Persamaan Pangkat 3 – Fungsi Kubik – Matematika Aljabar – Beserta Contoh Soal dan jawaban

Persamaan Pangkat 3

Bentuk umum dari persamaan pangkat 3 adalah ax3 + bx2 + cx + d = 0  dengan a ≠ 0

Persamaan ini memiliki 3 akar

Untuk mendapatkan akarnya ada 3 cara yang bisa dilakukan

1. Memfaktorkan

2. Menyederhanakan menjadi persamaan kuadrat

3. Menggunakan rumus

Fungsi Kubik (Fungsi Pangkat 3)

Dalam matematika, sebuah fungsi kubik atau lebih dikenal sebagai fungsi pangkat tiga adalah suatu fungsi yang memiliki bentuk

dengan a bernilai tidak nol; atau dengan kata lain merupakan suatu polinomial orde tiga. Turunan dari suatu fungsi kubik adalah suatu fungsi kuadratIntegral dari suatu fungsi kubik adalah fungsi pangkat empat (kuartik).

Menetapkan ƒ(x) = 0 menghasilkan persamaan kubik dengan bentuk:

Biasanya, koefisien abc, dan d merupakan bilangan riil. Untuk menyelesaikan persamaan kubik, caranya dengan mencari akar (nilai nol) dari fungsi kubik.

Titik puncak dan titik belok

Titik puncak suatu fungsi adalah ketika gradien atau turunan pertama fungsi itu sama dengan nol.

Titik puncak fungsi kubik:

adalah fungsi kuadrat:

sedangkan titik beloknya diberikan rumus:



Cara Menyelesaikan Persamaan Pangkat 3

Car 1. Memfaktorkan

Cara ini biasanya hanya dipakai untuk mencar akar-akar rasional.

Cara 2. Menggunakan Pendekatan Diskriminan

1. Tuliskan persamaan a, b, c, dan d

Untuk mencari jawaban persamaan kubik dengan cara ini, kita akan banyak melakukan perhitungan dengan koefisien dalam persamaan kita. Karena hal ini, sebaiknya Anda mencatat nilai a, b, c, dan d sebelum Anda lupa salah satu nilainya.

    • Sebagai contoh, untuk persamaan x3 – 3x2 + 3x – 1, tuliskanlah menjadi a = 1, b = -3, c = 3, dan d = -1. Jangan lupa bahwa saat variabel x tidak memiliki koefisien, maka nilainya adalah 1.
2. Hitung Δ0 = b2 – 3ac

Pendekatan diskriminan untuk mencari jawaban dari persamaan kubik membutuhkan perhitungan yang rumit, tetapi jika Anda mengikuti langkahnya dengan hati-hati, pendekatan ini akan sangat bermanfaat untuk menyelesaikan persamaan kubik yang sulit dipecahkan dengan cara lain. Untuk memulainya, carilah nilai Δ0, yang merupakan nilai penting pertama dari beberapa yang kita perlukan, dengan memasukkan nilai yang sesuai ke dalam rumus b2 – 3ac.

    • Dalam contoh yang kita gunakan, kita akan menyelesaikannya sebagai berikut:
    • b2 – 3ac
    • (-3)2 – 3(1)(3)
    • 9 – 3(1)(3)
    • 9 – 9 = 0 = Δ0
3. Hitung Δ1= 2b3 – 9abc + 27a2d

Nilai penting selanjutnya yang kita butuhkan, Δ1, memerlukan perhitungan yang lebih panjang, tetapi dapat diketahui dengan cara yang sama seperti Δ0. Masukkan nilai yang sesuai ke dalam rumus 2b3 – 9abc + 27a2d untuk mendapatkan nilai Δ1.

    • Dalam contoh ini, kita menyelesaikannya sebagai berikut:
2(-3)3 – 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
2(-27) – 9(-9) + 27(-1)
-54 + 81 – 27
81 – 81 = 0 = Δ1
4. Hitung Δ = Δ12 – 4Δ03) ÷ -27a2.

Selanjutnya, kita hitunng nilai “diskriminan” dari nilai Δ0 dan Δ1. Diskriminan adalah angka yang memberikan Anda informasi mengenai akar polinomial (Anda mungkin telah hafal secara tidak sadar rumus diskriminan kuadrat: b2 – 4ac). Dalam kasus persamaan kubik, jika nilai diskriminan positif, maka persamaan tersebut memiliki tiga jawaban bilangan riil. Jika nilai diskriminan sama dengan nol, maka persamaan tersebut memiliki satu atau dua jawaban bilangan riil, dan beberapa jawaban di antaranya bernilai sama. Jika nilainya negatif, maka persamaan tersebut hanya memiliki satu jawaban bilangan riil, karena grafik persamaan akan selalu memotong sumbu x paling tidak satu kali.)

