Koordinat Polar (sistem koordinat kutub) | Soal dan Jawaban

3 min read

Koordinat polar kalkulus

Penjelasan Koordinat Polar

Sistem koordinat polar (sistem koordinat kutub) dalam matematika adalah suatu sistem koordinat 2-dimensi di mana setiap titik pada bidang ditentukan dengan jarak dari suatu titik yang telah ditetapkan dan suatu sudut dari suatu arah yang telah ditetapkan.


Sistem koordinat polar (sistem koordinat kutub)

Dalam matematika adalah suatu sistem koordinat 2-dimensi di mana setiap titik pada bidang ditentukan dengan jarak dari suatu titik yang telah ditetapkan dan suatu sudut dari suatu arah yang telah ditetapkan.

Titik yang telah ditetapkan (analog dengan titik origin dalam sistem koordinat Kartesius) disebut pole atau “kutub”, dan ray atau garis geometri “sinar” dari kutub pada arah yang telah ditetapkan disebut “aksis polar” (polar axis). Jarak dari suatu kutub disebut radial coordinate atau radius, dan sudutnya disebut angular coordinatepolar angle, atau azimuth.


Konversi dari atau ke koordinat Kartesius

Contoh sebuah diagram menggambarkan hubungan antara sistem koordinat Kartesius dan polar.

Sebuah kurva dalam bidang Kartesian dapat dipetakan ke dalam koordinat polar. Dalam animasi ini, dipetakan kepada .

Koordinat polar r dan φ dapat dikonversi ke dalam sistem koordinat Kartesius x dan y menggunakan fungsi trigonometri sinus dan kosinus:

Koordinat Kartesian x dan y dapat dikonversi ke dalam koordinat polar r dan φ dengan r ≥ 0 dan φ dalam interval (−π, π] dengan:

 (sebagaimana dalam teorema Pythagoras atau Euclidean norm), dan
,

di mana atan-antan merupakan variasi umum pada fungsi arctangent yang didefinisikan sebagai:

Nilai φ di atas adalah principal value dari fungsi bilangan kompleks argument yang diterapkan pada x+iy. Suatu sudut dalam rentang [0, 2π) dapat diperoleh dengan menambahkan 2π pada nilai sudut itu jika nilainya negatif.


Koordinat polar kalkulus
Titik-titik dalam sistem koordinat polar dengan kutub/pole O dan aksis polar L. Warna hijau: titik dengan koordinat radial 3 dan koordinat angular 60 derajat, atau (3,60°). Warna biru: titik (4,210°). Sumber foto: Wikimedia Commons. Ilustrasi: PINTERpandai.com

Sejarah Sistem Koordinat Polar

Konsep sudut dan jari-jari sudah digunakan oleh manusia sejak zaman purba, paling tidak pada milenium pertama SM. Astronom dan astrolog Yunani, Hipparchus, (190–120 SM) menciptakan tabel fungsi chord dengan menyatakan panjang chord bagi setiap sudut, dan ada rujukan mengenai penggunaan koordinat polar olehnya untuk menentukan posisi bintang-bintang. Dalam karyanya On Spirals, Archimedes menyatakan Archimedean spiral, suatu fungsi yang jari-jarinya tergantung dari sudut. Namun, karya-karya Yunani tidak berkembang sampai ke suatu sistem koordinat sepenuhnya.

Dari abad ke-8 M dan seterusnya, para astronom mengembangkan metode untuk menghitung arah ke Mekkah (kiblat)— dan jaraknya — dari semua lokasi di bumi.


Kaidah Sistem Koordinat Polar

Sebuah grid polar dengan beberapa sudut yang diberi label dalam derajat.

Koordinat radial

Koordinat radial sering dilambangkan dengan r, dan koordinat angular dilambangkan dengan φθ, atau t. Koordinat angular ditetapkan sebagai φ oleh standar ISO 31-11.

Sudut dalam notasi polar

Sudut dalam notasi polar biasanya dinyatakan dalam derajat atau radian (2π rad sama dengan to 360°). Derajat biasanya digunakan dalam navigasi, surveying, dan banyak bidang, sementara radian lebih umum dalam matematika dan fisika.

Dalam banyak konteks, suatu koordinat angular positif berarti sudut φ diukur berlawanan dengan jarum jam dari aksis.

Dalam literatur matematika, aksis polar sering digambar horizontal dan mengarah ke kanan.


Contoh Soal dan Jawaban Koordinat Polar (sistem koordinat kutub)

1. Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Polar ke Koordinat Kartesius. Koordinat kartesius dari titik (10, 315°) adalah…

A. (-5, -5√2)
B. (-5, 5√2)
C. (5√2, 5√2)
D. (5√2, -5√2)
E. (5, -5√2)

Jawab : D

» Sudut 315° (kuadran IV) —–> (x, -y)
» Dari pilihan jawaban di atas maka kemungkinan jawabannya D atau E
» (r, α) ——> (10, 315°)

x = 10 . cos 315°
x = 10 . ½√2
x = 5√2

y = 10 . sin 315°
y = 10 . -½√2
y = -5√2
Jadi koordinat kartesiusnya adalah (5√2, -5√2)

Untuk lebih jelas dapat dilihat pada gambar di samping.

2. Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Kartesius ke Koordinat Polar. Koordinat kutup dari titik (-6, 6√3) adalah…

A. (12, 30°)
B. (12, 60°)
C. (12, 90°)
D. (12, 120°)
E. (12, 210°)

Jawab : D
Cara biasa
r² = (-6)² + (6√3)²
r² = 36 + 108
r² = 144
r = 12

a = arc tan (6√3) / -6
a = arc tan -√3
a = 120°
Jadi koordinat kutubnya adalah (12, 120°)

Cara praktis
» (-6, 6√3) ——-> (-x, y) —–> maka berada di kuadran II
» Dari pilihan jawaban di atas yang berada di kuadran II yaitu hanya pilihan D
» Sedangkan r tidak usah dicari karena dari pilihan jawaban semuanya sama.

3. Untuk koordinat kartesius ke koordinat kutub koordinat kutub titik (-4,4) adalah…

penyelesaian :
(x,y)⇒ (r, α)

x = -4, y=4
(karena x negatif dan y positif, maka α sudut di kuadran II)
r =


tan α = x/y
⇒4/ – 4
⇒ – 1

karena α sudut di kuadran II, maka : α = (180-45)°= 135°
maka koordinat kutubnya ialah ( 4√2, 135°)

4. Untuk koordinat kutub ke koordinat kartesius
Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah…

a. (3,3)
b. (3√3, 9)
c. (3, √3)
d. (9, 3√3)
e. (3, 3√3)

Penyelesaian :

koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius
(r , α) ⇒ ( x , y )

r = 6√3 ;         α = 60°
(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)

x = r cos α
⇒ 6√3 x cos 60°
⇒ 6√3 x 1/2
⇒ 3√3

y = r sin α
⇒ 6√3 x sin 60°
⇒ 6√3 x 1/2 √3
⇒ 3 x 3
⇒ 9

sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)  (d)


Bacaan Lainnya

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Lumen Learning, Math is Fun

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing

Rumus Matematika dan Contoh untuk Penggunaan Sehari-hari

Matematika adalah alat penting dalam berbagai aspek kehidupan kita, mulai dari keuangan pribadi hingga usaha profesional. Memahami dan menerapkan perhitungan matematis dapat secara signifikan...
PinterPandai
5 min read

2 Replies to “Koordinat Polar (sistem koordinat kutub) | Soal dan Jawaban”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *