Irisan Kerucut

Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus (sekumpulan titik-titik) dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang.

3 Jenis kurva pada irisan kerucut

Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah:

Apollonius dari Perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM.

Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran.
Jika kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka terbentuk suatu elips.
Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola.
Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya tidak secara vertikal, maka terbentuk suatu parabola.

Geometri

Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah.

Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.

Jenis-jenis irisan kerucut

Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola.
Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola.
Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun.
Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.

Bagaimana kasus degenerasi dapat terjadi?

Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan.
Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong generator mana pun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi.
Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi.
Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan.

Geometri analitis

Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:

“

tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandung F.

”

Eksentrisitas adalah rasio antara FM dan M’M.Elips (e=1/2), parabola (e=1) dan hiperbola (e=2) dengan fokus (F) dan direktriks yang tetap.

Rasio yang konstan tersebut disebut eksentrisitas, dilambangkan dengan e, dan merupakan bilangan non-negatif. Untuk e = 0, irisan kerucut tersebut adalah lingkaran, 0 < e < 1 sebuah elips, e = 1 sebuah parabola, dan e > 1 sebuah hiperbola.

Koordinat Kartesius

Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.

Jika terdapat persamaan dengan bentuk:

ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0

maka:

Jika h² = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.
Jika h² < ab, persamaan ini menghasilkan elips.
Jika h² > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.
Jika a = b dan h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran.
Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.

Bentuk persamaan umum irisan kerucut

Bentuk persamaan umum irisan kerucut sebagai berikut:

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0

kesimpulan:

Jika A = B = 0 maka persamaan adalah garis lurus/linear
Jika A = B = 0 tetapi tidak kedua-duanya maka persamaan adalah parabola/kuadrat
Jika A = B maka persamaan adalah lingkaran
Jika A ≠ B dan bertanda positif maka persamaan adalah elips
Jika A ≠ B dan bertanda negatif maka persamaan adalah hiperbola

Rumus irisan kerucut tentang: linkaran, parabola, elips dan hiperbola

Lingkaran: Titik pusat (0,0): $x^{2}+y^{2}=r^{2}$; Titik pusat (h,k): $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ atau $x^{2}+2hx+h^{2}+y^{2}+2ky+k^{2}-r^{2}=0$

dengan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ maka $A=2h,B=2ksertaC=h^{2}+k^{2}-r^{2}$

Parabola

	Vertikal	Horisontal
	Titik pusat (0,0)
Persamaan	$x^{2}=4py$	$y^{2}=4px$
Sumbu simetri	sumbu y	sumbu x
Fokus	$F(0,p)$	$F(p,0)$
Direktris	$y=-p$	$x=-p$
	Titik pusat (h,k)
Persamaan	$(x-h)^{2}=4p(y-k)$	$(y-k)^{2}=4p(x-h)$
Sumbu simetri	$x=h$	$y=k$
Fokus	$F(h,k+p)$	$F(h+p,k)$
Direktris	$y=k-p$	$x=h-p$

Elips

	Vertikal	Horisontal
	Titik pusat (0,0)
Persamaan	${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
Panjang sumbu mayor	$2a$	$2a$
Panjang sumbu minor	$2b$	$2b$
Panjang Latus Rectum	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$
Fokus	$F(0,\pm c)$	$F(\pm c,0)$
Puncak	$P(0,\pm a)$	$P(\pm a,0)$
Direktris	$y=\pm {\frac {a^{2}}{c}}$	$x=\pm {\frac {a^{2}}{c}}$
Eksentrisitas	$e={\frac {c}{a}}$	$e={\frac {c}{a}}$
	Titik pusat (h,k)
Persamaan	${\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}=1$	${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$
Panjang sumbu mayor	$2a$	$2a$
Panjang sumbu minor	$2b$	$2b$
Panjang Latus Rectum	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$
Fokus	$F(h,k\pm c)$	$F(h\pm c,k)$
Puncak	$P(h,k\pm a)$	$P(h\pm a,k)$
Direktris	$y=\pm {\frac {a^{2}}{c}}$	$x=\pm {\frac {a^{2}}{c}}$
Eksentrisitas	$e={\frac {c}{a}}$	$e={\frac {c}{a}}$