    • Dalam contoh ini, karena baik nilai Δ0 dan Δ1 = 0, mencari nilai Δ akan sangat mudah dilakukan. KIta hanya perlu menghitungnya dengan cara berikut ini:
Δ12 – 4Δ03) ÷ -27a2
(0)2 – 4(0)3) ÷ -27(1)2
0 – 0 ÷ 27
0 = Δ, jadi persamaan kita memiliki 1 atau 2 jawaban.

5. Hitung C = 3√(√((Δ12 – 4Δ03) + Δ1)/ 2)

Nilai terakhir yang penting untuk kita dapatkan adalah nilai C. Nilai ini memungkinkan kita untuk mendapatkan ketiga akar dari persamaan kubik kita. Selesaikan seperti biasanya, masukkan nilai Δ1 dan Δ0 ke dalam rumus.

    • Dalam contoh ini, kita akan mendapatkan nilai C dengan cara:
3√(√((Δ12 – 4Δ03) + Δ1)/ 2)
3√(√((02 – 4(0)3) + (0))/ 2)
3√(√((0 – 0) + (0))/ 2)
0 = C

6. Hitung ketiga akar persamaan dengan variabel Anda

Akar (jawaban) dari persamaan kubik Anda ditentukan dengan rumus (b + unC + (Δ0/unC)) / 3a, di mana u = (-1 + √(-3))/2 dan n sama denagn 1, 2, atau 3. Masukkan nilai Anda ke dalam rumus untuk menyelesaikannya — mungkin perhitungan yang perlu Anda selesaikan cukup banyak, tetapi Anda seharusnya akan mendapatkan ketiga jawaban persamaan kubik Anda!

    • Dalam contoh ini, kita mungkin menyelesaikannya dengan memeriksa jawaban saat n sama dengan 1, 2, dan 3. Jawaban yang kita dapatkan dari perhitungan ini adalah kemungkinan jawaban dari persamaan kubik kita — nilai apa pun yang kita masukkan ke dalam persamaan kubik dan memberikan hasil sama dengan 0, adalah jawaban yang benar. Sebagai contohnya, jika kita mendapatkan jawaban sama dengan 1 jika dalam salah satu percobaan perhitungan kita, dengan memasukkan nilai 1 ke dalam persamaan x3 – 3x2 + 3x – 1 menghasilkan hasil akhir sama dengan 0. Dengan demikian 1 merupakan salah satu jawaban dari persamaan kubik kita.

Cara 3. Menyelesaikan Menggunakan Persamaan Kuadrat

1. Periksa apakah persamaan kubik Anda memiliki konstanta

Sebagaimana dinyatakan di atas, bentuk persamaan kubik adalah ax3 + bx2 + cx + = 0. b, c, dan nilai d bisa jadi 0 tanpa mempengaruhi bentuk persamaan kubik ini; hal ini pada dasarnya berarti bahwa persamaan kubik tidak harus selalu menyertakan nilai bx2cx, atau untuk bisa menjadi sebuah persamaan kubik. Untuk mulai menggunakan cara yang cukup mudah dalam memecahkan persamaan kubik ini, periksalah apakah persamaan kubik Anda memiliki sebuah konstanta (atau nilai d). Jika persamaan Anda tidak memiliki konstanta atau nilai d, maka Anda dapat menggunakan persamaan kuadrat untuk mencari jawaban dari persamaan kubik setelah melakukan beberapa langkah perhitungan.

    • Di sisi lain, jika persamaan Anda memiliki nilai konstanta, maka Anda akan membutuhkan cara penyelesaian yang lainnya. Lihat langkah di bawah untuk mengetahui pendekatan lainnya.
2. Faktorkan nilai x dari persamaan kubik

Karena persamaan Anda tidak memiliki nilai konstanta, semua komponen di dalamnya memiliki variabel x. Hal ini berarti, nilai x ini dapat difaktorkan keluar dari persamaan untuk menyederhanakannya. Lakukan langkah ini dan tulis ulang persamaan kubik Anda dalam bentuk x(ax2 + bx + c).

