fbpx

Hiperbola – Rumus, Persamaan, Contoh Soal dan Jawaban

Hiperbola

Hiperbola adalah salah satu dari tiga jenis irisan kerucut, yang dibentuk oleh irisan suatu bidang dan kerucut ganda.
 

Persamaan hiperbola dengan pusat O (0, 0).

Vertikal: (x²/b²) – (y²/a²) = 1

Horisontal: (x²/a²) – (y²/b²) = 1

keterangan:

  • a : ½ x Panjang sumbu nyata
  • b : ½ x panjang sumbu imajiner
 

Rumus Hiperbola Vertikal dan Horisontal pada Titik pusat (0,0)

Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Persamaan
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Panjang Latus Rectum
Fokus
Puncak
Asimtot
Eksentrisitas
Titik pusat (h,k)
Persamaan
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Panjang Latus Rectum
Fokus
Puncak
Asimtot
Eksentrisitas

dimana
 

 

Hiperbola muncul dalam berbagai hal:

  • sebagai kurva yang mewakili fungsi  pada bidang Sistem koordinat Kartesius,
  • sebagai garis edar yang diikuti oleh ujung bayangan jam matahari,
  • sebagai bentuk orbit terbuka (berbeda dengan orbit elips tertutup), seperti orbit pesawat ruang angkasa selama ada bantuan gravitasi melalui perputaran sebuah planet atau lebih umumnya setiap pesawat ruang angkasa yang melebihi kecepatan lepas dari planet terdekat,
  • sebagai jalur penampakan tunggal komet (yang melintas terlalu cepat untuk kembali ke tata surya),
  • sebagai lintasan hamburan dari partikel subatom (ditindaklanjuti dengan gaya tolak bukan gaya tarik tetapi prinsipnya sama),
  • dalam navigasi radio, ketika perbedaan antara jarak ke dua titik, tetapi bukan jarak itu sendiri, dapat ditentukan, dan seterusnya.

 

Contoh Soal dan Jawaban Hiperbola

1. Tentukan kedua titik fokus dari hiperbola: (x²/16) – (y²/9) = 1

Jawaban:

(x²/a²) – (y²/b²) = 1, jika kita melihat persamaan umumnya, maka kita peroleh a=4 dan b=3. Tentu c kita cari dengan rumus c²=a²+b², dan kita dapatkan c=5.

Sehingga koordinat titik fokus dari hiperbola tersebut adalah pm (5,0)
 

2. Buatlah gambar grafik dari persamaan: (x²/16) + (y²/9) = 1

Jawaban:
 

Soal grafik hiperbola

Grafik hiperbola (x²/16) + (y²/9) = 1

 

3. Tentukan titik pusat, titik focus, dan titik puncak hiperbola dengan persamaan y2 – 2x2 = 8.

Jawaban:

Persamaan hiperbola y2 – 2x2 = 8 diubah menjadi y2/8 – x2/4 = 1.

a2 = 8 à a = 2√2
b2 = 4 à b = 2
c2 = a2 + b2 à c = √(8 + 4) = √12 = 2√3

Titik pusatnya yaitu pada O (0, 0).
Titik fokusnya yaitu (0, -c) = (0, -2√3) dan (0, c) = (0, 2√3).
Titik puncaknya yaitu (0, -a) = (0, -2√2) dan (0, a) = (0, 2√2).
 

4. Tentukan garis asimtot dari hiperbola: (x²/16) – y²/9) = 1

Jawaban:

(x²/a²) – (y²/b²) = 1, jika kita melihat persamaan umumnya, maka kita peroleh a=4 dan b=3. Kedua asimtotnya kita kenal sebagai y= \pm \frac{b}{a}x, maka kita peroleh kedua asimtotnya adalah y= \pm \frac{3}{4}x
 

5. Soal untuk hiperbola vertikal. Tentukan kedua titik puncak, titik fokus dan garis asimtot untuk hiperbola : \frac{y^2}{16}- \frac{x^2}{9}=1 atau bisa juga dituliskan : - \frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{16}=1

Jawab :

Ketika kita mengambil y=0, kita tidak mungkin bisa menemukan nilai x. karena bentuk - \frac{x^2}{9}=1 adalah tidak akan terpenuhi untuk x berapapun.

Kita ambil x=0, maka kita dapatkan y=4. Inilah puncaknya. (gambar saja coret-coretan di x=4 dan x=-4 sebagai puncak, kemudian gambar hiperbola sederhana)

Perhatikan persamaan umum yang kita gunakan : \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1

(a itu miliknya x, berada di bawah (sebagai penyebut) dari x dan b itu miliknya y, berada di bawah (sebagai penyebut) dari y)

Sehingga, untuk soal : - \frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{16}=1

Kita dapatkan a=3 dan b=4

Sehingga garis asimtotnya pun adalah y= \pm \frac{4}{3}x

Untuk mencari titik fokus, kita perlu mencari c, yaitu kita dapatkan c itu sama dengan 5. Karena hiperbola vertikal, maka koordinat titik c adalah (0, \pm c) yaitu sama dengan (0, \pm 5).
 