dimana $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

Hiperbola

	Vertikal	Horisontal
	Titik pusat (0,0)
Persamaan	${\frac {x^{2}}{b^{2}}}-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
Panjang sumbu mayor	$2a$	$2a$
Panjang sumbu minor	$2b$	$2b$
Panjang Latus Rectum	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$
Fokus	$F(0,\pm c)$	$F(\pm c,0)$
Puncak	$P(0,\pm a)$	$P(\pm a,0)$
Asimtot	$y=\pm {\frac {a}{b}}x$	$y=\pm {\frac {b}{a}}x$
Eksentrisitas	$e={\frac {c}{a}}$	$e={\frac {c}{a}}$
	Titik pusat (h,k)
Persamaan	${\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}=1$	${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$
Panjang sumbu mayor	$2a$	$2a$
Panjang sumbu minor	$2b$	$2b$
Panjang Latus Rectum	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$
Fokus	$F(h,k\pm c)$	$F(h\pm c,k)$
Puncak	$P(h,k\pm a)$	$P(h\pm a,k)$
Asimtot	$(y-k)=\pm {\frac {a}{b}}(x-h)$	$(y-k)=\pm {\frac {b}{a}}(x-h)$
Eksentrisitas	$e={\frac {c}{a}}$	$e={\frac {c}{a}}$

dimana $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Persamaan garis singgung

bergradien $m$ ( $y=mx+c$ )

	Vertikal	Horisontal
	Titik pusat (0,0)
Lingkaran	$y=mx\pm r{\sqrt {1+m^{2}}}$
Parabala	$y=mx-pm$	$y=mx+{\frac {p}{m}}$
Elips	$y=mx\pm {\sqrt {b^{2}+a^{2}m^{2}}}$	$y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}+b^{2}}}$
Hiperbola	$y=mx\pm {\sqrt {b^{2}-a^{2}m^{2}}}$	$y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}-b^{2}}}$
	Titik pusat (h,k)
Lingkaran	$(y-k)=m(x-h)\pm r{\sqrt {1+m}}$
Parabala	$(y-k)=m(x-h)-pm$	$(y-k)=m(x-h)+{\frac {p}{m}}$
Elips	$(y-k)=m(x-h)\pm {\sqrt {b^{2}+a^{2}m^{2}}}$	$(y-k)=m(x-h)\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}+b^{2}}}$
Hiperbola	$y=mx\pm {\sqrt {b^{2}-a^{2}m^{2}}}$	$y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}-b^{2}}}$

jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka

m_{2}=m_{1}

jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka

m_{2}={\frac {-1}{m_{1}}}

melalui titik $(x_{1},y_{1})$

dengan cara bagi adil

	Vertikal	Horisontal
	Titik pusat (0,0)
Lingkaran	$xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$
Parabola	$xx_{1}=2py+2py_{1}$	$yy_{1}=2px+2px_{1}$
Elips	${\frac {xx_{1}}{b^{2}}}+{\frac {yy_{1}}{a^{2}}}=1$	${\frac {xx_{1}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{1}}{b^{2}}}=1$
Hiperbola	${\frac {xx_{1}}{b^{2}}}-{\frac {yy_{1}}{a^{2}}}=1$	${\frac {xx_{1}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{1}}{b^{2}}}=1$
	Titik pusat (h,k)
Lingkaran	$xx_{1}+yy_{1}+{\frac {1}{2}}Ax+{\frac {1}{2}}Ax_{1}+{\frac {1}{2}}By+{\frac {1}{2}}By_{1}+C=0$
Parabola	$(x-h)(x_{1}-h)=2p(y-k)+2p(y_{1}-k)$	$(y-k)(y_{1}-k)=2p(x-h)+2p(x_{1}-h)$
Elips	${\frac {(x-h)(x_{1}-h)}{b^{2}}}+{\frac {(y-k)(y_{1}-k)}{a^{2}}}=1$	${\frac {(x-h)(x_{1}-h)}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)(y_{1}-k)}{b^{2}}}=1$
Hiperbola	${\frac {(x-h)(x_{1}-h)}{b^{2}}}-{\frac {(y-k)(y_{1}-k)}{a^{2}}}=1$	${\frac {(x-h)(x_{1}-h)}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)(y_{1}-k)}{b^{2}}}=1$