fbpx

Rumus Turunan Matematika – TABEL TURUNAN DIFERENSIAL KALKULUS – Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Turunan Fungsi

Turunan matematika (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan.

Turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

  • {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}\,}
  • {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
  • {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
  • {\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x\,}
  • {\displaystyle y'} adalah simbol untuk turunan pertama.
  • {\displaystyle y''} adalah simbol untuk turunan kedua.
  • {\displaystyle y'''} adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain {\displaystyle y'\,} dan {\displaystyle y''\,} adalah {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,} dan {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{(dx)^{2}}}\,}

 

Rumus turunan dasar

1. Rumus umum

  • {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}\,}
  • {\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'\,}
  • {\displaystyle (u+v)'=u'+v'\,}
  • {\displaystyle (u-v)'=u'-v'\,}
  • {\displaystyle (uv)'=u'v+uv'\,}
  • {\displaystyle ({\frac {u}{v}})'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}\,}

2. Eksponen dan bilangan natural

  • {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}\,}
  • {\displaystyle (a^{x})'=a^{x}lna\,}

3. Logaritma dan bilangan natural

  • {\displaystyle (lnx)'={\frac {1}{x}}\,}
  • {\displaystyle (log_{a}(x))'={\frac {1}{xlna}}\,}

4. Turunan Trigonometri

  • {\displaystyle (\sin x)'=cosx\,}
  • {\displaystyle (\cos x)'=-sinx\,}
  • {\displaystyle (\tan x)'=sec^{2}x\,}
  • {\displaystyle (\cot x)'=-csc^{2}x\,}
  • {\displaystyle (\sec x)'=secxtanx\,}
  • {\displaystyle (\csc x)'=-cscxcotx\,}

5. Turunan Invers

  • {\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  • {\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  • {\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}
  • {\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
  • {\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
  • {\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}

6. Turunan Hiperbolik

  • {\displaystyle (\sinh x)'=coshx\,}
  • {\displaystyle (\cosh x)'=sinhx\,}
  • {\displaystyle (\tanh x)'=sech^{2}x\,}
  • {\displaystyle (\coth x)'=-csch^{2}x\,}

 

Cara aturan menentukan turunan fungsi

1. Turunan dasar

Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers (fungsi kebalikan).

Aturan-aturan dalam turunan fungsi adalah:

  1. f(x), maka f‘(x) = 0

  2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

  3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1

  4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)

  5. Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

 

2. Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan:

  1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)

  2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)

  3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)

  4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)2)

 

3. Turunan fungsi trigonometri

  1. d/dx ( sin x ) = cos x

  2. d/dx ( cos x ) = – sin x

  3. d/dx ( tan x ) = sec2 x

  4. d/dx ( cot x ) = – csc2 x

  5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x

  6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

 

4. Turunan fungsi invers

(f-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

Misalnya anggap saja {\displaystyle f} sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Bila dapat ditentukan sebuah fungsi {\displaystyle g} dari himpunan B ke himpunan A sedemikian, sehingga {\displaystyle g(f(a))=a} dan {\displaystyle f(f(b))=b} untuk setiap a dalam A dan b dalam B, maka {\displaystyle g} disebut fungsi invers dari {\displaystyle f} dan bisa ditulis sebagai {\displaystyle f^{-1}}.

Sebelum mengetahui fungsi invers maka harus mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Fungsi {\displaystyle f(x)} akan memiliki invers dengan syarat {\displaystyle f(x)} merupakan fungsi bijektif. Jika fungsi {\displaystyle f} memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers dari fungsi  atau ditulis {\displaystyle f^{-1}} memetakan himpunan B ke himpunan A. Kemudian ketika suatu bilangan itu dioperasikan dengan inversnya, maka akan menghasilkan identitas.

Identitas adalah suatu bilangan yang jika dioperasikan dengan suatu bilangan, maka akan menghasilkan suatu bilangan tersebut dan pada operasi perkalian, identitasnya adalah 1 karena apabila dikalikan dengan suatu bilangan hasilnya suatu bilangan. Sedangkan, pada penjumlahan identitasnya adalah 0 karena bila dijumlahkan dengan bilangan tertentu hasilnya bilangan tertentu. Pada fungsi juga berlaku demikian, sebuah fungsi bila dikomposisikan dengan invers maka menghasilkan fungsi identitas, yaitu {\displaystyle f(x)=x}.

