Nilai Pi 3,14 atau 22/7 atau 355/113 – Rumus dengan Pi – Contoh Soal dan Jawaban

Nilai Pi π

Nilai pi adalah 3,14159265358979323846, atau 22/7 atau 355/113. Temukan dibawah ini beberapa rumus pi yang sering digunakan!

Pi (π) adalah salah satu bilangan paling penting dan menarik dalam matematika. Sekitar 3,14 pi adalah konstanta yang digunakan untuk menghitung keliling sebuah lingkaran dari jari-jari atau diameter lingkaran tersebut.

Pi juga merupakan bilangan irasional, yang artinya adalah pi dapat dihitung hingga tempat desimal tak hingga tanpa mengalami pengulangan pola. Hal ini menyulitkan perhitungan pi, tetapi bukan berarti tidak mungkin menghitungnya dengan tepat. Baca juga: Nilai Pi 1 juta digit pertama π dan Nilai Pi Yang Tepat π – 100 000 digit pertama

Nilai Pi π

3,14 atau 22/7 atau 355/113

 

Rumus Pi π

Berikut rumus-rumus dengan Pi π

Bentuk Rumus
Keliling lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d
Luas lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d
Volume bola dengan jari-jari r atau diameter d atau
Luas permukaan bola dengan jari-jari r atau diameter d atau
Volume silinder setinggi h dan berjari-jari r
Luas permukaan silinder setinggi h dan berjari-jari r
Volume kerucut setinggi h dan berjari-jari r
Luas permukaan kerucut setinggi h dan berjari-jari r

 

Rumus pi soal jawaban

Pi π – Nilai pi 3,14 atau 22/7 atau 355/113 – Rumus dengan Pi – Soal Jawaban. Ilustrasi dan sumber foto: Pixabay

 

Rumus Pi pada Geometri dan trigonometri

Luas lingkaran di atas adalah sama dengan π kali luas daerah yang diarsir.

π muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya elipsbolakerucut, dan torus.

Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan pi π misalnya:

  • Keliling lingkaran dengan jari-jari r adalah
  • Luas lingkaran dengan jari-jari r adalah
  • Volume bola dengan jari-jari r adalah
  • Luas permukaan bola dengan jari-jari r adalah

π muncul dalam integral tertentu yang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran.

Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:

Dalam integral tersebut, fungsi mewakili kurva setengah lingkaran, dan integralnya  menghitung luas antara setengah lingkaran dengan sumbu x.

Diagram showing graphs of functions

Fungsi sinus dan kosinus berulang dengan periode 2π.

Fungsi trigonometri bergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut. π memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam radian, yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2π radian. Hal ini berarti 180° sama dengan π radian, dan 1° = π/180 radian.

Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari π, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2π, sehingga untuk sudut θ apapun dan bilangan bulat k apapun, dan

Metode Monte Carlo

Jarum dengan panjang ℓ terpencar pada garis dengan lebar t
Jarum Buffon. Jarum a dan b dijatuhkan secara acak.
Ratusan noktah secara acak menutupi suatu persegi dan suatu lingkaran yang disisipkan dalam persegi.
Noktah-noktah acak diletakkan pada kuadran persegi dengan satu lingkaran di dalamnya.
Metode Monte Carlo, berdasarkan percobaan acak, dapat digunakan untuk mengaproksimasi π.

Metode Monte Carlo, yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi π.

Jarum Buffon adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang  dijatuhkan n kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar t satuan, dan jika dari x kali ia jatuh melintasi garis (x > 0), maka aproksimasi π dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:

Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung π adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan π/4.

Metode Monte Carlo untuk memperkirakan π sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan π ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.
 

Bilangan dan analisis kompleks

A diagram of a unit circle centered at the origin in the complex plane, including a ray from the center of the circle to its edge, with the triangle legs labeled with sine and cosine functions.

Asosiasi antara daya imajiner dengan bilangan e dan titik-titik pada satuan lingkaran yang berpusat pada pusat bidang kompleks dinyatakan oleh formula Euler.