6. Diketahui Hiperbola dengan persamaan: 25x2 – 144y2 – 300x – 288y –  2844 = 0

Tentukan

  • Koordinat pusat

  • Jarak pusat ke puncak

  • Jarak antar puncak

  • Jarak pusat ke fokus

  • Jarak antar fokus

  • Koordinat puncak

  • Koordinat fokus

  • Panjang latus rectum

  • Eksentrisitas

  • Persamaan asimtot

  • Persamaan direktris

Jawaban:

25x2 – 144y2 – 300x – 288y –  2844 = 0
25x2  – 300x – 144y2 – 288y =  2844
25(x2 – 12x) – 144(y2 + 2y) = 2844
25[(x – 6)2 – 36] – 144[(y + 1)2 – 1] = 2844
25(x – 6)2 – 900 – 144(y + 1)2 + 144 = 2844
25(x – 6)2 – 144(y + 1)2  = 2844 – 144 + 900
25(x – 6)2 – 144(y + 1)2 = 3600

Jika kedua ruas dibagi dengan 3600 maka:

{(x-6)²/144) – (y+1)²/25)} =1

Jenis hiperbola adalah horizontal

a2 = 144 maka a = 12
b2 = 25 maka b = 5
c2 = a2 + b2 = 144 + 25 = 169 maka c = 13

Koordinat pusat (6, – 1)

Jarak antar puncak = 2a = 24

Jarak pusat ke fokus = c = 13

Jarak antar fokus = 2c = 26

Koordinat puncak  (12, 0)dan ( – 12 , 0)

Untuk memudahkan cara mencari puncak adalah sebagai berikut:
 

Koordinat puncak  (12, 0)dan ( – 12 , 0)

Koordinat puncak  (12, 0)dan ( – 12 , 0)

 

Menentukan Puncak Hiperbola

  • Untuk mendapatkan puncak maka absis pusat x = 6 kita tambah dengan a=12 atau kita kurangi dengan 12
  • Puncak kanan diperoleh  dengan menambah absis dengan 12. x = 6 + 12 = 18, jadi puncaknya (18, –1)
  • Puncak kiri diperoleh  dengan mengurangi absis dengan 12. x = 6 – 12 = –6 , jadi puncaknya (–6, –1)
Koordinat fokus (13, 0) dan ( – 13 , 0)
Koordinat fokus (13, 0) dan ( – 13 , 0)

Koordinat fokus (13, 0) dan ( – 13 , 0)

  • Untuk mendapatkan fokus maka absis pusat x = 6 kita tambah dengan c=13 atau kita kurangi dengan 13
  • Fokus kanan diperoleh  dengan menambah absis dengan 13. x = 6 + 13 = 19, jadi fokusnya (19, –1)
  • Fokus kiri diperoleh dengan mengurangi absis dengan 13. x = 6 – 13 = –7 , jadi fokusnya (–7, –1)
Panjang latus rectum

2b²/a = 50/12 = 15/6

Eksentrisitas

e = c/a = 13/12

Persamaan asimtot

Persamaan asimtot untuk hiperbola horizontal dengan pusat (p, q) adalah:

y-q = ± b/a (x-p)
y+1 = ± 5/12 (x-6)
12y+12 = ±5(x-6)
12y+12 = ±(5x-30)
12y + 12 = 5x – 30 atau 12y + 12 = –5x + 30
5x – 12y – 42 = 0 atau 5x + 12y – 18 = 0

Jika tidak hafal dengan rumus maka cara mencari asimtot adalah dengan mengubah bilangan 1 di ruas kanan menjadi 0

Persamaan hiperbola

{(x-6)²/144) – (y+1)²/25} = 1
{(x-6)²/144) – (y+1)²/25} = 0
{(x-6)²/144) = (y+1)²/25}
25(x-6)² = 144(y+1)²
5(x-6) = ± 12(y+1)
5(x – 6) = 12(y + 1) atau 5(x – 6) = –12(y + 1)
5x – 30 = 12y + 12 atau 5x – 30 = –12y – 12
5x – 12y – 42 = 0 atau 5x + 12y – 18 = 0

Persamaan direktris

Jarak pusat ke direktris adalah

a/e = (12 / 13/12) = 144/13 = 11 1/13
 

Jarak pusat ke direktris adalaha/e = (12 / 13/12) = 144/13 = 11 1/13

Jarak pusat ke direktris adalah a/e = (12 / 13/12) = 144/13 = 11 1/13

 
Untuk mendapatkan direktris maka absis yang ada di pusat (x = 6) kita tambah dengan 11 atau dikurangi 11

Direktris kanan x = 6 + 11 = 17

Direktris kiri  x = 6 – 11 = –5
 

Bacaan Lainnya

 

Pasang iklan gratis di toko pinter

Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com

 

Cara daftar pasang iklan gratis

3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

 
Sumber bacaan: Math is Fun, Math Warehouse, Lumen Learning, Toppr
 
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

By | 2019-12-10T21:05:16+07:00 Desember 10th, 2019|Matematika|0 Comments

Leave A Comment