Turunan matematika kalkulus

Grafik dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik singgung. Sumber foto: Wikipedia

 

Tabel Turunan

Kaidah penurunan umum

Kelinearan
{\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}
{\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'}
Kaidah darab:  product rule, atau sering disebut hukum Leibniz (lihat turunan), adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) fungsi yang terdiferensialkan.
{\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}
Kaidah timbalbalik
{\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'={\frac {-f'}{f^{2}}},\qquad f\neq 0}
Kaidah hasil-bagi: cara untuk menemukan turunan sebuah fungsi yang terdiri dari hasil bagi dua fungsi lain yang eksistensi turunannya sudah diketahui.
{\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0}
Kaidah rantai  atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.
{\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'}
Turunan fungsi invers atau fungsi kebalikan) adalah (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi.
{\displaystyle (f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}}

untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada

Kaidah pangkat umum
{\displaystyle (f^{g})'=f^{g}\left(g'\ln f+{\frac {g}{f}}f'\right)}

 

Turunan fungsi sederhana

{\displaystyle c'=0\,}
{\displaystyle x'=1\,}
{\displaystyle (cx)'=c\,}
{\displaystyle |x|'={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0}
{\displaystyle (x^{c})'=cx^{c-1}\qquad {\mbox{baik }}x^{c}{\mbox{ maupun }}cx^{c-1}{\mbox{ terdefinisi}}}
{\displaystyle \left({1 \over x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}}
{\displaystyle \left({1 \over x^{c}}\right)'=\left(x^{-c}\right)'=-cx^{-(c+1)}=-{c \over x^{c+1}}}
{\displaystyle \left({\sqrt {x}}\right)'=\left(x^{1 \over 2}\right)'={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0}

 

Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183. Dan “Logaritma” adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.

{\displaystyle \left(c^{x}\right)'=c^{x}\ln c,\qquad c>0}

Perhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku untuk semua c, namun turunan tersebut menghasilkan bilangan kompleks

{\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x}}
{\displaystyle \left(^{c}logx\right)'={\frac {1}{x\ln c}},\qquad c>0}
{\displaystyle \left(lnx\right)'={\frac {1}{x}}}

 

Turunan fungsi trigonometri

Fungsi trigonometrik adalah fungsi dari sebuah sudut yang digunakan untuk menghubungkan antara sudut-sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut.

{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,} {\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,} {\displaystyle (\arccos x)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}\,} {\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}
{\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,} {\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
{\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,} {\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
{\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}\,} {\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'={-1 \over 1+x^{2}}\,}

 

Turunan fungsi hiperbolik

Fungsi Hiperbolik adalah salah satu hasil kombinasi dari fungsi-fungsi eksponen.[1] Fungsi Hiperbolik memiliki rumus atau formula. Selain itu memiliki invers serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya. e x e− x.

{\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} {\displaystyle (\operatorname {arcsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
{\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} {\displaystyle (\operatorname {arccosh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}
{\displaystyle (\tanh x)'=\operatorname {sech} ^{2}\,x} {\displaystyle (\operatorname {arctanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
{\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x} {\displaystyle (\operatorname {arcsech} \,x)'={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x} {\displaystyle (\operatorname {arccsch} \,x)'={-1 \over x{\sqrt {1+x^{2}}}}}
{\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x} {\displaystyle (\operatorname {arccoth} \,x)'={-1 \over x^{2}-1}}

 

Turunan fungsi khusus

Fungsi gamma

fungsi gamma (disajikan oleh huruf kapital Yunani Γ) merupakan ekstensi atau perluasan dari fungsi faktorial, dengan argumennya digeser turun oleh 1, ke bilangan real dan kompleks.

{\displaystyle (\Gamma (x))'=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}{\displaystyle (\Gamma (x))'=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)}

Fungsi Riemann Zeta

Fungsi zeta Riemann menyajikan jembatan antara bilangan prima dengan dunia geometri. Dalam eksplorasinya, Riemann menemukan fungsi Zeta dengan keluaran nol (dianalogikan memiliki ketinggian yang sama dengan permukaan laut) yang memegang peranan penting tentang perilaku natural bilangan prima. Sepuluh keluaran nol yang pertama memunculkan pola berupa garis lurus.