Bilangan kompleks apapun, sebut saja z, dapat dinyatakan menggunakan pasangan bilangan nyata. Dalam sistem koordinat polar, satu bilangan (jari-jari atau r) digunakan untuk menyatakan jarak z dari pusat bidang kompleks sedangkan (sudut atau φ) menyatakan a putaran berlawanan arah jarum jam dari garis nyata positif sebagai berikut:

dengan i adalah satuan imajiner dari i2 = −1. Setingnya penggunaan π dalam analisis kompleks dapat dihubungkan dengan perilaku fungsi eksponential variabel kompleks, yang dijelaskan oleh formula Euler:

dengan tetapan e adalah basis logaritma natural. Formula ini menghasilkan hubungan antara daya imajiner e dan titik-titik pada satuan lingkaran yang berpusat pada pusat bidang kompleks. Pengaturan φ = π dalam formula Euler menghasilkan identitas Euler, disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima tetapan matematika paling penting:

Sebanyak n bilangan kompleks z yang berbeda dalam persamaan zn = 1, disebut “akar persatuan (root of unity) ke n“. Mereka dinyatakan dalam persamaan:

Formula integral Cauchy mengelola fungsi integral kompleks dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:

An complex black shape on a blue background.

π dapat dihitung dari himpunan Mandelbrot, dengan menghitung jumlah iterasi yang diperlukan sebelum titik divergen (-0,75, ε).

Keberadaan π dalam fraktal himpunan Mandelbrot ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991.

Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat “leher” pada (-0,75, 0). Jika dianggap titik dengan koordinat (-0,75, ε), dengan ε cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan ε konvergen menuju π. Titik (0,25, ε) di titik puncak “lembah” besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat ε cenderung mendekati π.

Fungsi gama memperluas konsep faktorial (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat non-negatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat nyata negatif. Ketika fungsi gama dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi π; sebagai contoh

dan
.

Fungsi gama dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti n! untuk n besar:

yang dikenal sebagai aproksimasi Stirling.
 

Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann

Fungsi zeta Riemann ζ(s) digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi pada s = 2 fungsi ini dapat ditulis sebagai:

Menemukan penyelesaian sederhana untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut masalah Basel. Leonhard Euler memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan π2/6.

Hasil Euler mengarah pada teori bilangan yaitu probabilitas dua angka acak yang bersifat prima relatif (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan 6/π2.

Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang dapat dibagi dengan suatu bilangan prima p adalah 1/p (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah 1/p2, dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah 1-1/p2. Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:

Probabilitas ini dapat digunakan bersamaan dengan generator bilangan acak untuk memperkirakan π menggunakan pendekatan Monte Carlo.
 

Probabilitas dan statistik

Sebuah grafik fungsi Gauss
ƒ(x) = ex2. Wilayah berwarna di antara fungsi dan sumbu x memiliki luas .

Bidang probabilitas dan statistik seringkali menggunakan distribusi normal sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan pengamatan dalam kebanyakan percobaan mengikuti sebuah distribusi normal.

Fungsi Gauss (yang merupakan fungsi kepekatan probabilitas distribusi normal) dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ, pada dasarnya adalah π:

Agar ini dapat menjadi kepekatan probabilitas, wilayah di bawah grafik f harus sama dengan satu. Hal ini diperoleh dari perubahan variabel dalam integral Gauss:

,

sehingga luas daerah yang berada di bawah kurva lonceng sederhana sama dengan akar kuadrat π.
 

Penggunaan Pi di luar matematika

Penggambaran fenomena fisika

Meskipun bukan konstanta fisikaπ hadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antara π dengan lingkaran dan dengan sistem koordinat sferis.

Rumus sederhana dari bidang mekanika klasik memberikan aproksimasi periode T pendulum sederhana dengan panjang L, yang mengayun dengan amplitudo g adalah percepatan gravitasi bumi):

Salah satu rumus kunci dalam mekanika kuantum adalah Prinsip ketidakpastian Heisenberg, yang menunjukkan bahwa ketidakpastian dalan pengukuran posisi suatu partikel (Δx) dan momentum (Δp) keduanya tidak dapat sama persis pada saat yang bersamaan (dengan h adalah tetapan Planck):

Persamaan medan Einstein

Dalam ranah kosmologiπ muncul dalam persamaan medan Einstein, suatu formula fundamental yang menjadi dasar teori relativitas umum dan menjelaskan interaksi fundamental gravitasi sebagai hasil pelengkungan ruang waktu oleh materi dan energi:

dengan  adalah tensor lengkungan RicciR adalah lengkungan skalar,  adalah tensor metrikΛ adalah tetapan kosmologiG adalah tetapan gravitasi Newtonc adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa, dan  adalah tensor energi tegangan.

