fbpx

Rumus Momen Inersia Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya

Rumus Momen inersia

Momen inersia adalah hasil kali partikel massa dengan kuadrat jarak tegak lurus partikel dari titik poros. Berikut adalah rumus momen inersia.

{\displaystyle I=m\times r^{2}}

Satuan dari momen inersia adalah kg m² (Kilogram meter kuadrat).

Besaran momen inersia dari beberapa benda.

Benda Poros Gambar Momen inersia
Batang silinder Poros melalui pusat Moment of inertia rod center.png {\displaystyle I={\frac {1}{12}}\,\!mL^{2}}
Batang silinder poros melalui ujung Moment of inertia rod end.png {\displaystyle I={\frac {1}{3}}\,\!mL^{2}}
Silinder berongga Melalui sumbu Moment of inertia thin cylinder.png {\displaystyle I=mR^{2}}
Silinder pejal Melalui sumbu Moment of inertia thick cylinder.png {\displaystyle I={\frac {1}{2}}\,\!mR^{2}}
Silinder pejal Melintang sumbu Moment of inertia thick cylinder h.png {\displaystyle I={\frac {1}{4}}\,\!mR^{2}+{\frac {1}{12}}\,\!mL^{2}}
Bola pejal Melalui diameter Moment of inertia solid sphere.svg {\displaystyle I={\frac {2}{5}}\,\!mR^{2}}
Bola pejal Melalui salahsatu garis singgung Moment of inertia solid sphere.svg {\displaystyle I={\frac {7}{5}}\,\!mR^{2}}
Bola berongga Melalui diameter Moment of inertia hollow sphere.svg {\displaystyle I={\frac {2}{3}}\,\!mR^{2}}

 

Hubungan antara torsi dengan momen inersia

Hukum II Newton tentang rotasi

{\displaystyle \tau =I\times \alpha }

Keterangan:

  • I : momen inersia (kg m²)
  • α : percepatan sudut (rad/s²)
  • {\displaystyle \tau } : torsi (Nm)

 

Momen inersia (Satuan SI : kg m2) adalah ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya. Besaran ini adalah analog rotasi daripada massa. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa dalam dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran lain. Meskipun pembahasan skalarterhadap momen inersia, pembahasan menggunakan pendekatan tensor memungkinkan analisis sistem yang lebih rumit seperti gerakan giroskopik.

Lambang {\displaystyle I} dan kadang-kadang juga {\displaystyle J} biasanya digunakan untuk merujuk kepada momen inersia.


 

Definisi skalar

Definisi sederhana momen inersia (terhadap sumbu rotasi tertentu) dari sembarang objek, baik massa titik atau struktur tiga dimensi, diberikan oleh rumus:

{\displaystyle I=\int r^{2}\,dm\,\!}

di mana m adalah massa dan r adalah jarak tegak lurus terhadap sumbu rotasi.

Analisis

Momen inersia (skalar) sebuah massa titik yang berputar pada sumbu yang diketahui didefinisikan oleh

{\displaystyle I\triangleq mr^{2}\,\!}

Momen inersia adalah aditif. Jadi, untuk sebuah benda tegar yang terdiri atas N massa titik mi dengan jarak ri terhadap sumbu rotasi, momen inersia total sama dengan jumlah momen inersia semua massa titik:

{\displaystyle I\triangleq \sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}\,\!}

Untuk benda pejal yang dideskripsikan oleh fungsi kerapatan massa ρ(r), momen inersia terhadap sumbu tertentu dapat dihitung dengan mengintegralkan kuadrat jarak terhadap sumbu rotasi, dikalikan dengan kerapatan massa pada suatu titik di benda tersebut:

{\displaystyle I\triangleq \iiint _{V}\|\mathbf {r} \|^{2}\,\rho (\mathbf {r} )\,dV\!}

di mana

V adalah volume yang ditempati objek
ρ adalah fungsi kerapatan spasial objek
r = (r,θ,φ), (x,y,z), atau (r,θ,z) adalah vektor (tegaklurus terhadap sumbu rotasi) antara sumbu rotasi dan titik di benda tersebut.

Diagram perhitungan momen inersia sebuah piringan. Di sini kadalah 1/2 dan {\displaystyle \mathbf {r} }{\displaystyle \mathbf {r} } adalah jari-jari yang digunakan untuk menentukan momen inersia

Berdasarkan analisis dimensi saja, momen inersia sebuah objek bukan titik haruslah mengambil bentuk:

{\displaystyle I=k\cdot M\cdot {R}^{2}\,\!}

di mana

M adalah massa
R adalah jari-jari objek dari pusat massa (dalam beberapa kasus, panjang objek yang digunakan)
k adalah konstanta tidak berdimensi yang dinamakan “konstanta inersia”, yang berbeda-beda tergantung pada objek terkait.

Konstanta inersia digunakan untuk memperhitungkan perbedaan letak massa dari pusat rotasi. Contoh:

  • k = 1, cincin tipis atau silinder tipis di sekeliling pusat
  • k = 2/5, bola pejal di sekitar pusat
  • k = 1/2, silinder atau piringan pejal di sekitar pusat.