{\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!}

{\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!}

Kalkulus diferensial

Garis singgung pada (x, f(x))

 

Soal dan Jawaban Turunan Matematika

1. Fungsi f(x) = 2x³ -9x² +12x naik untuk nilai x yang memenuhi?

Penjelasan: jika y = f(x) maksimum atau minimum, maka f ’(x) = y’ = 0

Jawaban: f(x) = 2x -9×2 +12x
6x² -18x +12 > 0
x² -3x +2 > 0 (x -1)(x -2) >0
Jadi : x < 1 atau x > 2

 

2. Jika nilai stasioner dari f(x) = x³–px² –px -1 adalah x = p, maka p =…

Jawaban: Stasioner → arahkan pikiran ke : “TURUNAN = 0”

f(x) = x³ –px² –px -1
3x² -2px –p =0 → x = p
3p² -2p² –p = 0
p² -p =0
p(p -1) = 0
p = 0 atau p = 1

 

2. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan {\displaystyle f^{-1}(x)} dari {\displaystyle f(x)=e^{x+3}}

{\displaystyle f(x)=e^{x+3}}
{\displaystyle ^{e}\log f(x)=x+3}
{\displaystyle x=^{e}\log f(x)-3} (karena {\displaystyle ^{e}\log x=\ln x})
{\displaystyle f^{-1}(x)=\ln x-3}

3. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan {\displaystyle f^{-1}(x)} dari {\displaystyle f(x)=2x+3}

Jawaban: {\displaystyle f(x)=2x+3}

{\displaystyle f(x)-3=2x}

{\displaystyle x={\frac {f(x)-3}{2}}}

{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x-3}{2}}}

 

4. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan {\displaystyle f^{-1}(x)}{\displaystyle f^{-1}(x)} dari {\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+15}{\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+15}

{\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+15}
{\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+9-9+15}
{\displaystyle f(x)=(x+3)^{2}+6}
{\displaystyle f(x)-6=(x+3)^{2}}
{\displaystyle x+3=\pm {\sqrt {f(x)-6}}}
{\displaystyle x=-3\pm {\sqrt {f(x)-6}}}
{\displaystyle f^{-1}(x)=-3\pm {\sqrt {x-6}}}

5. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan {\displaystyle f^{-1}(x)} dari {\displaystyle f(x)={\frac {2x-7}{5x+3}}}

{\displaystyle f(x)={\frac {2x-7}{5x+3}}}
{\displaystyle (5x+3)f(x)=2x-7}
{\displaystyle 5xf(x)+3f(x)=2x-7}
{\displaystyle 5xf(x)-2x=-3f(x)-7}
{\displaystyle (5f(x)-2)x=-3f(x)-7}
{\displaystyle x={\frac {-3f(x)-7}{5f(x)-2}}}
{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {-3x-7}{5x-2}}}

 

6. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan {\displaystyle f^{-1}(x)} dari {\displaystyle f(x)=sin(4x+3)-7}

{\displaystyle f(x)=sin(4x+3)-7}
{\displaystyle f(x)+7=sin(4x+3)}
{\displaystyle 4x+3=arcsin(f(x)+7)}
{\displaystyle 4x=arcsin(f(x)+7)-3}
{\displaystyle x={\frac {arcsin(f(x)+7)-3}{4}}}
{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {arcsin(x+7)-3}{4}}}

7. Soal turunan matematika fungsi invers. Tentukan {\displaystyle f^{-1}(x)} dari {\displaystyle f(x)=^{2}\log {(x^{2}+8x-25)}}

{\displaystyle f(x)=^{2}\log {(x^{2}+8x-25)}}
{\displaystyle x^{2}+8x-25=2^{f(x)}}
{\displaystyle x^{2}+8x+16-16-25=2^{f(x)}}
{\displaystyle x^{2}+8x+16-41=2^{f(x)}}
{\displaystyle (x+4)^{2}-41=2^{f(x)}}
{\displaystyle (x+4)^{2}=41+2^{f(x)}}
{\displaystyle x+4=\pm {\sqrt {41+2^{f(x)}}}}
{\displaystyle x=-4\pm {\sqrt {41+2^{f(x)}}}}
{\displaystyle f^{-1}(x)=-4\pm {\sqrt {41+2^{x}}}}

 

7. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari {\displaystyle 3x-900+{\frac {120}{x}}}{\displaystyle 3x-900+{\frac {120}{x}}} ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?

Jawaban:

biaya dalam 1 hari {\displaystyle B(1)=3x-900+{\frac {120}{x}}}
biaya dalam x hari {\displaystyle B(x)=x(3x-900+{\frac {120}{x}})}
{\displaystyle B(x)=3x^{2}-900x+120}

biaya minimum tercapai saat turunannya = 0

{\displaystyle B'(x)=0}
{\displaystyle B'(x)=6x-900=0}
{\displaystyle 6x=900}
{\displaystyle x=150} hari

 

8. Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?