Permitivitas ruang hampa (Konstanta Magnetik)

Hukum Coulomb, dari disiplin ilmu elektromagnetisme, menjelaskan medan listrik antara dua muatan listrik (q1 dan q2) yang dipisahkan oleh jarak r (dengan ε0 mewakili permitivitas ruang hampa:

Fakta bahwa nilai π mendekati 3 memainkan peran dalam ortopositronium dalam waktu yang relatif panjang. Kebalikannya hingga orde paling rendah dalam tetapan struktur halus α adalah

dengan m adalah massa elektron.

π hadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumus buckling yang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksial F maksimum dengan panjang kolom Lelastisitas modulus E, dan momen inersia area I dapat mengangkut tanpa buckling:

Dinamika fluida

Bidang dinamika fluida menyertakan π dalam hukum Stokes, yang mengaproksimasi gaya friksi F yang muncul pada objek sferis kecil dengan radius R, bergerak dengan kecepatan v dalam fluida yang mempunyai viskositas dinamis η:

Transformasi Fourier

Transformasi Fourier, dijelaskan di bawah, adalah operasi matematika yang menyatakan waktu sebagai fungsi dari frekuensi, dikenal karena spektrum frekuensinya. Ini mempunyai banyak aplikasi dalam fisika dan rekayasa, terutama dalam pemrosesan sinyal.

***********************************************************

 

Apa itu Bilangan π (Pi) di dalam Matematika?

\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}

Perlu digaris bawahi, \pi bukanlah suatu bilangan rasional. Artinya, nilai dari \pi tidak dapat dituliskan ke dalam bentuk pecahan \frac{p}{q}, q\neq 0 dan p,q keduanya bilangan bulat.

Jadi, apa sebenarnya bilangan \pi itu?

\pi merupakan rasio atau perbandingan dari keliling suatu lingkaran (k) dengan panjang diameternya (d). Jadi sebesar atau sekecil apa pun lingkaran yang kita punya, jika keliling lingkaran tersebut dibagi dengan panjang diameternya maka akan menghasilkan suatu bilangan konstan yang disebut \pi,

\pi =\frac{k}{d}

Dari perbandingan tersebut, kita bisa peroleh rumus keliling lingkaran sebagai k=\pi d. Karena diameter lingkaran merupakan dua kali jari-jarinya, jadi dapat dituliskan k=\pi(2r)=2\pi r. Nah, permasalahan sekarang adalah; bagaimana matematikawan terdahulu menaksir nilai \pi? mengingat kalkulator scientific saat itu masih menjadi khayalan semata.

Archimedes merupakan ilmuwan pertama yang mampu menaksir nilai \pi dengan cukup akurat. Meskipun saat itu ia tidak tahu berapa panjang keliling lingkaran, namun dia mencoba untuk menghampiri panjang keliling lingkaran dengan keliling suatu segi-n beraturan. Bagaimana caranya?

Pertama kita harus mencari rumus keliling dari segi-n beraturan. Karena rumus keliling lingkaran adalah k= 2\pi r, maka agar k =\pi, haruslah r=1/2. Jadi kita akan bekerja pada lingkaran dengan jari-jari sebesar r=1/2, tentu dengan tujuan agar lebih mudah. Sekarang perhatikan lingkaran yang dihampiri oleh segi-n berikut

Kita buat garis AB dan AD sehingga \Delta ABD merupakan segitiga siku-siku dan \Delta ABC merupakan segitiga sama kaki,

Dari sana dapat terlihat bahwa AD\perp BC dan BD=DC. Selanjutnya misalkan garis BC dan DC memiliki panjang a.

Tujuan kita sekarang adalah mencari nilai dari a. Caranya; perhatikan nilai sinus dari sudut \theta, yaitu perbandingan dari sisi depan dengan sisi miringnya,

\sin\theta=\frac{BD}{AB}=\frac{a}{1/2}=2a

Jadi kita punya rumus untuk menentukan panjang sisi BC sebagai

\bar{BC}=a+a=2a=\sin\theta

\bar{BC}=\sin\theta

Karenanya keliling dari segi-n tersebut adalah

Keliling segi-n= Jumlah sisi BC \times \bar{BC}

Keliling segi-n=n\times\sin\theta

Kita sudah bisa mendapatkan rumus mencari keliling segi-n beraturan. Sentuhan terakhir, kita perlu mencari nilai dari sudut \theta. Karena jumlah sudut satu lingkaran penuh adalah sebesar 360^{o},

maka

\theta =\frac{360^{o}}{n}\times\frac{1}{2}=\frac{180^{o}}{n}

Jadi diperoleh

Keliling segi –n=n\times\sin(\frac{180^{o}}{n})