    • Sebagai contohnya, katakanlah bahwa persamaan kubik asal di sini adalah 3x3 + -2x2 + 14x = 0. Dengan memfaktorkan satu variabel x dari persamaan ini, kita akan mendapatkan persamaan x(3x2 + -2x + 14) = 0.
3. Gunakan persamaan kuadrat untuk memecahkan persamaan yang berada di dalam tanda kurung

Kalian mungkin menyadari bahwa sebagian persamaan baru Anda, yang terdapat di dalam tanda kurung, berbentuk persamaan kuadrat (ax2 + bx + c). Hal ini berarti kita dapat mencari nilai yang dibutuhkan agar hasil persamaan ini sama dengan nol dengan memasukkan a, b, dan c ke dalam rumus persamaan kuadrat ({-b +/-√ (b2– 4ac)}/2a). Lakukan perhitungan ini untuk mencari dua jawaban dari persamaan kubik Anda.

    • Dalam contoh yang kita gunakan, masukkanlah nilai a, b, dan c (3, -2, dan 14, secara berurutan) ke dalam persamaan kuadrat sebagai berikut:
      • {-b +/-√ (b2– 4ac)}/2a
        {-(-2) +/-√ ((-2)2– 4(3)(14))}/2(3)
        {2 +/-√ (4 – (12)(14))}/6
        {2 +/-√ (4 – (168)}/6
        {2 +/-√ (-164)}/6
    • Jawaban 1:
      • {2 + √(-164)}/6
      • {2 + 12.8i}/6
    • Jawaban 2:
      • {2 – 12.8i}/6
4. Gunakanlah nol dan jawaban persamaan kuadrat Anda sebagai jawaban persamaan kubik Anda
Persamaan kuadrat akan memiliki dua jawaban, sedangkan persamaan kubik memiliki tiga jawaban. Anda sudah mengetahui dua jawaban dari tiga; yang Anda dapatkan dari bagian persamaan “kuadrat” di dalam tanda kurung. Jika persamaan kubik Anda bisa diselesaikan dengan cara “faktorisasi” seperti ini, jawaban ketiga Anda hampir selalu 0. Selamat! Anda baru saja menyelesaikan persamaan kubik.

    • Alasan yang membuat cara ini bisa digunakan adalah fakta mendasar bahwa “semua angka yang dikalikan dengan nol akan sama dengan nol”. Saat Anda memfaktorkan persamaan Anda menjadi bentuk x(ax2 + bx + c) = 0, pada dasarnya Anda hanyalah membaginya menjadi dua “bagian”; satu bagian berupa variabel x di sisi kiri dan bagian lainnya adalah persamaan kuadrat di dalam tanda kurung. Jika salah satu dari kedua bagian ini bernilai nol, maka seluruh persamaan juga akan bernilai nol. Dengan demikian, kedua jawaban dari persamaan kuadrat yang berada di dalam tanda kurung, yang akan membuatnya menjadi bernilai nol, merupakan jawaban dari persamaan kubik, juga nilai 0 sendiri – yang akan membuat bagian di sisi kiri juga bernilai nol.

Contoh Soal dan jawaban Persamaan Pangkat 3

1. Soal: Nilai x yang memenuhi persamaan 1-8x=-4x-15 adalah…

Jawaban:

1-8x=-4x-15
-8x+4x=-15-1
-4x=-16
x=-16/-4=4

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan pangkat 3 berikut ini: x3 – 5x2 – 2x + 10 = 0

Jawaban:

x3 – 5x2 – 2x + 10 = 0
x2 ( x – 5) – 2(x – 5) = 0
(x2 – 2)(x – 5) = 0
(x+√2) (x-√2) (x-5) = 0
x= -√2 atau x= √2 atau x=5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-√2, √2,5}

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan pangkat 3 berikut ini: x3 – 7x2 + 10x  = 0

Jawaban:

x3 – 7x2 + 10x  = 0
x(x2 – 7x + 10)  = 0
x(x – 2)(x – 5) = 0
x = 0 atau x = 2 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 5}

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan pangkat 3 berikut ini: x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0

Jawaban:

x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0
x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0
(x2 – 4)(x – 3)= 0
(x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0
x = 2 atau x = -2 atau x = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  {-2, 2, 3}

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari: x3 – 5x2 – 25x + 125 = 0

Jawaban:

x3 – 5x2 – 25x + 125 = 0
x2 (x – 5) – 25(x – 5) = 0
(x2 – 25) (x – 5) = 0
(x – 5)(x + 5)(x – 5) = 0
x = 5 atau x = -5 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  {-5, 5}

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari: 3x3 – x2 + 6x – 2 = 0

Jawaban:

3x3 – x2 + 6x – 2 = 0
x2 (3x – 1) + 2(3x – 1) = 0
(x2 + 2)(3x – 1) = 0
x2 = – 2 (tidak mungkin)
x = 1/3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1/3}


Bacaan Lainnya

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber: California Institute of Technology

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing

By | 2021-10-16T16:23:58+07:00 Desember 9th, 2019|Matematika|0 Comments

Leave A Comment