Jawaban:

Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
{\displaystyle x+y^{2}=75}
{\displaystyle x=75-y^{2}}
hasil kali: {\displaystyle f(y)=x\cdot y}
{\displaystyle f(y)=(75-y^{2})\cdot y}
{\displaystyle f(y)=75y-y^{3}}

nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0

{\displaystyle f'(y)=0}
{\displaystyle f'(y)=75-3y^{2}=0}
{\displaystyle 3y^{2}=75}
{\displaystyle y^{2}=25}
{\displaystyle y_{1}=5atauy_{2}=-5}

karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x

{\displaystyle x=75-(5)^{2}}
{\displaystyle x=50}
nilai terbesar hasil kali: {\displaystyle 50\cdot 5=250}

 

9. Hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva {\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x} di titik {\displaystyle (1,-2)}

Jawaban:

{\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x}
{\displaystyle m=y'=3x^{2}+4x-5}

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

{\displaystyle m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2}

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

{\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
{\displaystyle y-(-2)=2(x-1)}
{\displaystyle y=2x-4}

10. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar {\displaystyle 75+2x+0,1x^{2}} ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?

Jawaban:

laba = total penjualan – total biaya
laba {\displaystyle L(x)=40x-(75+2x+0,1x^{2})}
{\displaystyle L(x)=-75+38x-0,1x^{2}}

laba maksimum tercapai saat turunannya = 0

{\displaystyle L'(x)=0}
{\displaystyle L'(x)=38-0,2x=0}
{\displaystyle 0,2x=38}
{\displaystyle x=190}
{\displaystyle L(190)=-75+38(190)-0,1(190)^{2}}
{\displaystyle L(190)=-75+7,220-3,610}
{\displaystyle L(190)=3,535} ribu Rupiah

 

 

Contoh soal dan jawaban dalam aplikasi turunan

NB
hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai.
  • Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva {\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x} di titik {\displaystyle (1,-2)}!

{\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x}
{\displaystyle m=y'=3x^{2}+4x-5}

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

{\displaystyle m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2}

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

{\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
{\displaystyle y-(-2)=2(x-1)}
{\displaystyle y=2x-4}
  • Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari {\displaystyle 3x-900+{\frac {\displaystyle 3x-900+{\frac {120}{x}}} ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?

biaya dalam 1 hari {\displaystyle B(1)=3x-900+{\frac {120}{x}}}
biaya dalam x hari {\displaystyle B(x)=x(3x-900+{\frac {120}{x}})}
{\displaystyle B(x)=3x^{2}-900x+120}

biaya minimum tercapai saat turunannya = 0

{\displaystyle B'(x)=0}
{\displaystyle B'(x)=6x-900=0}
{\displaystyle 6x=900}
{\displaystyle x=150} hari
  • Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar {\displaystyle 75+2x+0,1x^{2}} ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?

laba = total penjualan – total biaya
laba {\displaystyle L(x)=40x-(75+2x+0,1x^{2})}
{\displaystyle L(x)=-75+38x-0,1x^{2}}

laba maksimum tercapai saat turunannya = 0

{\displaystyle L'(x)=0}
{\displaystyle L'(x)=38-0,2x=0}
{\displaystyle 0,2x=38}
{\displaystyle x=190}
{\displaystyle L(190)=-75+38(190)-0,1(190)^{2}}
{\displaystyle L(190)=-75+7,220-3,610}
{\displaystyle L(190)=3,535} ribu rupiah
  • Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?

Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
{\displaystyle x+y^{2}=75}
{\displaystyle x=75-y^{2}}
hasil kali: {\displaystyle f(y)=x\cdot y}
{\displaystyle f(y)=(75-y^{2})\cdot y}
{\displaystyle f(y)=75y-y^{3}}

nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0

{\displaystyle f'(y)=0}
{\displaystyle f'(y)=75-3y^{2}=0}
{\displaystyle 3y^{2}=75}
{\displaystyle y^{2}=25}
{\displaystyle y_{1}=5atauy_{2}=-5}

karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x

{\displaystyle x=75-(5)^{2}}
{\displaystyle x=50}
nilai terbesar hasil kali: {\displaystyle 50\cdot 5=250}

 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Lamar University – TexasColumbia university – New YorkMath Works

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2018-07-10T22:53:28+07:00 Juni 4th, 2018|Matematika|0 Comments

Leave A Comment