2 + 1)
maka y’ = cos (x2 +1) . 2x = 2x. cos (x2 +1)

Rumus 7 : Turunan Trigonometri Cos

Jika punya y = cos f(x)
maka turunanya adalah y’ = -sin f(x). f'(x)
contoh :
y = cos (2x+1)
maka turunannya y’ = -sin (2x+1) . 2 = -2 sin (2x+1)

Rumus Turunan Kedua

rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama .
Turunan kedua diperoleh dengan cara menurunkan turunan pertama.
Contoh :
Turunan kedua dari x3 + 4×2
turunan pertama = 3×2 + 8x
turunan kedua = 6x + 8

Turunan fungsi (diferensial) ialah

fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tak beraturan. Turunan ( diferensial ) dipakai sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman.


Contoh Soal Rumus Diferensial (contoh soal turunan diferensial)

Persamaan garis singgung pada kurva y = 2×3-5×2-x+6 yang berabsis 1 adalah…

Gunakan rumus diferensial yang tepat!

Penyelesaian :
y = 2×3 – 5×2 – x + 6 → x = 1
y’ = 6×2 – 10x – 1
y (1) = 2(1)3- 5(1)2 – 1 + 6
= 2 – 5 – 1 + 6
= 2 → ( 1 , 2 )

y’ = m = 6×2 – 10x – 1
= 6(1)2 – 10.1 – 1
= -5

Persamaan garis siggung : y – b = m (x – 1)
y – 2 = -5 (x – 1)
y – 2 = -5x + 1
5x + y +3 = 0
Jawaban : 5x + y + 3 = 0

Fungsi f(x) = 2x³ -9x² +12x naik untuk nilai x yang memenuhi?

Penjelasan: jika y = f(x) maksimum atau minimum, maka f ’(x) = y’ = 0

Jawaban: f(x) = 2x -9×2 +12x
6x² -18x +12 > 0
x² -3x +2 > 0 (x -1)(x -2) >0
Jadi : x < 1 atau x > 2

Jika nilai stasioner dari f(x) = x³–px² –px -1 adalah x = p, maka p =…

Jawaban: Stasioner → arahkan pikiran ke : “TURUNAN = 0”

f(x) = x³ –px² –px -1
3x² -2px –p =0 → x = p
3p² -2p² –p = 0
p² -p =0
p(p -1) = 0
p = 0 atau p = 1

Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan {\displaystyle f^{-1}(x)} dari {\displaystyle f(x)=e^{x+3}}

{\displaystyle f(x)=e^{x+3}}
{\displaystyle ^{e}\log f(x)=x+3}
{\displaystyle x=^{e}\log f(x)-3} (karena {\displaystyle ^{e}\log x=\ln x})
{\displaystyle f^{-1}(x)=\ln x-3}

Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan {\displaystyle f^{-1}(x)} dari {\displaystyle f(x)=2x+3}

Jawaban: {\displaystyle f(x)=2x+3}

{\displaystyle f(x)-3=2x}

{\displaystyle x={\frac {f(x)-3}{2}}}

{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x-3}{2}}}

Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan {\displaystyle f^{-1}(x)} dari {\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+15}

{\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+15}
{\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+9-9+15}
{\displaystyle f(x)=(x+3)^{2}+6}
{\displaystyle f(x)-6=(x+3)^{2}}
{\displaystyle x+3=\pm {\sqrt {f(x)-6}}}
{\displaystyle x=-3\pm {\sqrt {f(x)-6}}}
{\displaystyle f^{-1}(x)=-3\pm {\sqrt {x-6}}}

Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan {\displaystyle f^{-1}(x)} dari {\displaystyle f(x)={\frac {2x-7}{5x+3}}}

{\displaystyle f(x)={\frac {2x-7}{5x+3}}}
{\displaystyle (5x+3)f(x)=2x-7}
{\displaystyle 5xf(x)+3f(x)=2x-7}
{\displaystyle 5xf(x)-2x=-3f(x)-7}
{\displaystyle (5f(x)-2)x=-3f(x)-7}
{\displaystyle x={\frac {-3f(x)-7}{5f(x)-2}}}
{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {-3x-7}{5x-2}}}

Turunan pertama fungsi F(x) = Cos5(4x-2) ialah F’(x) = …

-5 Cos4 (4x-2) Sin (4x-2)
5 Cos4 (4x-2) Sin (4x-2)
20 Cos4 (4x-2) Sin (2x-2)
10 Cos3 (4x-2) Sin (8x-4)
-10 Cos3 (4x-2) Sin (8x-4)

Jawab :
F(x) = Cos5(4x-2)
u = Cos (4x-2) → u’ = -4Sin(4x-2)
n = 5

F’(x) = nun-1.u’
= 5 Cos5-1 (4x-2) . -4 Sin (4x-2)
= 5 Cos4 (4x-2) . -4 Sin (4x-2)
= -20 Cos4 (4x-2)Sin (4x-2)
= -10.2 Cos (4x-2)sin (4x-2) . Cos3 (4x-2)
= -10 Sin 2(4x-2) Cos3 (4x-2)
= -10 Sin (8x-4) Cos3 (4x-2)
= ( -4x+5) e-3x+4


Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Columbia university – New YorkMath Works

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.