 

Hubungan antara torsi dengan momen inersia

Hukum II Newton tentang rotasi

{\displaystyle \tau =I\times \alpha }

Keterangan:

  • I : momen inersia (kg m²)
  • α : percepatan sudut (rad/s²)
  • {\displaystyle \tau } : torsi (Nm)

 

Torsi

Sebuah partikel yang terletak pada posisi r relatif terhadap sumbu rotasinya. Ketika ada gaya F yang bekerja pada partikel, hanya komponen tegak lurus F yang akan menghasilkan torsi. Torsi τ = r × F ini mempunyai besar τ = |r| |F| = |r| |F| sinθ yang arahnya keluar bidang kertas.

Torsi atau momen gaya adalah hasil kali antara gaya F dan lengan momennya. Torsi dilambangkan dengan lambang {\displaystyle \tau }{\displaystyle \tau }.

{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
{\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!}

Satuan dari torsi adalah Nm (Newton meter).


 

Contoh Soal dan Jawaban Momen Inersia

1. Bola bermassa 100 gram dihubungkan dengan seutas tali yang panjangnya 30 cm seperti pada gambar. Momen inersia bola terhadap sumbu AB adalah…

Diketahui:
Sumbu rotasi adalah AB
Massa bola (m) = 100 gram = 100/1000 = 0,1 kilogram
Jarak bola dari sumbu rotasi (r) = 30 cm = 0,3 meter
Ditanya : Momen inersia bola (I)
Jawaban:
I = m r2 = (0,1 kg)(0,3 m)2
I = (0,1 kg)(0,09 m2)
I = 0,009 kg m2

2. Batang AB massanya 2 kg diputar melalui ujung A ternyata momen inersianya 8 kg.m2. Bila diputar melalui pusat O (AO = OB), momen inersianya menjadi….

Momen inersia batang AB berputar
A.   2 kg.m2
B.   4 kg.m2
C.   8 kg.m2
D.   12 kg.m2
E.   16 kg.m2

Pembahasan

Saat batang AB diputar dengan poros A, momen inersianya 8 kg.m2, sehingga panjang batang R dapat dicari dengan rumus: 
I = mR2
8 = 2R2 
R2 = 4 
R = 2 m

Saat batang AB diputar dengan poros A, massa batang terbagi menjadi dua, demikian juga jarak terhadap poros: 
mA = 1 kg 
mB = 1 kg 
RA = 1 m 
RB = 1 m

Dengan demikian, momen inersianya menjadi: 
I = ΣmR2
mARA2 + mBRB2
= 1 × 12 + 1 × 12
= 1 + 1
= 2
Jadi, momen inersia pada keadaan tersebut adalah 2 kg.m2 (A).

 

3. Empat partikel masing-masing bermassa m, dihubungkan dengan batang ringan tak bermassa. Jika sistem partikel diputar dengan poros Y maka besar momen inersia sistem partikel adalah…

Momen inersia empat partikel bermassa m
A. 3m.a2
B. 4m.a2
C. 5m.a2
D. 8m.a2
E. 15m.a2

Pembahasan:

Rumus momen inersia: ΣI=Σmr2
Karena diputar terhadap sumbu Y, maka yang dihitung hanya partikel pada sumbu X saja.

ΣI=Σm
mR12 + m2R22
m .  a+ m  .  (2a)2
= ma2 + 4ma2
= 5ma2

 

Jawaban : C

 

4. Tiga buah partikel dengan massa m, 2m, dan 3m dipasang pada ujung kerangka yang massanya diabaikan. Sistem terletak pada bidang xy. Jika sistem diputar terhadap sumbu y maka momen inersia sistem adalah….

Momen inersia partikel massa m, 2m dan 3m
A.   5 ma
B.   7 ma
C.   5 ma2
D.   6 ma2
E.   7 ma2

Pembahasan

Karena sistem diputar terhadap sumbu y maka partikel yang bermassa 2m tidak berfungsi. Berarti hanya partikel yang berada pada sumbu x yang diperhitungkan. Anggap saja partikel di sebelah kiri berindeks (1) dan partikel sebelah kanan berindeks (2). 
m1 = 3m
m2 = m
R1 = a
R2 = 2a
 
Momen inersia pada sistem tersebut adalah: 
I = ΣmR2
m1R12 + m2R22
= 3m × a2 + m × (2a)2
= 3ma2 + 4ma2
= 7ma2
Jadi, momen inersia sistem tersebut adalah 7 ma2 (E).

 

Rumus momen inersia

Ilustrasi rumus momen inersia dengan bola tenis yang sedang berputar. Rumus Momen Inersia dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya. Sumber foto: Pixabay

 

Rumus Fisika Lainnya

Fisika banyak diisi dengan persamaan dan rumus fisika yang berhubungan dengan gerakan sudut, mesin Carnot, cairan, gaya, momen inersia, gerak linier, gerak harmonik sederhana, termodinamika dan kerja dan energi. Klik disini untuk melihat rumus fisika lainnya (akan membuka layar baru, tanpa meninggalkan layar ini).

 

 

Bacaan Lainnya

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: PhysicsTutor Vista

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya


By | 2018-06-15T17:05:54+07:00 November 3rd, 2017|Matematika|0 Comments

Leave A Comment