Irisan Kerucut (Cone) – Rumus, Contoh Soal dan Jawaban

Irisan Kerucut

Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus (sekumpulan titik-titik) dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang.

3 Jenis kurva pada irisan kerucut

Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah:

Apollonius dari Perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM.

Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran.

Jika kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka terbentuk suatu elips.

Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola.

Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya tidak secara vertikal, maka terbentuk suatu parabola.

Geometri

Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah.
Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.

Jenis-jenis irisan kerucut

  • Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola.
  • Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola.
  • Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun.
  • Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.

Bagaimana kasus degenerasi dapat terjadi?

  • Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan.
  • Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong generator mana pun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi.
  • Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi.
  • Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan.

Geometri analitis

Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:

Eksentrisitas adalah rasio antara FM dan M’M.Elips (e=1/2), parabola (e=1) dan hiperbola (e=2) dengan fokus (F) dan direktriks yang tetap.

Rasio yang konstan tersebut disebut eksentrisitas, dilambangkan dengan e, dan merupakan bilangan non-negatif. Untuk e = 0, irisan kerucut tersebut adalah lingkaran, 0 < e < 1 sebuah elips, e = 1 sebuah parabola, dan e > 1 sebuah hiperbola.

Koordinat Kartesius

Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.

Jika terdapat persamaan dengan bentuk:

{

maka:

  • Jika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.
  • Jika h2 < ab, persamaan ini menghasilkan elips.
  • Jika h2 > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.
  • Jika a = b dan h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran.
  • Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.

Bentuk persamaan umum irisan kerucut

Bentuk persamaan umum irisan kerucut sebagai berikut:

kesimpulan:

  • Jika A = B = 0 maka persamaan adalah garis lurus/linear
  • Jika A = B = 0 tetapi tidak kedua-duanya maka persamaan adalah parabola/kuadrat
  • Jika A = B maka persamaan adalah lingkaran
  • Jika A ≠ B dan bertanda positif maka persamaan adalah elips
  • Jika A ≠ B dan bertanda negatif maka persamaan adalah hiperbola

Rumus irisan kerucut tentang: linkaran, parabola, elips dan hiperbola

Lingkaran

Titik pusat (0,0):
Titik pusat (h,k): atau

dengan maka

Parabola

Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Persamaan
Sumbu simetri sumbu y sumbu x
Fokus
Direktris
Titik pusat (h,k)
Persamaan
Sumbu simetri
Fokus
Direktris

Elips

Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Persamaan
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Panjang Latus Rectum
Fokus
Puncak
Direktris
Eksentrisitas
Titik pusat (h,k)
Persamaan
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Panjang Latus Rectum
Fokus
Puncak
Direktris
Eksentrisitas

dimana

Hiperbola

Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Persamaan
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Panjang Latus Rectum
Fokus
Puncak
Asimtot
Eksentrisitas
Titik pusat (h,k)
Persamaan
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Panjang Latus Rectum
Fokus
Puncak
Asimtot
Eksentrisitas

dimana

Persamaan garis singgung

bergradien ()
Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Lingkaran
Parabala
Elips
Hiperbola
Titik pusat (h,k)
Lingkaran
Parabala
Elips
Hiperbola
jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka
jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka
melalui titik
dengan cara bagi adil
Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Lingkaran
Parabola
Elips
Hiperbola
Titik pusat (h,k)
Lingkaran
Parabola
Elips
Hiperbola
jika titik  berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).
jika titik  berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah).

Contoh Soal dan Jawaban Irisan Kerucut (Cone)

Titik pusat (0,0). Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 terhadap !

jawab:

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap !

jawab:

 (dalam)

dengan cara bagi adil

 (dibagi 8)

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap !

jawab:
 (luar)
dengan cara bagi adil
masukkan lah
 (dibagi 16/25)
maka kita mencari nilai x
atau
maka kita mencari nilai y
untuk

jadi

untuk

jadi

kembali dengan cara bagi adil
untuk persamaan singgung pertama
untuk persamaan singgung kedua

Titik pusat (h,k). Tentukan persamaan garis singgung melalui persamaan yang tegak lurus !

jawab: ubah ke bentuk sederhana

cari gradien persamaan {\displaystyle y-2x-5=0}

gradien () = 2 karena tegak lurus menjadi

cari

Tentukan persamaan garis singgung  yang berordinat 6!

jawab: ubah ke bentuk sederhana
cari absis dimana ordinat 6
dengan cara bagi adil

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,6) terhadap !

ubah ke bentuk sederhana
 (luar)
dengan cara bagi adil
masukkan lah
 (dibagi 8/9)
maka kita mencari nilai x
atau
maka kita mencari nilai y
untuk
jadi
untuk

jadi

kembali dengan cara bagi adil
untuk persamaan singgung pertama
 (dibagi 4)
untuk persamaan singgung kedua
 (dibagi 2)

Bacaan Lainnya

Pasang iklan gratis di toko pinter

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

Cara daftar pasang iklan gratis

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Math is Fun, Wolfram, Lumen Learning

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

By | 2019-12-10T15:40:00+07:00 Desember 10th, 2019|Matematika|0 Comments

Leave A Comment