Nah, sekarang kita bisa menghampiri nilai \pi berdasarkan rumus di atas. Konsepnya begini, misalkan kita ingin menghampiri keliling lingkaran berjari-jari r=1/2 oleh keliling suatu segi enam (artinya segi-n dengan n=6). Jadi kita cukup menghitung

Keliling segi enam =6\sin(\frac{180}{6})=3

Karena keliling lingkarannya bernilai k=\pi, maka keliling lingkaran tersebut dapat dihampiri oleh keliling segi enam, yang berarti

k=\pi\approx 3

Agar nilai aproksimasinya lebih baik lagi, maka kita harus menghampiri lingkaran tersebut dengan segi-n untuk n yang cukup besar. Misalnya dengan segi seribu sehingga diperoleh nilai hampirannya

k=\pi\approx 3,141587

 

Soal dan Jawaban Pi

Hitunglah jari jari pada lingkaran berikut! (π = 3,14)
A. K= 628CM
B. K= 50CM
C. K= 132CM

Jawaban:

A. r = 100 cm
B. r = 7,96 cm
C. r = 21,02 cm

Pembahasan:
Ingat kembali rumus keliling lingkaran

keliling lingkaran = \pi × d

keliling lingkaran = 2 × \pi × r

Keterangan:

r = jari-jari lingkaran
d = diameter lingkaran

Pada soal diatas:

Dik : \pi = 3,14
Dit :  jari – jari (r) jika:

A. K= 628CM
B. K= 50CM
C. K= 132CM

Penyelesaian :

A) K = 2 × \pi × r
628 = 2 × 3,14 × r
628 = 6,28 × r
r = 628/6,28
r = 100 cm

B) K = 2 × \pi × r
50 = 2 × 3,14 × r
50 = 6,28 × r
r = 50/6,28
r = 7,96 cm

C) K = 2 × \pi × r
132 = 2 × 3,14 × r
132 = 6,28 × r
r = 132/6,28
r = 21,02 cm.
 

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari sebesar 10 cm. Berapakah luas lingkaran tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

  • r = 10 cm

Ditanyakan: Luas lingkaran?

Jawab:

  • Luas = π × r²
  • Luas = 3,14 × 100
  • Luas = 314 cm²

Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 314 cm².

Jika diketahui sebuah lingkaran mempunyai diameter 14 cm. Berapakah luas lingkaran tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

  • d = 14 cm

karena d = 2 × r maka:

  • r = d/2
  • r = 14/2
  • r = 7 cm

Ditanyakan: Luas lingkaran?

Jawab:

  • Luas = π × r²
  • Luas = 22/7 × 7²
  • Luas = 154 cm²

Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 154 cm².
 

Hitunglah keliling lingkaran dengan jari-jari 20 cm.

Penyelesaian:

Diketahui:

  • r = 20 cm
  • π = 3,14

Ditanyakan: Keliling lingkaran?

Jawab:

  • Keliling = 2 × π × r
  • Keliling = 2 × 3,14 × 20
  • Keliling = 125,6 cm

Jadi, keliling lingkaran tersebut adalah 125,6 cm.
 

Hitunglah keliling lingkaran dengan diameter 20 cm?

Penyelesaian:

Diketahui:

  • d = 20 cm
  • π = 3,14

Ditanyakan: Keliling lingkaran?

Jawab:

  • Keliling = π × d
  • Keliling = 3,14 × 20
  • Keliling = 62,8 cm

Jadi, keliling lingkaran tersebut adalah 62,8 cm.

 

Diketahui sebuah lingkaran memiliki keliling sebesar 66 cm. Hitunglah berapa diameter lingkaran tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

  • Keliling = 66 cm

Ditanyakan: Diameter lingkaran?

Jawab:

Keliling = π × d

untuk mencari diameter, maka dibutuhkan rumusnya.

Rumus mencari diamter adalah d = keliling / π

  • d = 66 / (22/7)
  • d = (66 × 7) / 22
  • d = 21 cm

Jadi, diameter lingkaran tersebut adalah 21 cm.

 

Bacaan Lainnya

 

Pasang iklan gratis di toko pinter

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

 

Cara daftar pasang iklan gratis

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

 

Sumber bacaan: Live Science
 

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

By | 2019-12-10T20:38:30+07:00 Desember 8th, 2019|Matematika|0 Comments

Leave A Comment